矩陣的初等變換與線性方程組的求解

1、 矩陣的初等變換與線性方程組的求解矩陣的初等變換與線性方程組的求解理論內(nèi)容理論內(nèi)容應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例1. 矩陣的初等變換解線性方程組矩陣的初等變換解線性方程組1. 利用初等變換求整數(shù)的最大公因數(shù)利用初等變換求整數(shù)的最大公因數(shù)2. 利用初等變換解線性不定方程利用初等變換解線性不定方程2. 矩陣的初等變換解矩陣方程矩陣的初等變換解矩陣方程3. 矩陣的初等變換在求特征值與特征向量的應(yīng)用矩陣的初等變換在求特征值與特征向量的應(yīng)用起點中文閱讀起點中文閱讀 http:/若階梯形矩陣若階梯形矩陣Bmn還滿足：還滿足： （1 1）B的任一非零行的第一個非零元（每一的任一非零行的第一個非零元（每一行的首非零元或主元

2、）均為行的首非零元或主元）均為1 1； （2 2）B的首非零元所在的列的其它元素均的首非零元所在的列的其它元素均為為0.0. 則稱則稱Bmn為為行最簡形矩陣行最簡形矩陣。結(jié)論：結(jié)論：任何矩陣都可以通過行初等變換化任何矩陣都可以通過行初等變換化為階梯形，并進而化為行最簡形（行最簡為階梯形，并進而化為行最簡形（行最簡形唯一）。形唯一）。理論內(nèi)容理論內(nèi)容1. 矩陣的初等變換解線性方程組矩陣的初等變換解線性方程組 給出單位填充矩陣的概念之后，通過對給出單位填充矩陣的概念之后，通過對線性方程組的系數(shù)矩陣（或增廣矩陣）進行線性方程組的系數(shù)矩陣（或增廣矩陣）進行初等變換，初等變換，直接得出直接得出其基礎(chǔ)解系

3、或一般解。其基礎(chǔ)解系或一般解。 定義定義1：對于對于mn階行最簡形矩陣階行最簡形矩陣B，按以，按以下方法構(gòu)造下方法構(gòu)造sn矩陣矩陣C： 對任一對任一 i: 1is(1sn)，若，若B的某個首非零元位于第的某個首非零元位于第i列，則列，則將其所在的行稱為將其所在的行稱為C的第的第i行，否則以行，否則以n維單位維單位向量向量ei =(0, ,0,1,0, ,0)作為作為C 的第的第i行，稱行，稱C為為B的的sn單位填充矩陣單位填充矩陣。 顯然，單位填充矩陣的主對角線上的元素是顯然，單位填充矩陣的主對角線上的元素是“1”或或“1”，若主對角線上某一元素為，若主對角線上某一元素為“1”，則該，則該元素

4、所在的列之列向量稱為元素所在的列之列向量稱為C的的“J列向量列向量”。 定義定義2 2： 設(shè)設(shè)B為最簡形矩陣，若為最簡形矩陣，若B的單位填充的單位填充矩陣矩陣C的任一的任一“J列向量列向量” ” 均為以均為以B為系數(shù)為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組矩陣的齊次線性方程組b11 x1+b12x2+b1nxn=0b21x1+b22x2+b2nxn=0 bm1x1+bm2x2+bmnxn=0(1)的解向量，則稱的解向量，則稱C與與B是匹配的（亦稱是匹配的（亦稱B與與C是匹配的）是匹配的） 引理引理1 1 設(shè)設(shè)B為為mn行最簡形矩陣，若將行最簡形矩陣，若將B的第的第i列與第列與第j列交換位置所得矩陣列交換位置

5、所得矩陣B仍為行仍為行最簡形，則最簡形，則 （1）將）將B的的sn單位填充矩陣單位填充矩陣C的第的第i行與行與第第j行交換位置所得矩陣行交換位置所得矩陣C即為即為B的的sn單位填充矩陣，其中單位填充矩陣，其中maxi,j s。 （2）若）若C與與B是匹配的，則是匹配的，則C與與B也是也是匹配的。匹配的。 證明：證明： 結(jié)論結(jié)論(1)(1)顯然，下證顯然，下證(2)(2)，因為，因為C與與B是匹配的，故是匹配的，故C只能是只能是nn矩陣，矩陣， 從而從而C也是也是nn 矩陣，設(shè)以矩陣，設(shè)以B為系數(shù)矩陣的方程組為系數(shù)矩陣的方程組為為(1)(1)，以，以B為系數(shù)矩陣的方程組為為系數(shù)矩陣的方程組為b1

6、1 y1 1+b12y2+b1nyn=0b21y1+b22y2+b2nyn=0 bm1y1+bm2y2+bmnyn=0(2)則由則由B與與B的關(guān)系可知對方程組的關(guān)系可知對方程組(1)(1)進行變量代換：進行變量代換：x1=y1 , , xj=yj , , xn=yn就得到方程組就得到方程組(2)(2)，于是方程組于是方程組(1)的任一解向量交的任一解向量交換換i,j兩個分量的位置就是方程組兩個分量的位置就是方程組(2)的一個解向量。的一個解向量。又從又從C與與C的關(guān)系可知，的關(guān)系可知， C的任一的任一“ J列向量列向量 ”均可由均可由C的某一的某一“J列向量列向量 ”交換交換i,j 兩個分量的

7、位兩個分量的位置后得到，又由置后得到，又由C與與B是匹配的知，是匹配的知，C與與B也是匹配也是匹配的的. 引理引理1 1 任一任一nn行最簡形矩陣行最簡形矩陣B與其與其nn 單單位填充矩陣位填充矩陣C是匹配的。是匹配的。證明：證明： 1. 設(shè)設(shè)1,11,212,12,22,1,21 000 10(3)001000000000000rrnrrnr rr rrnn nbbbbbbBbbb 則以則以B為系數(shù)矩陣的其次線性方程組為：為系數(shù)矩陣的其次線性方程組為：11,111,22122,112,222,11,2200(4)0rrrrnnrrrrnnrr rrr rrrnnxbxbxb xxbxbxb

8、xxbxbxb x 而而B的填充矩陣為：的填充矩陣為：1,11,212,12,22,1,2100010(5)001000100000001rrnrrnr rr rrnn nbbbbbbCbbb 其所有其所有J列向量為：列向量為： r+1=(b1,r+1, ,br,r+1, 1,0, ,0) r+2=(b1,r+1, ,br,r+1,0, 1, ,0) n=(b1,n, ,br,n,0, , 0, 1) 顯然它們都是方程組顯然它們都是方程組(4)的解，即的解，即B與與C是是匹配的。匹配的。 2. 2. 一般形式的行最簡形矩陣一般形式的行最簡形矩陣B顯然總是可顯然總是可以通過一系列的第二類初等列變

9、換（變換兩列以通過一系列的第二類初等列變換（變換兩列的位置）化為的位置）化為(3)(3)的形式，從而的形式，從而B的單位填充矩的單位填充矩陣陣C通過相應(yīng)的初等行、列變換就變成矩陣通過相應(yīng)的初等行、列變換就變成矩陣(5),(5),由于這種變換是可逆的，據(jù)引理由于這種變換是可逆的，據(jù)引理2 2及引理及引理1(2)1(2)知知B與與C是匹配的。是匹配的。定理定理1 1 設(shè)齊次線性方程組設(shè)齊次線性方程組11112212112222112200(6)0nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xaxaxax 的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣A經(jīng)一系列初等行變換化為最簡經(jīng)一系列初等行變換化為最簡形矩陣形矩陣

10、B,則則B的的nn的單位填充矩陣的單位填充矩陣C的所的所有有“J列向量列向量”構(gòu)成方程組構(gòu)成方程組(6)的一個基礎(chǔ)的一個基礎(chǔ)解解系系. 證明證明 設(shè)以設(shè)以B為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組為為(1)(1)，則，則(1)(1)與與(6)(6)同解，據(jù)引理同解，據(jù)引理2 2知知C的所有的所有“J列向量列向量”構(gòu)成方程組的解，且是構(gòu)成方程組的解，且是nr個線性無關(guān)的解向量個線性無關(guān)的解向量( (其中其中r= =R( (A)=)=R( (B)， 從而構(gòu)成方程組從而構(gòu)成方程組(1)的一個基礎(chǔ)解系，的一個基礎(chǔ)解系，也也就是方程組就是方程組(6)的一個基礎(chǔ)解系。的一個基礎(chǔ)解系。有解，其增

11、廣矩陣有解，其增廣矩陣A經(jīng)一系列初等行變換化經(jīng)一系列初等行變換化為行最簡形矩陣為行最簡形矩陣B，則，則B的的n(n+1)單位填充單位填充矩陣的所有矩陣的所有“J列向量列向量”構(gòu)成方程組構(gòu)成方程組(7)的導(dǎo)的導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系，而出組的一個基礎(chǔ)解系，而C的最后一列為方的最后一列為方程組程組(7)的一個特解。的一個特解。定理定理2 2 設(shè)非齊次線性方程組設(shè)非齊次線性方程組11112211211222221122(7)nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 證明證明 由定理由定理1，前一結(jié)論顯然。下證的最，前一結(jié)論顯然。下證的最后一列為方程組的一個特解。后一列為

12、方程組的一個特解。作齊次線性方程組作齊次線性方程組 1111221112112222211122100(8)0nnnnnnmmmnnmna xa xa xb xa xa xa xb xa xa xa xb x 則方程組則方程組(8)的系數(shù)矩陣即為方程組的系數(shù)矩陣即為方程組(7)的增廣的增廣矩陣矩陣A. *CC 由定理由定理1知知C的最后一個列向量是方程組的最后一個列向量是方程組(8)的一個解，從而易知的一個解，從而易知C的最后一個列向的最后一個列向量即為方程組量即為方程組(7)的一個特解。的一個特解。于是于是B的的n(n+1)單位填充矩陣為：單位填充矩陣為：例例1 求線性方程組求線性方程組12

13、3451234513451345333245424234232xxxxxxxxxxxxxxxxxx 的一般解。的一般解。解解 方程組的增廣矩陣為：方程組的增廣矩陣為：113113324514204234102112A 用初等行變換將用初等行變換將A化為行最簡形矩陣化為行最簡形矩陣B: 102002011001000100000010B 寫出寫出B的的56單位填充矩陣單位填充矩陣C： 102002011001001000000100000010C 于是方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為：于是方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為： 1(2, 1, 1,0,0)T 而方程組的一個特解為：而方程組的一個特解為： 0(

14、2,1,0,0,0) ,T 從而原方程組的一般解為：從而原方程組的一般解為： 011,k 其中其中k1為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。 2. 2. 矩陣的初等變換解矩陣方程矩陣的初等變換解矩陣方程設(shè)矩陣方程為設(shè)矩陣方程為(1)mnnsmsAXB其中其中Xns為所求，對方程為所求，對方程(1)有下面的結(jié)論：有下面的結(jié)論：結(jié)果結(jié)果1 方程方程(1)有解的充要條件為：有解的充要條件為：( )( , ), 0min , R AR A Brrm n 且且(i) (i) 若若r=n，則，則(1)(1)有唯一解；有唯一解； (ii) (ii) 若若rn，則，則(1)(1)有無窮多解。有無窮多解。 結(jié)果結(jié)果2 設(shè)方程

15、設(shè)方程(1)中中R(Amn)=r，且，且Amn的前的前r個個列向量線性無關(guān)，則矩陣列向量線性無關(guān)，則矩陣(Amn,Bms)可經(jīng)過一系可經(jīng)過一系列初等行變換化為如下形式列初等行變換化為如下形式()()(,)rrn rr smnmsm rsECDABOOE 此時，此時，(i)(i)方程方程(1)有解的充要條件是有解的充要條件是E(mr) s是是零矩陣；零矩陣； (ii)(ii)若若r=n，則，則Xns=Dns為為(1)(1)的唯一解；的唯一解； 為為(1)的導(dǎo)出方程的解的基礎(chǔ)陣；的導(dǎo)出方程的解的基礎(chǔ)陣；(iii)(iii) 若若rn，則矩陣，則矩陣()()rn rnn rn rCFE 為為(1)的

16、一個特解，從而的一個特解，從而(1)的一般解為的一般解為rsnsDGO ()()(2)nsn n rn rsnsXFHG 其中其中H ( (nr) ) s為所論域的任意矩陣；為所論域的任意矩陣；Er為為r階階單位矩陣；單位矩陣；O為相應(yīng)階的零矩陣。為相應(yīng)階的零矩陣。若若s=1，則方程，則方程(1)為一般非齊次線性方程組為一般非齊次線性方程組11(3)mnnmA XB 此時基礎(chǔ)陣此時基礎(chǔ)陣F 的的(nr)個列向量即為導(dǎo)出個列向量即為導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系，方程組的基礎(chǔ)解系，G為其一個特解。為其一個特解。例例2 解矩陣方程解矩陣方程1 1 1 111123 2 1 13017(4)0 1 2 263

17、415 4 3 3121 11X解解 45431 1 1 1 11123 2 1 13017(,)0 1 2 2 63415 4 3 31 21 11A B 22323231 01152 33012263410 00000000 0 000000ECDOOE 因為因為E23為零矩陣，由結(jié)論為零矩陣，由結(jié)論2知知(4)有解。又有解。又R(A45)=2a20,由輾轉(zhuǎn)相除法知：由輾轉(zhuǎn)相除法知： 證明：證明：a1=q1a2+r1,0r1a2, a2=q2r1+r2,0r2r1, rm-2=qmrm-1+rm,0rmrm-1, rm-1=qm+1rm（m1, rm=d）于是，令于是，令 11201010

18、1011111mmAqqqq 則則 命題成立。命題成立。 12,0 ,a aAd (2)假設(shè)當假設(shè)當 時時 ，命題成立。命題成立。 (2)nk k則當則當 時，由假定知，存在時，由假定知，存在k階可階可逆方陣逆方陣Akk， 1n k 使得使得 ，2311 , ,0,0kk ka aaAd 其中其中 ，1231( ,)kda aa從而有從而有112311111 , , , , , ,0, ,0kkkk kOa a aaa dOA又由又由(1)知，存在二階可逆方陣知，存在二階可逆方陣 A22,使得使得 112 2, ,0a d Ad 其中其中 ， 111231( , ) ( , , , ,)kda

19、 da a aa于是于是,令令 2 22 (1)11(1) 211kkkk kkkAOOAOAOE 則則 . 1231 , ,0,0ka a aaAd 即當即當n=k時，命題成立，時，命題成立， 由歸納法知，由歸納法知， 當當n2時，命題成立。時，命題成立。 由命題由命題1的證明過程可以得出如下的證明過程可以得出如下兩個推論兩個推論：推論推論1 設(shè)設(shè)a1,a2, ,an為不全為為不全為0的整數(shù)，則存在的整數(shù)，則存在 Z上的上的n階可逆矩陣階可逆矩陣B，使得，使得 12( ,)( ,0,0)(1)na aa Bd 且且d是是a1,a2, ,an的最大公因數(shù)，的最大公因數(shù)，B是一些初等是一些初等矩

20、陣的乘積。矩陣的乘積。 B的求法如下：將將a1,a2, ,an下面寫一個單位下面寫一個單位矩陣，構(gòu)成一個矩陣，構(gòu)成一個(n+1) n矩陣，再對矩陣，再對A施行列施行列初等變換，當初等變換，當A的第一行變成的第一行變成(d,0, ,0)時，則時，則下面的單位陣便成了下面的單位陣便成了B。即：即： 12100010001naaaA11121212221200nnnnnndbbbbbbbbb1112211(2)nnda ba ba b 推論推論2 設(shè)設(shè) 最大公因數(shù)最大公因數(shù)d 可表示可表示成它們的線性組合：成它們的線性組合：12, , ,na aa例例3 求求115，570，935的最大公因數(shù)，并表

21、的最大公因數(shù)，并表示其線性組合。示其線性組合。解：解： 作矩陣作矩陣A，并對，并對A的列作初等變換：的列作初等變換： 115 570 935100010001A1151101514801000150052164471327227 50052101818775114 所以所以 (115,570,935)5d 且且 115 52570 1 935 ( 7) .d 2. 利用初等變換解線性不定方程利用初等變換解線性不定方程命題命題2 設(shè)設(shè)n元一次不定方程元一次不定方程112212,(3)nnna xa xa xc a aaZ若若 , dc12(,)na aad,則方程則方程(3)有整數(shù)解，其解為有整

22、數(shù)解，其解為11112 11122122 12112112 11( , ,)(4)n nn nnnnnnn ncxbb tb tdcxbb tb tt ttZdcxbb tb td而而bij是是(1)中矩陣中矩陣B的元素。的元素。證明：證明： 若若 , d c則由則由(2)得得 1112211,nnccccabababddd1112211,nncccxbxbxbddd是方程是方程(3)的一組整數(shù)解。的一組整數(shù)解。 由由(4)得：得：121,ntttZ,111121221222111211nnnnnnnnnccxbbbddxbbbttBxbbbtt由由(1)得得12112212(,)nnnnxx

23、a xa xa xa aax111211(,)( ,0,0)nnnccddtta aaBdctt故故(4)(4)是方程是方程(3)(3)的解。的解。設(shè)設(shè) 是方程是方程(3)的任一整數(shù)解，則的任一整數(shù)解，則 1122,nnxkxkxk1122(5)nna ka ka kc由由 得得 1B 1,BBB BB再由再由(1)得得112(,)( ,0,0)( ,0,0)na aadBB dB111212122212( ,0,0)nnnnnnBBBBBBB dBBB11211(,)nB dBdBdB所以所以 ，故再由故再由(5)得得 1112211,nnaB dBaB dBaB dB1112211()nn

24、cBk Bk Bk Bd令 11112211(),nntB k Bk Bk B 11122()nnnnnntB k Bk Bk B則則1112112122221121nnnnnnnncBBBkdBBBktBBBBkt 121.nkkBk 所以所以 1211nnckdktBkt 故故(4)代表了方程代表了方程(3)的任一整數(shù)解。的任一整數(shù)解。12nkkB Bk 例例4 求四元一次不定方程求四元一次不定方程 的所有整數(shù)解。的所有整數(shù)解。 123430636063027036xxxx解：作矩陣解：作矩陣A，并對的列作初等變換：，并對的列作初等變換：306360 630 270100001000010

25、0001A142127090 630 3060001010000101100cccc 314122709090360001010000101121 cccc142123618902701200010000101121 cccc()3141112721183618182127100000101108 ccccccc2131412180002505121100101317 cccccc于是：于是：d =18=18且且18|3618|36，,2505121100101317Q故原不定方程有整數(shù)解，且其所有解為：故原不定方程有整數(shù)解，且其所有解為：11321231233241234 552 2( ,

26、, )2 37xttxtttt t tZxtxttt 3. 矩陣的初等變換在求特征值與特矩陣的初等變換在求特征值與特 征向量的應(yīng)用征向量的應(yīng)用 物理、力學(xué)、工程技術(shù)中的許多問物理、力學(xué)、工程技術(shù)中的許多問題在數(shù)學(xué)上都歸結(jié)為求矩陣的特征值與題在數(shù)學(xué)上都歸結(jié)為求矩陣的特征值與特征向量問題由特征方程求特征值是特征向量問題由特征方程求特征值是比較困難的。比較困難的。 而在現(xiàn)有的教材和參考資料由特征方程求而在現(xiàn)有的教材和參考資料由特征方程求特征值總要解帶參數(shù)的行列式，且只有先求特征值總要解帶參數(shù)的行列式，且只有先求出特征值方可由方程組求特征向量有些文出特征值方可由方程組求特征向量有些文獻給出了只需通過行

27、變換即可同步求出特征獻給出了只需通過行變換即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未擺脫帶參數(shù)值及特征向量的新方法，但仍未擺脫帶參數(shù)行列式的計算問題行列式的計算問題 下面給出一種只需對原矩陣進行行列互逆下面給出一種只需對原矩陣進行行列互逆變換就可同時求出特征值與特征向量的結(jié)論，變換就可同時求出特征值與特征向量的結(jié)論，進而討論反問題進而討論反問題. 定義：定義：設(shè)設(shè)A是是n階方陣，如果存在數(shù)階方陣，如果存在數(shù) 和和n維非維非零向量零向量x，使得，使得Ax = x成立，則稱成立，則稱 為為A的特征的特征值，值，x是是A的對應(yīng)特征值的對應(yīng)特征值 的特征向量。的特征向量。 性質(zhì)：性質(zhì)：（1 1）若）

28、若 i是是A的的ri重特征值，重特征值，A對應(yīng)特征值對應(yīng)特征值 i有有si個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量( (siri) )（2 2）若）若x1, ,x2都是矩陣都是矩陣A的屬于特征值的屬于特征值 0的特征的特征量，則當量，則當k1, ,k2不全為零時，不全為零時，k1x1+k2x2仍是仍是A的的屬于特征值屬于特征值 0的特征向量的特征向量. .（3）若）若 1 , , 2 , , , n是矩陣是矩陣A的互不相同的特的互不相同的特征值，其對應(yīng)的特征向量分別是征值，其對應(yīng)的特征向量分別是x1, ,x2, , ,xn, ,則則 x1,x2,xn線性無關(guān)線性無關(guān)（4）若）若A=(aij)n

29、n的特征值為的特征值為 1 , 2 , n,則則12nA 121122,nnnaaa （5）實對稱矩陣）實對稱矩陣A的特征值都是實數(shù)，屬于的特征值都是實數(shù)，屬于不同特征值的特征向量正交不同特征值的特征向量正交（6）若）若 i是實對稱矩陣是實對稱矩陣A的的ri重特征值，則對重特征值，則對應(yīng)特征值應(yīng)特征值 i恰有恰有ri個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量（7）設(shè)）設(shè) 為矩陣為矩陣A的特征值，的特征值，P(x)為多項式函為多項式函數(shù)，則數(shù)，則P( )為矩陣多項式為矩陣多項式P(A)的特征值的特征值 眾所周知，求特征值與特征向量是比較繁眾所周知，求特征值與特征向量是比較繁瑣的由特征方程求特征值總

30、要解帶參數(shù)的行瑣的由特征方程求特征值總要解帶參數(shù)的行列式，且只有先求出特征值方可由方程組求特列式，且只有先求出特征值方可由方程組求特征向量這里將給出一個新的有效方法，只需征向量這里將給出一個新的有效方法，只需對原矩陣作行列互逆變換就可同時求出特征值對原矩陣作行列互逆變換就可同時求出特征值及特征向量，為此給出如下定義：及特征向量，為此給出如下定義： 定義：定義：把矩陣的下列三種變換稱之為行列把矩陣的下列三種變換稱之為行列互逆變換：互逆變換：（1 1）互換）互換i, j兩行，同時互換兩行，同時互換i, j兩列；兩列；（2 2）第）第i行乘非零數(shù)行乘非零數(shù)k，同時第，同時第i列乘列乘1/k ；（3 3）第）第i行行k倍加到第倍加到第j行，同時第行，同時第j列列k倍倍加到第加到第i列列. .定理：定理：A為為n階可對角化矩陣，并且階可對角化矩陣，并且TTAEDP ()(),一一系系列列行行列列互互逆逆變變換換其中其中 ,nD11TnP1(,) (1,2, )iiinbbin 則則 為為A的全部特征值，的全部特征值， 為為A的屬于的屬于 i的特征向量的特征向量.12,n T