第一節(jié) 非正弦周期信號的諧波分析

1、第一節(jié)第一節(jié) 非正弦周期信號的諧波分析非正弦周期信號的諧波分析 在實際工程中，除了正弦激勵和響應(yīng)外,還會經(jīng)常遇到非正弦激勵和響應(yīng)。 在電力工程中，交流發(fā)電機(jī)發(fā)出的波形是個近似正弦波，見圖 71所示圖 71如圖7-2是晶體管交流放大電路中的電流波形。圖7-2 而電子線路中信號源的電壓多數(shù)情況下也是非正弦.例如收音機(jī)天線上同時接收幾個不同頻率的正弦信號，它們疊加起來則是非正弦。圖7-3說明兩個不同頻率的正弦波疊加后是非正弦波圖7-3計算機(jī)、自動控制等領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用的脈沖波、方波、掃描用的鋸齒波等，如圖7-4所示圖7-4 在無線電工程和其它電子工程中，由語言、音樂、圖象等轉(zhuǎn)換過來的電信號也都是非正弦信號

2、。 當(dāng)電路中含有非線性元件,如二極管、三極管、晶體管、鐵芯線圈等，即使激勵為正弦，也會在電路中出現(xiàn)非正弦電壓和電流響應(yīng)。非正弦周期電路： 一種是電路為線性電路，激勵為非正弦，經(jīng)線性元件，使得響應(yīng)為非正弦。 一種是電路為非線性電路，激勵為正弦，經(jīng)非線性元件，使得響應(yīng)為非正弦。 這里只討論非正弦周期量激勵下線性電路穩(wěn)定狀態(tài)的分析和計算。 周期電壓信號可以用周期函數(shù)表示。一個滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)，可以分解為傅里葉級數(shù)。 在我們電工技術(shù)所遇到的非正弦周期信號都滿足狄里赫利條件。 設(shè)f（t）為一非正弦周期函數(shù)，其周期為T，角頻率=2/T，則f（t）的傅里葉級數(shù)展開式為（7-1）)sincos(1)

3、(kkkottkbtkaafa0 的直流分量；akcoskt 余弦項； bksinkt 正弦項；a0 、 ak 、 bk 傅里葉系數(shù) , 計算公式：)(cos)(1)(cos)(1)(cos)(2)()(1)()(1200)(2200ttdktfttdktfttdktfTatdtfTtdtfTaTtTTT（7-2）上式中的k=1、2、3，)(sin)(1)(sin)(1)(sin)(2200)(ttdktfttdktfttdktfTbTt10)cos()(kkkmtkAAtf（7-3） kkmkkkmkkkkkkkmAbAaabbaAaAsincosarctan2200其中（7-4）直流分量

4、A0，是非正弦周期函數(shù)一周內(nèi) 的平均值。基波分量 A1mcos（t+k） k=1時的波 的成分。諧波分量 除上述以外的分量；如 k=1稱一 次諧波；k=2 稱二次諧波 諧波， 對k1的諧波統(tǒng)稱高次諧波。諧波分析：即將一個非正弦周期函數(shù)分解為直流分量和無窮多個頻率不同的諧波分量之和。實際工程采用直接查表對照其波形直接查出展開式。見表7-1。 表 7-1 幾種典型周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)半波整流波正弦波平均值有效值傅里葉級數(shù) 波形名稱.)6cos754cos532cos31cos421(2)(ttttAmtftAmtfsin)(2mAmA22mAmA 一個非正弦周期函數(shù)分解可以分解成傅里葉級數(shù)，也可繪

5、出其直流分量和各次諧波的波形圖，還可用頻譜圖表示，以鋸齒波為例圖7-5 設(shè)Um=10V，則傅里葉級數(shù)的展開式為ttU2sin210sin105.3sin310t頻譜圖圖7-5 實際工程中常見的非正弦波形往往具有某種對稱性。由于對稱，在作諧波分析時，可能不含某些諧波分量。下面研究幾種常見的對稱波形。一、奇函數(shù)一、奇函數(shù)原點對稱原點對稱 由數(shù)學(xué)知滿足f(t) =- f(-t)的周期函數(shù)稱為奇函數(shù)。圖7-6所示波形圖7-6將偶函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)時，數(shù)系bk=0 ,即無正弦諧波分量，10cos)(kktkaatf（7- 6）三、奇諧波函數(shù)三、奇諧波函數(shù)橫軸對稱橫軸對稱 由數(shù)學(xué)知滿足f (t) = -

6、f (t T/2)的周期函數(shù)稱為奇諧波函數(shù)。圖7-8所示波形圖 7- 8 將奇函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)時，數(shù)系a0=ak=0 ，即無直流分量和余弦諧波分量，1sin)(kktkbtf（7-5）二、偶函數(shù)二、偶函數(shù)縱軸對稱縱軸對稱 由數(shù)學(xué)知滿足f(t) = f(-t)的周期函數(shù)稱為偶函數(shù)。圖7-7所示波形圖7-7將奇諧波函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)時，無直流分量和偶次諧波分量，只含奇諧波函數(shù)分量，即(k=1, 3, 5) （7- 7）1)sincos()(kkktkbtkatf四、偶諧波函數(shù)四、偶諧波函數(shù) 與奇諧波函數(shù)對應(yīng)，也有偶諧波函數(shù)。所謂偶諧波函數(shù)是滿足f (t) = f (t T/2)條件的函數(shù)。圖

7、7-9所示波形圖 7- 9其傅里葉級數(shù)展開式中，含直流分量和偶次諧波分量，不含奇諧波函數(shù)分量，故20)sincos()(kkktkbtkaatf(k=2, 4, 6) （7- 8）例7-1 求圖7-10(b)所示三角波f2(t)的傅里葉級數(shù)展開式。是奇函數(shù)解：由表7-1中不能直接查得的f2(t)的傅里葉級數(shù)展開式，但可以直接查得圖7-10(a)三角波f1(t)的展開式為.)5sin2513sin91(sin8)(21tttAtfm f1(t)是奇函數(shù)，比較(a)(b)圖波形，若將(a)圖的縱軸向右平移1/4周期， （a）（b）圖 7-10f1(t)中的t 用(t T/2)代入即可，故有 由波形看出 f2(t) 是偶函數(shù)。 .)5cos2513cos91cos8.)4(5sin251)4(3sin91)4(sin8)(222tttATtTtTtAtf