第九章習(xí)題課重積分ppt課件

1、第九章 習(xí)題課重積分重積分一一 基本要求基本要求1理解重積分的概念理解重積分的概念.2了解重積分的性質(zhì)，明確重積了解重積分的性質(zhì)，明確重積分是定積分的推廣分是定積分的推廣.3掌握二重積分的計(jì)算方法直掌握二重積分的計(jì)算方法直角坐標(biāo)極坐標(biāo)），會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單角坐標(biāo)極坐標(biāo)），會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的三重積分直角坐標(biāo)柱面坐的三重積分直角坐標(biāo)柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)）標(biāo)球面坐標(biāo)）.4會(huì)用重積分求一些幾何量和物會(huì)用重積分求一些幾何量和物理量理量.二.要點(diǎn)提示 二重積分是定積分的推廣，其計(jì)算方法是化為二次積分來(lái)計(jì)算。三重積分可以化為一個(gè)單積分和一個(gè)二重積分或三次積分來(lái)計(jì)算。1.重積分的計(jì)算二重積分：二重積分：在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)

2、系下 12,yxyyxaxb 21,yxbDayxfx y dxdydxfx y dy ab xyy2 xyy1那么那么 （先（先y后后x） X-型區(qū)域型區(qū)域:若積分區(qū)域若積分區(qū)域D可表示為可表示為 若積分區(qū)域D可表示為Y-型區(qū)域： 21,xydDcxyfx y dxdydyfx y dx cd yxx1 yxx2 12:,D xyxxycyd 若若D 不是不是X-型、型、Y-型型區(qū)域，可由重積分的區(qū)域，可由重積分的可加性來(lái)計(jì)算可加性來(lái)計(jì)算.那么那么(先先x后后y)v 在極坐標(biāo)下在極坐標(biāo)下 v （一般總是先對(duì)（一般總是先對(duì)r 積分后對(duì)積分后對(duì) 積積分）分）: 21,cos ,sinrDrfx

3、y ddfd 1 2 012, 那么那么D: 若若D不包含極點(diǎn)，不包含極點(diǎn)， 若若D包含極點(diǎn)包含極點(diǎn). D: 0,02 200,cos , sinrDfx y ddf rrrdr o rr 那么那么 可以把復(fù)雜的二次積分化為較簡(jiǎn)單的可以把復(fù)雜的二次積分化為較簡(jiǎn)單的二次積分。二次積分。 一般步驟為一般步驟為 所給二次積分所給二次積分 將將D表示為不等式表示為不等式畫(huà)出積分域畫(huà)出積分域 D 的新的不等式表示的新的不等式表示新的二次積分新的二次積分.交換積分次序交換積分次序 三重積分：三重積分： 設(shè)設(shè) 在空間有界區(qū)域在空間有界區(qū)域 上連續(xù)，上連續(xù)， 1212( , )( , )( )( )zx yz

4、zx yy xyyxaxb , ,ufx y z : , ,fx y z dxdydz 2211()( , )()( , )( , , )byxzx yayxzx ydxdyf x y z dz a. 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 先二后一先二后一(截面法）截面法） 設(shè)設(shè) 在在 軸上的投影區(qū)間軸上的投影區(qū)間 為為 ，有界閉區(qū)域，有界閉區(qū)域 為平行于為平行于 面的面的 的任的任 意截面，那么意截面，那么( )( , , )( , , )D zf x y z dvf x y z dxdy dz z , xoy( )D zxyzOzDz1c2cb.柱面坐標(biāo)系圖柱面坐標(biāo)系圖9-6）柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系如下

5、：柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系如下：面積元素為面積元素為 cossinxyzz 1212( , )( , )( )( )zzz :2211( )( , )( )( , )( , , )( cos , sin , )rz rrz rf x y z dxdydzdrdrf rrz dz d d dz c.球面坐標(biāo)系圖球面坐標(biāo)系圖9-7）球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系如下：球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系如下：體積元素為體積元素為 sincossinsincosxryrzr2sinrdrd d 1212( , )( , )( )( )rrr :2211( )( , )2( )( , )sin( sin cos , s

6、in sin , cos )ddf rrrr dr , ,f x y z dxdydz2.二重積分的對(duì)稱性二重積分的對(duì)稱性（1如果如果D關(guān)于關(guān)于 軸對(duì)稱，那軸對(duì)稱，那么么 ，有，有 其中其中（2如果如果D關(guān)于關(guān)于 軸對(duì)稱，那么軸對(duì)稱，那么 ，有有其中其中 y( , )x yD10,( , )( , )2( , ).( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx關(guān)于 為奇函數(shù)關(guān)于 為偶函數(shù) 10( , )|( , ),Dx yx yD xx( , )x yD202,( , )( , )( , ).( , )DDf x yf x y dxdyf x y dxdyf

7、x y 關(guān)關(guān)于于y y為為奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于y y為為偶偶函函數(shù)數(shù) 2( , )|( , ),0Dx yx yD y （3如果如果D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么 ，有，有其中其中 同上。同上。（4如果如果D關(guān)于直線關(guān)于直線 對(duì)稱，那么對(duì)稱，那么 ( , )x yD120,(,)( , ),2( , )( , )(,)( , )2( , )DDDfxyf x yf x y dxdyf x y dxdyfxyf x yf x y dxdy 或或12,D Dyx( , )( , )DDf x y dxdyf y x dxdy1.( , )Df x y dxdy問(wèn)題 將，22:1,0D xy

8、y1110( , )( , )Df x y dxdydxf x y dy化為二次積分，下面的做法對(duì)嗎？答：不對(duì)。正確的選項(xiàng)是答：不對(duì)。正確的選項(xiàng)是211-10( , )( , )xDf x y dxdydxf x y dy三 問(wèn)題與思考問(wèn)題問(wèn)題2. 選擇積分次序計(jì)算二重積分應(yīng)該選擇積分次序計(jì)算二重積分應(yīng)該考慮哪些方面考慮哪些方面? 交換積分次序的步驟是什么交換積分次序的步驟是什么?答：兩個(gè)方面，被積函數(shù)和積分區(qū)域答：兩個(gè)方面，被積函數(shù)和積分區(qū)域. 步驟是：由累次積分的積分限，還原出步驟是：由累次積分的積分限，還原出積分區(qū)域，再將重積分按照新的次序化為積分區(qū)域，再將重積分按照新的次序化為二次積分

9、二次積分.問(wèn)題問(wèn)題3. 針對(duì)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)針對(duì)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn),如何選取直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)以計(jì)算二重積分如何選取直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)以計(jì)算二重積分?如何選取直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)以如何選取直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)以計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分?答：若積分區(qū)域?yàn)閳A部分域、扇形答：若積分區(qū)域?yàn)閳A部分域、扇形或扇面等，被積函數(shù)中含有或扇面等，被積函數(shù)中含有 ，則常采用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分。則常采用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分。22xy 如果積分區(qū)域?yàn)榍蛐斡蚧虿糠智蛴颍环e函數(shù)化為球面坐標(biāo)形式比較簡(jiǎn)單222()f xyz等形式），利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分常能等形式），利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分常能

10、簡(jiǎn)化運(yùn)算簡(jiǎn)化運(yùn)算. 如果積分區(qū)域在某坐標(biāo)面上的投影為圓域、如果積分區(qū)域在某坐標(biāo)面上的投影為圓域、扇形域、圓環(huán)域或它們的一部分，被積函數(shù)扇形域、圓環(huán)域或它們的一部分，被積函數(shù)化為柱面坐標(biāo)形式比較簡(jiǎn)單比如化為柱面坐標(biāo)形式比較簡(jiǎn)單比如 等形式），則利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分常等形式），則利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分常能簡(jiǎn)化運(yùn)算能簡(jiǎn)化運(yùn)算.22()f xy問(wèn)題問(wèn)題4寫出在不同坐標(biāo)下的二重積分的寫出在不同坐標(biāo)下的二重積分的面積元素和三重積分的體積元素。面積元素和三重積分的體積元素。體積元素體積元素:直角坐標(biāo)：直角坐標(biāo)：柱面坐標(biāo)：柱面坐標(biāo)：球面坐標(biāo)：球面坐標(biāo)：dvdxdydz 答：面積元素答：面積元素:直角坐標(biāo)

11、：直角坐標(biāo)：極坐標(biāo)：極坐標(biāo)：ddxdy ddd dvdrd dz 2sindvrdrdd 四 典型題目 21.10 01 01 1Dx dxdyD求， 是以， 、 ， 和，為三頂點(diǎn)的三角形區(qū)域?yàn)槿旤c(diǎn)的三角形區(qū)域. 2.143Dxydxdy求，: 22, 11Dxy 223.Dxy dxdy求，22:0,2D yyx xyx圍成.1001.:,Dyxx解解1220011xDx dxdydxx dy 112200011xxydxx xdx1322011(1)33x 若改變積分次序，計(jì)算繁若改變積分次序，計(jì)算繁.2.解解 由對(duì)稱性，有由對(duì)稱性，有0,4Dxdxdy 0,3Dydxdy 143Dxy

12、dxdy1Ddxdy4Dxdxdy3Dydxdy12 48Ddxdy注意：注意：143Dxydxdy1141,:02,01.43Dxydxdy Dxy3.:02cos04D 解解，2cos222400Dxy dxdydr dr340240123813( cos )(sin)cos dd3408110(sinsin)|2339,Ixyzdv222:1xyz 第第一一卦卦限限部部分分. .4.分別用三種不同的坐標(biāo)和先二后一法計(jì)算分別用三種不同的坐標(biāo)和先二后一法計(jì)算222111000 xxyIxdxydyzdz解解 直角坐標(biāo)：直角坐標(biāo)：21122001(1)2xxdxyxydy122011(1)84

13、8xxdx柱面坐標(biāo)：柱面坐標(biāo)：cossinIrrz rdrd dz 21132000123220014601141 1114 4648sincossin|()rdr drzdzrrdrrr 球面坐標(biāo)：球面坐標(biāo)：2sincossinsincossinIrrrrdrd d122000cossinsincos1111sin|sin|24648ddr drr 先二后一法：先二后一法：222100:,zDxyzxy 取取10zDIzdzxydxdy21134000cos sinzzdrdr dz11224001(1)cos sin4zzdzd 124622001 12111sin|4 246248zzz注：如果被積函數(shù)只依賴于一個(gè)變量，注：如果被積函數(shù)只依賴于一個(gè)變量，而以該變量去截積分區(qū)域而截面的面積而以該變量去截積分區(qū)域而截面的面積又容易求得時(shí)，用又容易求得時(shí)，用“先二后一法來(lái)計(jì)算先二后一法來(lái)計(jì)算三重積分常常能簡(jiǎn)化運(yùn)算三重積分常常能簡(jiǎn)化運(yùn)算. 5.分別利用定積分，二重積分和三重積分分別利用定積分，二重積分和三重積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)拋物面計(jì)算旋轉(zhuǎn)拋