第九章重積分及曲線積分ppt課件

1、第九章 重積分及*曲線積分 一、二重積分的概念、性質(zhì)二、二重積分 的計(jì)算1.直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算2.極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算一、二重積分的概念、性質(zhì)1. 二重積分的定義(和式的極限)( , )dDf x yiiinif),(lim10)dd(dyx3. 二重積分的性質(zhì) (與定積分性質(zhì)相似)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2.二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（曲頂柱體的體積）bxaxyxD)()(:21（1若D為 X 型區(qū)域 那么)(1xy)(2xyxboyDax二、二重積分的計(jì)算( , )d dDf x yx y yyxfxxd),()()(21dbax dbaxyyxfxxd)

2、,()()(21=先y后x的二次積分1.直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算：穿線定內(nèi)限，夾線定外限穿線定內(nèi)限，夾線定外限 根據(jù)積分區(qū)域的形狀以及被積函數(shù)的特點(diǎn)，適當(dāng)選擇直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)，選擇積分次序.（2若D為 Y 型區(qū)域 那么dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocy( , )d dDf x yx y =先x后y的二次積分 ddcyxyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21ddcy(3) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , 既可采用先y后x的二次積分，也可采用先x后y的二次積分，為計(jì)算方便,可選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序.oxy(4) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若

3、干部分，使每部分1D2D3D是X-型區(qū)域或Y-型區(qū)域 , 123DDDD那么 ddrr直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下的二重積分之間的關(guān)系：( cos , sin )Df rr( , )Df x y dxdy 2.利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分 的上下限關(guān)鍵是定出,r然后化為先的二次積分.r后積分限確定方法:穿線定內(nèi)限，夾線定外限.將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分需要進(jìn)行分需要進(jìn)行“三換三換”：cos,sinxryr,xyrDDdxdyrdrd( cos , sin ).df rrrdr ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(

4、（1極點(diǎn)在區(qū)域外部如圖1）具體地分以下幾種情況討論如下：圖圖1設(shè),)()(:21rD那么1()2( )其中1(),2( )在區(qū)間 , 上連續(xù).AoD( cos , sin ).df rrrdr（2極點(diǎn)在區(qū)域的邊界如圖極點(diǎn)在區(qū)域的邊界如圖2） Drdrdrrf )sin,cos()(r圖圖20( ):,rD 設(shè)那么( ) 0 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd（3極點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)部如圖3）：DoA)(r圖圖30( ):,02rD 設(shè)那么xy211xy o221d y例例1. 計(jì)算計(jì)算d,DIxy其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. x

5、解法解法1. 將將D看作看作X型區(qū)域型區(qū)域, 那那么么:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將將D看作看作Y型區(qū)域型區(qū)域, 那那么么:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y例例2. 計(jì)算計(jì)算d,Dxy其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計(jì)算簡(jiǎn)便為計(jì)算簡(jiǎn)便, 先對(duì)先對(duì) x 后對(duì)后對(duì) y 積分積分,:Dxyx ddDxy21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21

6、y2y2y2 xy及直線那么 例例3. 計(jì)算計(jì)算sind d ,Dxx yx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :xxyD00:sind dDxx yxxy0d0dsinxx0cosx20sindxxxx先對(duì) x 積分不行, D21220 xDxxy dxdydxy dy解二解二D： 10yyxyY型型120yyIdyxy dx Ddxdyxy2D2,xyxy 例例4 計(jì)算計(jì)算 102xxyx解一解一D：X型型136011()340 x xx dx12201()2yyydy140解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 22xyDedxdy2rderdr).1(2Re 20)1(212deR2rDerdrdx xy yR Ro o0R02解解2222sin()sin()DDxyrdxdyrdrdrxy2201sindrdr. 4 在極坐標(biāo)系下，區(qū)域D可表為：1202r例例7 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分222d,DR