高等數(shù)學(xué)：9-1 多元函數(shù)的基本概念

1、推廣推廣第九章第九章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用及其應(yīng)用 第九章 第一節(jié)第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 一、一、n維空間中的點(diǎn)集維空間中的點(diǎn)集二、鄰域二、鄰域三、內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)三、內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)四、區(qū)域，閉區(qū)域四、區(qū)域，閉區(qū)域五、平面點(diǎn)列的極限五、平面點(diǎn)列的極限六、多元函數(shù)六、多元函數(shù)七、多元函數(shù)的極限七、多元函數(shù)的極限八、多元函數(shù)的連續(xù)性八、多元函數(shù)的連續(xù)性一. n 維空間中的點(diǎn)集維空間中的點(diǎn)集在空間中，點(diǎn)和三元有序?qū)崝?shù)組一一對(duì)應(yīng)：12(,)

2、|,1,2, nnkRxx xxxR kn ( , )P x y一般地，與n元數(shù)組對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合：稱為n維空間。在平面上，點(diǎn)和二元有序?qū)崝?shù)組一一對(duì)應(yīng)：( , , )M x y z平面上全體點(diǎn)的集合記為：2( , )|,Rx yx yR稱之為 2 維空間。3 維空間：3( , , )|, ,Rx y zx y zR滿足某條件 Q 的點(diǎn)集 E 可以表示為： EM MQ滿足條件 ( , )|,Dx yaxy cyd表示矩形，包含邊界，也可寫成 , , Da bc d22200 ( , )|()()Ex yxxyyr如：表示圓盤，不含邊界。n 維空間中的點(diǎn)12(,)nxx xx 也稱為n 維向量.n

3、維空間中兩點(diǎn)1212(,),(,)nnxx xxyyyy間的距離為2221122()()()nnxyxyxyxy 稱22212nxxxx 為 n 維向量 x 的模. )(0oPPU00 PP二. 鄰域鄰域點(diǎn)集, ) ,(0PPU稱為點(diǎn) P0 的 鄰域鄰域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圓鄰域)在空間中, ),(),(0zyxPU(球鄰域)說明：說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成. )(0PU點(diǎn) P0 的去心鄰域去心鄰域記為0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx三三. 內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn)

4、 P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)點(diǎn) P 的任一任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 EE則稱 P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)；則稱 P 為 E 的外點(diǎn)外點(diǎn) ;則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) .的外點(diǎn) ,顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E . E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;若對(duì)任意給定的 , ,點(diǎn)P 的去心) ,(PUE鄰域內(nèi)總有E 中的點(diǎn) , 則稱 P 是 E 的聚點(diǎn)聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 所有聚點(diǎn)

5、所成的點(diǎn)集成為 E 的導(dǎo)集導(dǎo)集 .E 的邊界點(diǎn) )若點(diǎn)PE且不是E的聚點(diǎn)，即存在( ,),U P使得( ,) ,U PEP 則稱點(diǎn)P為E的孤立點(diǎn)。孤立點(diǎn)一定是邊界點(diǎn)；非孤立的邊界點(diǎn)一定是聚點(diǎn)。四、四、 區(qū)域及閉區(qū)域區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 E 為開集；即E的所有聚點(diǎn)都屬于E，則稱E為定理1 （1）空集與全集是開集；任意多個(gè)開集的并 是開集；有限多個(gè)開集的交是開集. 若點(diǎn)集E 的余集22cERER 是中的開集，是中的開集，2R 中的閉集。中的閉集。 （2）空集與全集是閉集；有限多個(gè)閉集的并 是閉集；任意多個(gè)閉集的交是閉集. 對(duì)集合 E , 若存在正數(shù) M , 使一切點(diǎn) PE

6、與某定點(diǎn) A 的距離 AP M , 則稱 E 為有界集有界集 , 界集界集 .否則稱為無無D 若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡(jiǎn)稱區(qū)域 ;。 。例如，在平面上例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開區(qū)域閉區(qū)域xyo21xyoxyoxyo21 整個(gè)平面 點(diǎn)集 1),(xyx是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域；但非區(qū)域 .11oxy五、平面點(diǎn)列的極限五、平面點(diǎn)列的極限22 , nMRAR設(shè)點(diǎn)列點(diǎn)，若設(shè)點(diǎn)列點(diǎn)，若0,( , )nN

7、ZnNMU A 當(dāng)時(shí)，恒有當(dāng)時(shí)，恒有 nAM則稱點(diǎn) 為點(diǎn)列的極限，記作則稱點(diǎn) 為點(diǎn)列的極限，記作 lim nnnMAMA n 或（）或（）00 (,), (,) ,nnnMxyA x y若若則上述極限也可記作00 lim(,)(,) nnnxyxy 00 lim(,)(,) nnnxyxy 00lim , lim nnnnxxyy定理2：點(diǎn)列收斂等價(jià)于點(diǎn)列按坐標(biāo)收斂.定理3： nM平面點(diǎn)列收斂平面點(diǎn)列收斂00 0, NZnmN 當(dāng) ，時(shí)，有當(dāng) ，時(shí)，有22|()().nmnmnmM Mxxyy 六、多元函數(shù)的概念六、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng) 三角形面積的

8、海倫公式,2hrV,(為常數(shù)）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr定義定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集設(shè)非空點(diǎn)集,RnD DPPfu, )(或點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集DP,Pfuu)(稱為函數(shù)的值域值域 .特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù)2R),(),(Dyxyxfz當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù)3R),(),(Dzyxzyxfu映射R:Df稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作),(21nxxxfuxzy例如例如, 二元函數(shù)二元函數(shù)221yxz定義域

9、為1),(22 yxyx圓域說明說明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面 .12R),(yx三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域?yàn)?),(222zyxzyx圖形為4R空間中的超曲面.單位閉球xyzo 第九章 一、多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的連續(xù)性一、多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性 二、二、*、二次極限、二次極限一、多元函數(shù)的極限一、多元函數(shù)的極限定義定義2. 設(shè) n 元函數(shù),R),(nDPPf點(diǎn) , ) ,(0PUDP,-)(APf則稱 A 為函數(shù)

10、(也稱為 n 重極限)APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常數(shù) A ,對(duì)一記作，時(shí)的極限當(dāng)0)(PPPf都有對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切當(dāng) n =2 時(shí), 記20200)()(yyxxPP二元函數(shù)的極限可寫作：Ayxf),(lim0Ayxfyyxx),(lim00注意：定義中的0PP表示在nR中，P以任何方式趨于0,P即0( ,)0P P二重極限例例1. 設(shè)設(shè))0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求證：.0),(lim00yxfyx證證:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,0 0),( yxf,022時(shí)當(dāng)yx22yx 222yx , 總有

11、例例2. 設(shè)設(shè)0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求證：.0),(lim00yxfyx證證：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 時(shí)，當(dāng)022yxxyyx11sinsin總有 2 要證 若當(dāng)點(diǎn)),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點(diǎn) (0, 0) 的極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則有21kkk 值不同極限不同值不同極限不同 !在 (0,0)

12、點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于,),(000時(shí)yxP不存在 .例例3. 討論函數(shù)討論函數(shù)函數(shù)例例4. 求求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1 (4limrrr此函數(shù)定義域不包括 x , y 軸,222yxr令則62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r22r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx02sin()limxyxyx解解: 原式原式 02sin()limxyxyyxy02sin()limxyxyxy202limxyy二、二次極限（累次極限）

13、二、二次極限（累次極限）00,( , ) xxyyf x y先 后 時(shí) 的二次極限：先 后 時(shí) 的二次極限： 00lim lim( , )yyxxf x y00,( , ) yyxxf x y先 后 的二次極限：先 后 的二次極限： 00lim lim( , )xxyyf x y),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. ),(limlim00yxfyyxx與二次極限P75 僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在.如果它們都存在, 則三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf顯然),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3

14、知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在 .P7576例題三、三、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3 . 設(shè) n 元函數(shù))(Pf定義在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在點(diǎn)如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上,0DP 聚點(diǎn)如果存在否則稱為不連續(xù),0P此時(shí)稱為間斷點(diǎn) .則稱 n 元函數(shù)連續(xù).連續(xù), ( , )sin ,f x yx證明證明2( , )()f x yC R0,2000(,),P xyR在點(diǎn)0 x因?yàn)閟in x處連續(xù)，所以0,證明：當(dāng)0|xx時(shí)，有0|sinsin|.xx作鄰域0(, )P當(dāng)0( , )(, )P x yP時(shí)，一定有22000|

15、()()xxxxyy0( ,)P P,從而000|( , )(,)| |sinsin|f x yf xyxx即2( , )()f x yC R例如例如, 函數(shù)函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在, 又如又如, 函數(shù)11),(22yxyxf上間斷.122 yx 故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).定理：若定理：若 f (P) 在有界閉域在有界閉域 D 上連續(xù)上連續(xù), 則則,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對(duì)任意，DQ;)(

16、Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):一致連續(xù)：一致連續(xù)：定義：定義：設(shè)設(shè) z = f (x, y) 定義在區(qū)域定義在區(qū)域 D 上，如果上，如果111222(,) ,(,),P xyP xyD都有12()(),f PfP 則稱則稱 z = f ( x, y )在在 D 上一致連續(xù)上一致連續(xù) .12,P P 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)定理：有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一致連續(xù).11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函數(shù)的連續(xù)域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2oyx2備用題備用題1. 設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy1 .設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvfyxyxxx20