4托勒密定理與西姆松定理

1、§4托勒密定理與西姆松定理托勒密(Ptolemy)定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)EDCBA即： 一、直接應(yīng)用托勒密定理例1、 如圖2，P是正ABC外接圓的劣弧上任一點(diǎn)(不與B、C重合)， 求證：PA=PBPC分析：此題證法甚多，一般是截長、補(bǔ)短，構(gòu)造全等三角形，均為繁冗 若借助托勒密定理論證，則有PA·BC=PB·ACPC·AB，AB=BC=AC PA=PB+PC二、完善圖形 借助托勒密定理例2 、證明“勾股定理”：在RtABC中，B=90

2、76;，求證：AC2=AB2BC2證明：如圖，作以RtABC的斜邊AC為一對角線的矩形ABCD，顯然ABCD 是圓內(nèi)接四邊形由托勒密定理有 AC·BD=AB·CDAD·BC 又ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，AC=BD 把代人，得AC2=AB2BC2例3 、如圖，在ABC中，A的平分線交外接圓于D，連結(jié)BD，求證：AD·BC=BD(ABAC)證明：連結(jié)CD，依托勒密定理有 AD·BCAB·CDAC·BD 1=2， BD=CD 故 AD·BC=AB·BDAC·BD=BD(ABAC)三、構(gòu)造

3、圖形 借助托勒密定理例4 若a、b、x、y是實(shí)數(shù)，且a2b2=1，x2y2=1求證：axby1證明：如圖作直徑AB=1的圓，在AB兩邊任作RtACB和RtADB， 使ACa，BC=b， BDx，ADy 由勾股定理知a、b、x、y是滿足題設(shè)條件的 據(jù)托勒密定理有 AC·BDBC·AD=AB·CD CDAB1，axby1四、巧變原式 妙構(gòu)圖形，借助托勒密定理例5、已知a、b、c是ABC的三邊，且a2=b(bc)，求證：A=2B分析：將a2=b(bc)變形為a·a=b·bbc，從而聯(lián)想到托勒密定理，進(jìn)而構(gòu)造一個等腰 梯形，使兩腰為b，兩對角線為a，一

4、底邊為c證明：如圖，作ABC的外接圓，以A為圓心，BC為半徑作弧交圓于D，連結(jié)BD、DC、 DAAD=BC，ABD=BAC 又BDA=ACB(對同弧)，1=2 依托勒密定理有 BC·AD=AB·CDBD·AC 而已知a2=b(bc)，即a·a=b·cb2 BAC=2ABC五、巧變形 妙引線 借肋托勒密定理例6 、在ABC中，已知ABC=124， 分析：將結(jié)論變形為AC·BCAB·BC=AB·AC，把三角形和圓聯(lián)系起來，可聯(lián)想到托勒密 定理，進(jìn)而構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形 如圖，作ABC的外接圓，作弦BD=BC，連結(jié)AD、CD

5、 在圓內(nèi)接四邊形ADBC中，由托勒密定理有 AC·BDBC·AD=AB·CD 易證AB=AD，CD=AC，AC·BCBC·AB=AB·AC，練習(xí)1.已知ABC中，B=2C。求證：AC2=AB2+AB·BC?！痉治觥窟^A作BC的平行線交ABC的外接圓于D，連結(jié)BD。則CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。西姆松(Simson)定理（西姆松線） 注：例7、例8、例9、 例10、作業(yè)：1設(shè)AD是ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證：。2過ABC的重

6、心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。求證：。3D、E、F分別在ABC的BC、CA、AB邊上， AD、BE、CF交成LMN。求SLMN。4以ABC各邊為底邊向外作相似的等腰BCE、 CAF、ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點(diǎn)。5已知正七邊形A1A2A3A4A5A6A7。求證：。6ABC的BC邊上的高AD的延長線交外接圓于P，作PEAB 于E，延長ED交AC延長線于F。求證：BC·EF=BF·CE+BE·CF。7正六邊形ABCDEF的對角線AC、CE分別被內(nèi)分點(diǎn)M、N分成的 比為AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共線。求k。（23-IMO-5）

7、8O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，分別以da、db、dc表示O到BC、CA、 AB的距離，以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、C的距離。 求證：（1）a·Rab·db+c·dc; (2) a·Rac·db+b·dc; (3) Ra+Rb+Rc2(da+db+dc)。9ABC中，H、G、O分別為垂心、重心、外心。 求證：H、G、O三點(diǎn)共線，且HG=2GO。（歐拉線）10O1和O2與ABC的三邊所在直線都相切，E、F、 G、H為切點(diǎn)，EG、FH的延長線交于P。求證：PABC。11如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分BAD。在CD 上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G。求證：GAC=EAC。1.分析：CEF截ABD（梅氏定理） 評注：也可以添加輔助線證明：過A、B、D之一 作CF的平行線。2.分析：連結(jié)并延長AG交BC于M，則M為BC的中點(diǎn)。 DEG截ABM（梅氏定理） DGF截ACM（梅氏定理） =1 評注：梅氏定理3. 梅氏定理4. 塞瓦定理5.評注：托勒密定理6.評注：西姆松定理（西姆松線）7.評注：面積法8.評注：面積法9.評注：同一法10. 評注：同一法11. 證明：連結(jié)BD交AC于H。對BCD用塞瓦定理，可得 因?yàn)锳H是BAD的角平分線，由角平分線定理， 可