切線的性質與切線長定理

1、問題：問題：前面我們已學過的切線的性質有哪些？前面我們已學過的切線的性質有哪些？答：答：、切線和圓有且只有一個公共點；、切線和圓有且只有一個公共點；、切線和圓心的距離等于半徑。、切線和圓心的距離等于半徑。切線還有什么性質？切線還有什么性質？觀察右圖：觀察右圖： 如果直線如果直線AT是是 O 的切線，的切線，A 為切點，那么為切點，那么AT和半徑和半徑OA是是 不不 是一定垂直？是一定垂直？ATOM 切線的性質切線的性質 圓的切線垂直于經過切點的半徑圓的切線垂直于經過切點的半徑 推論推論1 1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點推論推論2 2 經過切點且垂直

2、于切線的直線必經過圓心經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心123OBACD例例 如圖，如圖，AB為為 O的的直徑，直徑， C為為 O上一點，上一點，AD和過和過C點的切線互相點的切線互相垂直，垂足為垂直，垂足為D. 求證：求證：AC平分平分DAB.例2如圖，AB是 O的直徑，BC是和 O相切于點B的切線， O的弦AD平行于OC，求證：DC是 O的切線COBDA練習練習1按圖填空：按圖填空：(1). 如果如果AB是是 O的切線，的切線，A為切點為切點那么那么AOB O的切線的切線(2). 如果如果 A點在點在 O, OAAB，那么，那么AB是是切點切點(3).如果如果AB是是 O的切線，的切線，

3、OAAB，那么，那么A是是OAAB.練習練習2 如圖的兩個圓是以如圖的兩個圓是以O為圓為圓心的同心圓，大圓的弦心的同心圓，大圓的弦AB是小圓的切線，是小圓的切線， C為切點為切點.求證：求證：C是是AB的中點的中點.CABO證明：如圖，證明：如圖， C是是AB的中點的中點.AC=BC根據垂徑定理，得根據垂徑定理，得OCAB連接連接OC, 則則DCBOA練習練習3 如圖，在如圖，在 O中，中，AB為直為直徑，徑， AD為弦，為弦， 過過B點的切點的切線與線與AD的延長線交于點的延長線交于點C，且且AD=DC求求ABD的度數的度數.練習練習4DCBAO 已知：如圖，已知：如圖，AB 是是 O的直徑

4、，的直徑，AC、BD是是 O的切線的切線. 求證求證: ACBDAPB 這是一位同學運動完后放的籃球，如果截它的這是一位同學運動完后放的籃球，如果截它的平面，那么你能從中發(fā)現什么幾何知識呢？平面，那么你能從中發(fā)現什么幾何知識呢？墻墻 地面地面 P經過圓外一經過圓外一點可以有兩點可以有兩條直線與圓條直線與圓相切相切二探索二探索PBCO切線長：在經過圓外一點的圓的切線上,這點和切點之間的線段的長。思考：切線思考：切線長和切線的長和切線的區(qū)別和聯(lián)系？區(qū)別和聯(lián)系？下面進一步探討，先請一些同學做小實驗：下面進一步探討，先請一些同學做小實驗：pABO12（2）請根據你的觀察嘗試總結它們之間的關系。）請根據

5、你的觀察嘗試總結它們之間的關系。（1）請同學們觀察當圓變化時，切線長）請同學們觀察當圓變化時，切線長 PA、 PB之間的關系，同時觀察之間的關系，同時觀察1，2的關系。的關系。pABO已知： 求證：如圖，如圖，P為為 O外一點，外一點，PA、PB為為 O的切線，的切線，A、B為切點，連結為切點，連結POBPOAPOPBPA,你能不能用所你能不能用所學的幾何知識學的幾何知識 證明剛才的實驗？證明剛才的實驗？從你實驗的觀察和你從你實驗的觀察和你的證明你能得出怎樣的證明你能得出怎樣的結論呢？的結論呢？切線長定理切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這

6、一點的連線它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。平分兩條切線的夾角。pABO請你們結合圖形請你們結合圖形用數學語言表達用數學語言表達定理定理PA、PB分別切分別切 O于于A、B,連結連結POPA = PB，OPA=OPBOPA=OPB一判斷一判斷（1）過任意一點總可以作圓的兩條切線（）過任意一點總可以作圓的兩條切線（ ）（2）從圓外一點引圓的兩條切線，它們的長相等。（）從圓外一點引圓的兩條切線，它們的長相等。（）練習練習PBOA二填空選擇二填空選擇（1 1）如圖：）如圖：PAPA，PBPB切圓于切圓于A A，B B兩點，兩點， APBAPB5050度，連結度，連結POPO，

7、則則APO=APO= 25（2）如圖，如圖， ABC的內切圓分別和的內切圓分別和BC，AC，AB切于切于D，E，F；如果；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,則則BC= cm,AC= AB= （3）如圖，）如圖，PA、PB、DE分別切分別切 O于于A、B、C，DE分別交分別交PA，PB于于D、E，已知，已知P到到 O的切線長為的切線長為8CM，則，則 PDE的周長為的周長為（ ）A 16cmD 8cmC12cmB 14cmAPDCBE116cm9cmABDACFE274三、綜合練習三、綜合練習已知：如圖已知：如圖PA、PB是是 O的兩條切的兩條切線，線，A、B為切點。直線為切點。直線

8、OP交交 O于于D、E，交，交AB于于C。OPABCDE（1）圖中互相垂直的關系有 對，分別是（2）圖中的直角三角形有 個，分別是等腰三角形有 個，分別是（3）如果半徑為3cm，PO=6cm，則點P到 O的切線長為 cm，兩切線的夾角等于 度3ABOPPBOBPAOA,623360RtOAP, RtOAP,Rt ACORtACP,Rt BCO, Rt BCPAOB, APBOPABCDE（4）如果）如果PA=4cm，PD=2cm，試求半徑試求半徑OA的長。的長。x解：設解：設OA= x cm，則，則PO= + = cm在在Rt OAP中，中，PA= 4cm，由勾股定理得，由勾股定理得 222OPOAPA即：解得： x=PDOD(x+2)22224xx3cm半徑OA的長為3cmPBAOC 已知：如圖，PA ，PB分別切 O于A、B，AC為直徑。 求證：APBBAC211、本節(jié)學習了切線長的定義，注意和切線比較。學、本節(jié)學習了切線長的定義，注意和切線比較。學習了切線長定理習了切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角夾角。2、希望同