相似三角形-模型分析與典型例題講解大全.

1、第一部分相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型認(rèn)識(shí)（一） A 字型、反A 字型（斜 A 字型）AADEDEBCBC（平行）（不平行）（二） 8 字型、反8 字型（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型AADDCBC垂直不垂直（四）一線三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景（五）一線三直角型：（六）雙垂型：ADC二、相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型： 由 A 字型旋轉(zhuǎn)得到。8 字型拓展AAEFGDBCEBC共享性一線三等角的變形一線三直角的變形第二部分相似三角形典型例題講解母子型相似三角形例 1：如圖，梯形ABCD 中， AD BC，對(duì)角線 AC、

2、BD 交于點(diǎn) O， BE CD 交 CA 延長(zhǎng)線于E求證： OC2OA OE 例 2：已知：如圖，ABC 中，點(diǎn) E 在中線 AD 上 ,求證：（1） DB 2DEDA ； （2）BDEACDEBABC DCEDAC 例 3：已知：如圖，等腰ABC 中， AB AC， AD BC 于 D ， CG AB， BG 分別交 AD 、 AC 于 E、 F求證： BE2EFEG 相關(guān)練習(xí)：1、如圖，已知AD 為 ABC 的角平分線，EF 為 AD 的垂直平分線求證：FD 2FBFC 2、已知：AD是Rt ABC中 A 的平分線，C=90°， EF 是AD的垂直平分線交AD于M， EF、 BC

3、的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)N。求證：(1) AME NMD;(2)ND2 =NC· NB3、已知：如圖，在ABC中， ACB=90°， CD AB于 D， E 是 AC上一點(diǎn)， CF BE 于 F。求證： EB·DF=AE· DB4. 在ABC 中， AB=AC，高 AD與 BE交于 H， EFBC ，垂足為 F，延長(zhǎng) AD到 G，使 DG=EF，M是 AH的中點(diǎn)。求證：GBM90AMEHBDFCG5已知：如圖，在Rt ABC中， C=90°， BC=2，AC=4， P是斜邊 AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD AB，交邊 AC于點(diǎn) D（點(diǎn) D與點(diǎn) A、 C都不重合

4、）， E 是射線 DC上一點(diǎn)，且 EPD= A設(shè) A、 P 兩點(diǎn)的距離為 x， BEP的面積為 y（ 1）求證： AE=2PE；（ 2）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（ 3）當(dāng) BEP與 ABC相似時(shí)，求 BEP的面積雙垂型1 、如圖，在ABC中， A=60°， BD、CE分別是 AC、 AB 上的高，求證： （ 1） ABD ACE；（2） ADE ABC； (3)BC=2EDAEDBC2、如圖，已知銳角ABC ，AD 、CE 分別是 BC 、AB 邊上的高， ABC 和 BDE 的面積分別是27和3，DE=62 ，求：點(diǎn) B 到直線 AC 的距離。AEBDC共

5、享型相似三角形1 、 ABC是等邊三角形,D、 B、 C、 E 在一條直線上120，已知 BD=1， CE=3， , 求等邊三角形的邊, DAE=長(zhǎng) .ADBCE2、已知：如圖，在Rt ABC 中， AB=AC， DAE =45°求證：（ 1） ABE ACD ；（ 2） BC 22BECD ABDEC一線三等角型相似三角形例 1：如圖，等邊 ABC 中，邊長(zhǎng)為 6，D 是 BC 上動(dòng)點(diǎn)， EDF =60° （ 1）求證： BDE CFD（ 2）當(dāng) BD =1， FC=3 時(shí)，求 BE AEFBDC例 2：（ 1）在ABC 中， ABAC 5， BC8，點(diǎn) P 、Q分別在射

6、線 CB、 AC上（點(diǎn) P不與點(diǎn) C、點(diǎn) B 重合），且保持 APQABC .若點(diǎn) P 在線段 CB 上（如圖），且 BP6 ，求線段 CQ 的長(zhǎng)；若 BPx ， CQy ，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；AAAQBPCBCBC備用圖備用圖（ 2）正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為 5 （如下圖），點(diǎn) P 、 Q 分別在直線 CB 、 DC 上（點(diǎn) P 不與點(diǎn) C 、點(diǎn) B 重合），且保持APQ90 . 當(dāng) CQ1 時(shí)，求出線段BP 的長(zhǎng) .ADADADBCBCBC例 3：已知在梯形 ABCD 中， ADBC， AD BC，且 AD 5， AB DC 2（ 1）如圖 8， P 為

7、AD 上的一點(diǎn)，滿足 BPC AAPDBC求證； ABP DPC求 AP 的長(zhǎng)（ 2）如果點(diǎn) P 在 AD 邊上移動(dòng)（點(diǎn) P 與點(diǎn) A、D 不重合），且滿足 BPE A， PE 交直線 BC 于點(diǎn) E，同時(shí)交直線 DC 于點(diǎn) Q，那么當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AP x，CQyy關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的 ，求定義域；當(dāng) CE 1 時(shí)，寫出 AP 的長(zhǎng)ADADBBCC例 4：如圖，在梯形ABCD中，AD BC ，ABCDBC6，AD3 點(diǎn)M為邊BC 的中點(diǎn)，以M 為頂點(diǎn)作EMFB ，射線 ME 交腰 AB 于點(diǎn) E ，射線（ 1）求證：MEF BEM ；（ 2）若 BEM 是以 BM

8、 為腰的等腰三角形，求EF 的長(zhǎng)；（ 3）若 EFCD ，求 BE 的長(zhǎng)MF交腰CD于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF相關(guān)練習(xí)：1、如圖，在ABC 中， ABAC8 ， BC10 ， D 是 BC 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E 在 AC 邊上，且ADEC (1) 求證： ABD DCE；(2)如果 BDx ， AEy ，求 y 與 x 的函數(shù)解析式，并寫出自變量x 的定義域；(3)當(dāng)點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn)時(shí)，試說明ADE 是什么三角形，并說明理由AEBDC2、如圖，已知在ABC 中，AB=AC=6， BC=5， D 是 AB 上一點(diǎn)， BD=2，E 是 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE ，并作DEFB ，射線 EF 交線段

9、AC 于 F（ 1）求證： DBE ECF ；（2）當(dāng) F 是線段 AC 中點(diǎn)時(shí)，求線段BE 的長(zhǎng)；（ 3）聯(lián)結(jié) DF ，如果 DEF 與 DBE 相似，求FC 的長(zhǎng)AFDBEC3、已知在梯形ABCD 中， AD BC， AD BC，且 BC =6， AB=DC =4，點(diǎn) E 是 AB 的中點(diǎn)（ 1）如圖， P 為 BC 上的一點(diǎn)，且BP=2 求證： BEP CPD；（ 2）如果點(diǎn) P 在 BC 邊上移動(dòng)（點(diǎn) P 與點(diǎn) B、 C 不重合），且滿足 EPF= C，PF 交直線 CD 于點(diǎn) F ，同時(shí)交直線 AD 于點(diǎn) M，那么當(dāng)點(diǎn) F 在線段 CD 的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)BP= x ， DF = y

10、，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定域；9時(shí)，求 BP 的長(zhǎng)當(dāng) SDMFSBEP4ADEBPC（第25題ADEBC（備用圖）4、如圖，已知邊長(zhǎng)為3 的等邊 ABC ，點(diǎn) F 在邊 BC 上， CF1 ，點(diǎn) E 是射線 BA 上一動(dòng)點(diǎn)， 以線段 EF為邊向右側(cè)作等邊EFG ，直線 EG, FG 交直線 AC 于點(diǎn) M, N ，（ 1）寫出圖中與 BEF 相似的三角形；（ 2）證明其中一對(duì)三角形相似；（ 3）設(shè) BEx, MNy ，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x 的取值范圍；（ 4）若 AE1 ，試求GMN 的面積備用圖一線三直角型相似三角形例 1、已知矩形 ABCD

11、 中，CD=2 ，AD=3 ，點(diǎn) P 是 AD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 且和點(diǎn) A,D 不重合，過點(diǎn) P 作 PECP ，交邊 AB 于點(diǎn) E,設(shè) PDx, AEy ，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x 的取值范圍。APDEBC例 2、在ABC 中，C90o , AC4, BC3, O 是 AB 上的一點(diǎn)，且AO2 ，點(diǎn) P 是 AC 上的一個(gè)AB5動(dòng)點(diǎn)， PQOP 交線段 BC 于點(diǎn) Q，（不與點(diǎn) B,C 重合），設(shè) APx,CQy ，試求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系，并寫出定義域。CQPBOA【練習(xí) 1】在直角ABC 中，C90o , AB5, tan B3 ，點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) E

12、 是 AB 邊上的動(dòng)點(diǎn)， DFDE4交射線 AC 于點(diǎn) F（ 1）、求 AC 和 BC 的長(zhǎng)（ 2）、當(dāng) EF / BC 時(shí)，求 BE 的長(zhǎng)。（ 3）、連結(jié) EF,當(dāng)DEF 和ABC 相似時(shí)，求BE 的長(zhǎng)。AAEEFFBBCDCD【練習(xí) 2】在直角三角形ABC 中， C90o , ABBC, D 是 AB 邊上的一點(diǎn)， E 是在 AC 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（與 A,C不重合）， DFDE , DF 與射線 BC 相交于點(diǎn) F.(1)、當(dāng)點(diǎn) D 是邊 AB 的中點(diǎn)時(shí)，求證：DEDF(2)、當(dāng) ADm ，求 DE 的值DBDF（ 3）、當(dāng) ACBC 6, AD1，設(shè) AEx, BF y , 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域DB2CCFFEE練習(xí)4】如圖，在ABABC ABDD中，3C90 ， AC 6 ，tan B ， D 是 BC 邊的中點(diǎn)， E 為 AB 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 作 DEF 90 ，EF 4交射線BC于點(diǎn)F設(shè)BEx ，BED 的面積為y （ 1）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量（ 2）如果以 B 、 E 、 F 為頂點(diǎn)的三角形與x 的取值范圍； BED 相似，求BED 的面積 .【 練習(xí)5】、（