相似三角形解題方法、步驟(教師版).

1、相似三角形解題方法、技巧、步驟一、相似、全等的關(guān)系全等和相似是平面幾何中研究直線形性質(zhì)的兩個(gè)重要方面，全等形是相似比為 1 的特殊相似形，相似形則是全等形的推廣因而學(xué)習(xí)相似形要隨時(shí)與全等形作比較、 明確它們之間的聯(lián)系與區(qū)別；相似形的討論又是以全等形的有關(guān)定理為基礎(chǔ)二、相似三角形(1)三角形相似的條件：； .三、兩個(gè)三角形相似的六種圖形：只要能在復(fù)雜圖形中辨認(rèn)出上述基本圖形，并能根據(jù)問題需要舔加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，從而使問題得以解決.四、三角形相似的證題思路：判定兩個(gè)三角形相似思路：1）先找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等 (對(duì)平行線型找平行線 )，因?yàn)檫@個(gè)條件最簡(jiǎn)單；2）再而先找一對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，且

2、看夾角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例；3）若無對(duì)應(yīng)角相等，則只考慮三組對(duì)應(yīng)邊是否成比例；找另一角兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似a) 已知一對(duì)等找夾邊對(duì)應(yīng)成比例兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似找夾角相等兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似找第三邊也對(duì)應(yīng)成比例三邊對(duì)應(yīng)b) 己知兩邊對(duì)應(yīng)成比成比例，兩三角形相似找一個(gè)直角斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似c) 己知一個(gè)直找另一角兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似找兩邊對(duì)應(yīng)成比例判定定理1 或判定定理4找頂角對(duì)應(yīng)相等判定定理1d) 有 等 腰 關(guān)找底角對(duì)應(yīng)相等判定定理 1找底和腰對(duì)應(yīng)成比例判定定理3e)相似形的傳遞性若1 2， 2 3，則 1 3五、“三點(diǎn)定

3、形法”， 即由有關(guān)線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)來確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項(xiàng)和后項(xiàng)所代表的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形， 若能，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就可以了，這叫做“橫定”；若不能，再看每個(gè)比的前后兩項(xiàng)的兩條線段的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就行了，這叫做“豎定”。有些學(xué)生在尋找條件遇到困難時(shí)，往往放棄了基本規(guī)律而去亂碰亂撞， 亂添輔助線， 這樣反而使問題復(fù)雜化， 效果并不好，應(yīng)當(dāng)運(yùn)用基本規(guī)律去解決問題。例 1、已知 : 如圖 , ABC中 ,CE AB,BFAC.求證: AE ACAFBA（判斷“橫定”還是“豎定”

4、？）例 2、如圖， CD 是 RtABC 的斜邊 AB 上的高， BAC 的平分線分別交 BC 、CD 于點(diǎn) E、F，AC AE=AF AB 嗎？說明理由。分析方法：1）先將積式 _2）_（“橫定”還是“豎定”？）例1、已知：如圖，ABC中，0ACB=90，AB的垂直平分線交AB于 D，交 BC延長(zhǎng)線于 F。2求證： CD=DEDF。分析方法：1）先將積式 _2）_（“橫定”還是“豎定”？）六、過渡法（或叫代換法）有些習(xí)題無論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運(yùn)用 “過渡 ”，其主要類型有三種，下面分情況說明1、 等量過渡法（等線段代換法）遇到三點(diǎn)定形法無法解決欲證的問題時(shí)，即如果線段

5、比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個(gè)三角形，但這兩個(gè)三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡(jiǎn)單的輔助線。然后再應(yīng)用三點(diǎn)定形法確定相似三角形。只要代換得當(dāng)，問題往往可以得到解決。 當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。例 1：如圖 3，ABC 中， AD 平分 BAC ， AD 的垂直平分線 FE 交 BC 的延長(zhǎng)線于 E求證： DE 2 BECE分析：2、 等比過渡法（等比代換法）當(dāng)用三點(diǎn)定形法不能確定三角形，同時(shí)也無等線段代換時(shí)，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的

6、比為比例式搭橋，也就是通過對(duì)已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)論中某個(gè)比相等的比，并進(jìn)行代換，然后再用三點(diǎn)定形法來確定三角形。例 2：如圖 4，在 ABC 中， BAC=90，AD BC，E 是 AC 的中點(diǎn)， ED 交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F求證：ABDF ACAF3、等積過渡法（等積代換法）思考問題的基本途徑是：用三點(diǎn)定形法確定兩個(gè)三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點(diǎn)定形法不能確定兩個(gè)相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點(diǎn)定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時(shí)，則考慮用等積代換法。例 3：如圖 5，在 ABC 中， ACB=90 ，CD 是

7、斜邊 AB 上的高， G 是 DC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過 B 作 BE AG，垂足為 E ，交CD于點(diǎn)F求證： CD2 DFDG 小結(jié)：證明等積式思路口訣：“遇等積，化比例：橫找豎找定相似；不相似，不用急：等線等比來代替?！蓖惥毩?xí)：1如圖，點(diǎn)D、E 分別在邊 AB 、AC 上，且 ADE=C求證：（ 1） ADE ACB;(2)ADAB=AE AC.（ 1 題圖）（ 2 題圖）2如圖， ABC中，點(diǎn) DE在邊 BC上，且 ADE是等邊三角形， BAC=120求證：（ 1） ADB CEA;2、 DE2=BD CE;(3)AB AC=AD BC.3如圖，平行四邊形ABCD 中， E 為 BA 延長(zhǎng)

8、線上一點(diǎn)，D= ECA.求證： ADEC=ACEB.（此題為陷阱題，應(yīng)注意條件中唯一的角相等，考慮平行四邊形對(duì)邊相等，用等線替代思想解決）4如圖， AD 為 ABC中 BAC 的平分線， EF 是 AD的垂直平分線。求證： FD2=FC FB。（此題四點(diǎn)共線， 應(yīng)積極尋找條 件，等線替代，轉(zhuǎn)化為證三角形相似。 ）5如圖， E 是平行四邊形的邊 DA 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， EC交 AB于點(diǎn)G,交 BD 于點(diǎn) F,求證： FC2=FG EF.（此題再次出現(xiàn)四點(diǎn)共線，等線替代無法進(jìn)行，可以考慮等比替代。）6如圖， E 是正方形 ABCD邊 BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接 AE交 CD于 F, 過 F 作 FMBE

9、交 DE于 M.求證： FM=CF.( 注：等線替代和等比替代的思想不局限于證明等積式，也可應(yīng)用于線段相等的證明。此題用等比替代可以解決。)7如圖， ABC中， AB=AC,點(diǎn) D 為 BC邊中點(diǎn)， CEAB,BE 分別交AD、AC于點(diǎn) F、 G，連接 FC.求證：（ 1）BF=CF.(2)S FDA(2)BF2=FGFE.（練習(xí)題圖）（8如圖， ABC=90 ,AD=DB,DE AB, 求證： DC2=DEDF.9如圖， ABCD為直角梯形， ABCD,ABBC,AC BD。AD=BD，過 E 作 EFAB交 AD于 F.是說明：（ 1）AF=BE;(2)AF 2=AE EC.10 ABC中

10、 , BAC=90,AD BC,E 為 AC中點(diǎn)。求證： AB:AC=DF:AF。七、證比例式和等積式的方法：對(duì)線段比例式或等積式的證明： 常用 “三點(diǎn)定形法 ”、等線段替換法、中間比過渡法、面積法等若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時(shí)， 應(yīng)將線段比 “轉(zhuǎn)移 ”(必要時(shí)需添輔助線 )，使其分別構(gòu)成兩個(gè)相似三角形來證明可用口訣：遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系；三點(diǎn)定形用相似，三點(diǎn)共線取平截；平行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來代替；兩端各自找聯(lián)系，可用射影和園冪例 1 如圖 5 在ABC 中，AD 、BE 分別是 BC、AC 邊上的高， DF AB 于 F ，交 AC 的延長(zhǎng)線于 H，交 BE 于

11、G，求證：(1) FG/ FAFB / FH(2)FD 是 FG 與 FH 的比例中項(xiàng)1 說明：證明線段成比例或等積式， 通常是借證三角形相似 找相似三角形用三點(diǎn)定形法 (在比例式中，或橫著找三點(diǎn)，或豎著找三點(diǎn) )，若不能找到相似三角形，應(yīng)考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換例 2 如圖 6， ABCD 中， E 是 BC 上的一點(diǎn)， AE 交 BD 于點(diǎn) F，已知 BE：EC 3：1，S18，求： (1)BF ：FDFBE2 說明： 線段 BF、 FD 三點(diǎn)共線應(yīng)用平截比定理由平行四邊形得出兩線段平行且相等，再由“平截比定理 ”得到對(duì)應(yīng)線段成比例、三角形相似；由比例合比性質(zhì)轉(zhuǎn)化為

12、所求線段的比；由面積比等于相似比的平方，求出三角形的面積例 3如圖 7 在ABC 中， AD 是 BC 邊上的中線， M 是 AD的中點(diǎn)， CM 的延長(zhǎng)線交AB 于 N求： AN： AB 的值；11已知， CE是 RTABC斜邊 AB 上的高，在EC延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn) P, 連接 AP,作 BGAP,垂足為 G，交 CE于點(diǎn) D.試證： CE2=ED EP.( 注：此題要用到等積替代，將CE2用射影定理替代，再化成比例3 說明： 求比例式的值，可直接利用己知的比例關(guān)系或是借助己知條件中的平行線，找等比過渡當(dāng)已知條件中的比例關(guān)系不夠用時(shí)，還應(yīng)添作平行線，再找中間比過渡式。 )例 4如圖 8 在矩形

13、 ABCD 中， E 是 CD 的中點(diǎn)， BE AC 交AC 于 F，過 F 作 FGAB 交 AE 于 G求證： AG 2 AFFC4 說明： 證明線段的等積式，可先轉(zhuǎn)化為比例式，再用等線段替換法，然后利用 “三點(diǎn)定形法 ”確定要證明的兩個(gè)三角形相似、例 5 如圖在 ABC 中，D 是 BC 邊的中點(diǎn)， 且 AD AC，DE BC，交 AB 于點(diǎn) E， EC 交 AD 于點(diǎn) F(1)求證： ABC FCD ；(2)若 SFCD 5， BC10，求 DE 的長(zhǎng)5 說明： 要證明兩個(gè)三角形相似可由平行線推出或相似三角形的判定定理得兩個(gè)三角形相似再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性

14、質(zhì)得到線段的長(zhǎng)例 6 如圖 10 過ABC 的頂點(diǎn) C 任作一直線與邊 AB 及中線AD 分別交于點(diǎn)F 和 E過點(diǎn) D 作 DM FC 交 AB 于點(diǎn) M(1)若 SAEF：S 四邊形 MDEF 2：3，求 AE：ED；(2)求證： AEFB 2AF ED6 說明： 由平行線推出兩個(gè)三角形相似，再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到兩線段的比注意平截比定理的應(yīng)用例 7己知如圖 11 在正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1，P 是 CD 邊的中點(diǎn)，Q 在線段 BC 上，當(dāng) BQ 為何值時(shí)，ADP 與QCP相似？7 說明： 兩個(gè)三角形相似，必須注意其頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系然后再確定頂點(diǎn) P

15、所在的位置本題是開放性題型，有多個(gè)位置，應(yīng)注意計(jì)算，嚴(yán)防漏解例 8 己知如圖 12 在梯形 ABCD 中， AD BC， A 900 ，AB 7，AD 2， BC 3試在邊 AB 上確定點(diǎn) P 的位置，使得以 P、 A、D 為頂點(diǎn)的三角形與以 P、 B、C 為頂點(diǎn)的三角形相似8 說明： 兩個(gè)三角形相似，必須注意其頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系然后再確定頂點(diǎn) P 所在的位置本題有多個(gè)位置，應(yīng)注意計(jì)算，嚴(yán)防漏解例 11如圖，已知 ABC 中， AB=AC ， AD 是 BC 邊上的中線， CF BA ， BF 交 AD于P點(diǎn)，交 AC于E點(diǎn)。求證：BP2 =PEPF。AEFBDMC11 分析：因?yàn)锽P、PE、 PF 三條線段共線，找不到兩個(gè)三角形，CAB=AC ，D 是 BC 中所以必須考慮等線段代換等其他方法，因?yàn)辄c(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直平分線，如果我們連結(jié) PC，由線段垂直平分線的性質(zhì)知PB=PC，只需證明 PEC PCF，問題就能解決了。D例 12如圖，已知：在ABC 中， BAC=900 ， AD BC，EE 是 AC 的中點(diǎn)， ED 交 AB 的延長(zhǎng)線于 F。求A證 FM