1991考研數(shù)二真題及解析

1、1991年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題、填空題(每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上.) 設(shè) y = ln(1 +3"),則 dy =2(2)曲線y =e*的上凸區(qū)間是(4)質(zhì)點(diǎn)以速度tsin(t2)米每秒作直線運(yùn)動，則從時刻t1=J一秒到t2=Jf秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程等于 米1,、1 -e，(5) lim r =x_0 -1x ex二、選擇題(每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).) 若曲線y = x2 +ax + b和2y = -1 +xy3在點(diǎn)(1,一1)處相切，其中a,b是常數(shù)，則()(2)(A

2、) a = 0,b = -2(B)a = 1,b - -3(C) a-3,b=1(D)a - -1,b - -1設(shè)函數(shù)2 一 -x , 0 W x W1f(x)=<''記 F(x)2 -x,1 :二 x <2,x=j0 f (t)dt,0 WxW2,則x3,0 < x < 13(A) F(x)=321 x2x -,1 x - 233(B)(C)F(x) =2x233x,0 MxM132一 x 一2x-x ,1 : x <22(D)x3,0 Mx£13F(x)=32-7 2x-x ,1 ： x< 262x3一，0<x<1F

3、(x)=3 22x-,1 ： x < 22 設(shè)函數(shù)f(x)在(3, Z)內(nèi)有定義，/#0是函數(shù)f(x)的極大點(diǎn)，則(A) %必是f(x)的駐點(diǎn)(B)-%必是一f (-x)的極小點(diǎn)(C) Xo必是f(x)的極小點(diǎn)(D)對一切X都有f (x)< f (Xo)1 e(4)曲線 y=L_e1 -e/(A)沒有漸近線(C)僅有鉛直漸近線(B)(D)僅有水平漸近線既有水平漸近線又有鉛直漸近線(5)如圖，X軸上有一線密度為常數(shù) k ,長度為l的細(xì)桿，有一質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)到桿右端的距離為a,已知引力系數(shù)為k ,則質(zhì)點(diǎn)和細(xì)桿之間引力的大小為()(A)0 km72(a -x)dx(B)0(a-x)2d

4、x八0 km(C) 2 l 2dx(D)2(a x)2 2 j0 (a x)dx三、(每小題5分，滿分25分.)x = t cost d2y設(shè)i，求一2-y =tsint dx(2)計(jì)算dxx(1 x)x -sin x lim 2-xx)0 x (e -1)2.(4)求 xsin xdx. 求微分方程xy' +y = xeX滿足y(1) = 1的特解.四、(本題滿分9分)利用導(dǎo)數(shù)證明：當(dāng) x>1時，有不等式1n"x) >上 成立.ln x 1 x五、(本題滿分9分)求微分方程y* + y = x + cosx的通解.六、(本題滿分9分)曲線y =(x1)(x2)和

5、x軸圍成一平面圖形，求此平面圖形繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積七、(本題滿分9分)AB : DC如圖，人和D分別是曲線y = ex和y = e/x上的點(diǎn),AB和DC均垂直x軸，且八、(本題滿分9分)設(shè)函數(shù) f (x)在(-°o,)內(nèi)滿足 f (x) = f (x-U)十sin x,且 f (x) = x, x w 0, n ),3 二計(jì)算 f (x)dx.1991年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析、填空題(每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上.)【答案】2-dx3x 1【解析】由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，即y =邛(f (x)的微分為dy =邛'(f (x) f&

6、#39;(x)dx,有1/dy =5r 3 1n 3 (-1)dx 二 131n3_x3 1dx.【解析】求函數(shù) y = f (x)的凹凸區(qū)間，只需求出y"，若y">0 ,則函數(shù)圖形為上凹，若y”<0,則函數(shù)圖形為上凸，由題可知22y' -e" (_2x)=_2xe：一 ，用極限法求廣義積分一 / 一。2 2 1y - -2e(-2x)e (-2x) 4e (x2 -).因?yàn)?e* >0,所以當(dāng)x2<0時y"<0 ,函數(shù)圖像上凸，即x2 <,< x < 時,2222函數(shù)圖像上凸.故曲線上凸區(qū)間為11

7、(，2二2).分部(4)【答案】12這是定積分的應(yīng)用b In x17 dx-lm1n b Jn1b 11 11nxdy)1 11("+ 一 1 "b r Jn b 1J Ilm J).設(shè)在tT t+dt時刻的速度為tsin(t2),則在dt時間內(nèi)的路程為 ds = tsin(t2)dt,所以從時刻t1 =,5秒到t2 =秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程為【答案】【解析】為簡化計(jì)算二、選擇題（1）【答案】【解析】t2., 2、,=、tsin(t )dt2.1.21-J2二 ."sin(t2)dtKpsin(t2)dt=-1cos(t2)2二/21 ,二、11(cos 二-cos

8、) = -(-1 -0)=2222-1這是一個_1-型未定式，分子分母同乘以e,得Q01 -e: lim x_0 .x e廠 xim0- x1e x -11xe x 1人 11,令t =-，則x =-,原式可化為t1e” -1xe x 1（每小題3分,滿分15分.）（D）兩函數(shù)在某點(diǎn)處相切對兩函數(shù)分別對 x求導(dǎo)，得y '=2x + a ,則該曲線在點(diǎn)2y' = y3 +3xy2y'，即 y'e -1 O -1/=lim t- 二 -1.te d 0 1-1t,則在該點(diǎn)處的切線的斜率相等，即在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，(1,一1)處的導(dǎo)數(shù)為y'上=2 + a,x

9、1'3=匕），則曲線在點(diǎn)（1,-1）處的導(dǎo)數(shù)為2 - 3xy2兩導(dǎo)數(shù)相等，有2+a=14a = 1.又因?yàn)榍€ y = x2+ax + b過點(diǎn)(1,一1),所以有 一1 =1+a+b = 1-1+b = b,b =-1.所以選項(xiàng)（D）正確.（2）【答案】（B）【解析】這是分段函數(shù)求定積分當(dāng) 0 Ex W1 時，f(x) =x2,所以 F (x) = f (t)dt =t2dt =00,3 o 31x3.當(dāng) 1 <xE2時，f(x)=2x,所以x1xF(x) = f(t)dt = t2dt(2 -t)dt00i11 21、(2x x ) - (2)32271 2- 2x - x .

10、62L 3x _一,0 <x <1所以 F(x) = J 39，應(yīng)選(B).7cx'c2x- ,1： x _2.62【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可導(dǎo)點(diǎn)也可取極值，如f (x) = - x -1 ,在x0 = 1處取極大值，但是% =1不是f (x) = x 1的駐點(diǎn)，所以(A)不正確；注意到極值的局部性，即極值不是最值，所以(D)也不正確；對于f (x) = | x 1|,在x0 =1處取極大值，但x0 = -1并非是一 f (x) =| x - 1|的極小 值點(diǎn)，所以(C)也不成立；故選(B).方法二：證明(B)是正確的，因?yàn)閤o # 0,不妨設(shè)% A

11、0,則f (x0)為極大值，則在小的某個領(lǐng)域內(nèi)有 f (x0) A f (x0 ± Ax);函數(shù)y = _f (_x)與函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以必有f(%)<f(x0±Ax),即在-x0的某個領(lǐng)域內(nèi)-f(-x0)為極小值，故(B)是正確的.(4)【答案】(D)【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?x ¥ 0,所以函數(shù)的間斷點(diǎn)為 x = 0 ,21 e" lim y = lim2x 0x_0 1 _eex2e 1= lim一二g，所以x = 0為鉛直漸近線，x 0ex -1所以選(D). * 1 elim y = lim2x : x Hx2.e 1lim

12、工一1=1,所以y = 1為水平漸近線.x : ex -1【相關(guān)知識點(diǎn)】鉛直漸近線：如函數(shù)y = f (x)在其間斷點(diǎn)x = x0處有l(wèi)im f (x)=°0 ,則x 1x0x = x0是函數(shù)的一條鉛直漸近線;水平漸近線：當(dāng)lim f(x)=a,(a為常數(shù))，則y = a為函數(shù)的水平漸近線. x -(5)【答案】(A)【解析】如圖建立坐標(biāo)系，則XT x+dx中，dx長度的細(xì)桿白質(zhì)量為 Rdx,與質(zhì)點(diǎn)的距離為ax,故兩點(diǎn)間的引力為dF = km"dx ,積分得F=： km"。dx,故選(A).(a -x)(cost -t sin t)3 _2 t2(cost -ts

13、int)3【相關(guān)知識點(diǎn)】參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法：如果!x：，則包=誓.(a-x)2同理應(yīng)用微元法可知，若以l的中點(diǎn)為原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a +-,0),故2dx ；2 km(a - -x)22i km若以l的左端點(diǎn)為原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a +1,0)，故F = ( 2 dx .0 (a 1 -x)故(B)、(C)、(D)均不正確,應(yīng)選(A).三、(每小題5分，滿分25分.)(1)【解析】這是個函數(shù)的參數(shù)方程dydy/dtsin t t cost,dxdx/dtcost -tsint.2d yd dy1d sin t +t cost 1dx2dt(dx,dxdt( cost-t sin

14、t，cost 7 sintdt(2cos t -tsin t)(cost -tsint) (2sin t tcost)(sint tcost) 1(cost -tsint)2cost -tsint2(cos t sin21) t2(sin2t cos21)-3tsintcost 3tsintcost4 dx 212 112tdt =2( )dt1 t 1 t=2 ln=2(ln- -ln-) = 2ln 4 ._ t 1 1323(3)【解析】利用等價無窮小和洛必達(dá)法則.當(dāng)x t 0時，有sin x ： x,ex ： 1十x,所以(4)limx0x -sin xx2(ex-1)x -sin x

15、洛lim=x W1 - cosx3x22 x 2sin2 3x216【解析】用分部積分法求不定積分.2 1 -cos2xxsin xdx = x2，1，C、，dx = 3 (x-xcos2x)dx1 .1 一. 1 21. .一、二一 xdx xcos2xdx= - x - xd(sin 2x)2 2441211= x - xsin2x， isin 2xdx444121.八 1 八 八=-x -xsin 2x -cos2x C .4481【解析】所給方程是一階線性方程，其標(biāo)準(zhǔn)形式為y ' +1 y = ex.通解為x_ r1 dxr1 dx1=e x ( exe x dx C) = (

16、 xexdx C) x1V 11二-(xde C) 二 一(xe - e dx C) = -(xe e C). xxx代入初始條件y(1)=1得C =1,所以特解為y =i+xex.x x【相關(guān)知識點(diǎn)】一階線性非齊次微分方程y' + p( x) y = q(x)的通解為-p(x) dxp(x) dxy=e(Jq(x)e dx + C),其中C為常數(shù).四、(本題滿分9分)【解析】首先應(yīng)簡化不等式，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.當(dāng) x >1 時，原不等式即(1 +x)ln(1 +x) a x ln x ,即(1 + x)ln(1 +x) - xln x >0 .證法一：令f(x) =(1+x)

17、ln(1 +x) xln x,則只需證明在x>1時f(x)A0即可，可利用函數(shù)的單調(diào)性證明，對于f (x)有x 1f (x) = ln(1 x) 1 一 ln x -1 = ln().x 1因x>1,故 >1,即f'(x)>0,所以在(1,依)上f(x)是嚴(yán)格遞增函數(shù)，所以 xf(x) . f(1) = 2ln 2 0,故(1+x)ln(1 +x)xlnx >0,所以當(dāng)x>1時，有不等式1n(1 + x) >_成立.In x 1 x證法二：當(dāng)x>1時，原不等式即(1 + x)1n(1 +x)>x1nx,不等式左右兩端形式一致，故令f

18、(x)=x1nx,則 f'(x) = 1nx+1>0(x>1),所以 f(x) = x1nx 在 xa1 時嚴(yán)格單調(diào)遞增故 f (x +1) > f (x),即(1 +x)1n(1 +x) > x1n x.所以當(dāng)x>1時，有不等式1n(1 +刈 > 上成立.1n x 1 x五、(本題滿分9分)2【解析】微分萬程 y +y=x+cosx對應(yīng)的齊次萬程 y +y=0的特征萬程為r +1 = 0,特征根為氏2 =由,故對應(yīng)齊次通解為 C1 cosx + C2 sin x.方程y"十y = x必有特解為Y = ax + b,代入方程可得a=1,b

19、= 0.方程y* + y = cosx的右端e" cosPx = cosx, + Pi = i為特征根，必有特解1Y2 =x Acosx+x Bsinx,代入萬程可得 A = 0, B=-.2x由疊加原理，原方程必有特斛 Y = Y1+丫2 = x十一sin x.21所以原方程的通斛為y = C1 cosx C2 sin x x xsin x.2【相關(guān)知識點(diǎn)】關(guān)于微分方程特解的求法：如果f(x) = Pm(x)e'x,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y“+p(x)y' + q(x)y = f(x)具有形如y =xkQm(x)e"的特解，其中Qm(x)與Pm(x

20、)同次(m次)的多項(xiàng)式，而k按九不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取為0、1或2 .如果f (x) =eP(x)cos0x + Pn(x)sin cox,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y" + p(x)y'+q(x)y = f (x)的特解可設(shè)為y* =xkeRrm1)(x)cos®x +Rm2) (x)sin«x,其中Rm)(x)與Rf (x)是m次多項(xiàng)式，m = maxh,n,而k按九+聞(或九因)不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取為0或1.六、（本題滿分9分）【解析】利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積，用微元法，曲線為一拋物線，與

21、x軸的交點(diǎn)是x1=1,c，31、X2 =2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）. 24方法一：考慮對x積分，如圖中陰影部分繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周，環(huán)柱體的體積為y| = 2n x y dx + 冗y dx2”， ，一、2dV = n(x +dx) y -nx其中dx2為dxT 0的高階無窮小，故可省略，且y為負(fù)的，故 y = _y,即 dV = -2n xydx = -2nx(x -1)(x -2)dx .把x從1t 2積分得2223V = J 2二x(1-x)(x-2)dx =2二 v (3x -x -2x)dx二2二 x3x4.x22 411 二2二(0 4)方法二：考慮對y的積分，如圖中陰影部分繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周

22、的體積為拋物線兩半曲線分別繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周后的體積差，即2 ,2 ,dV -二 x2 dy -二 x1 dy其中，x1, x2為Y = y與拋物線的交點(diǎn)，且x2 A x1,把Y = y代入拋物線方程 y =（x1）（x2），解得x13 L, 1 4 y2022故旋轉(zhuǎn)體體積為 V =11兀（x2 -x1 ）dy .把x1, x2的值代入化簡，得 40l-3n -2於 1°V = J 13n 也 +4ydy = (1 + 4y)2七、（本題滿分9分）【解析】可以利用函數(shù)的極值求解.設(shè)B、C的橫坐標(biāo)分別為x1,x ,因?yàn)閨 AB |< 1 ,所以x, <0, x>0.依題設(shè)AB : DC =2:1，所以有e%=2e,x,兩邊同時取自然對數(shù)，得x=ln22x,而BC =xx1 =x-(ln2-2x) =3x ln2,(x . 0),所以梯形ABCD的面積為S =-(ex1 e2x)(3x-ln 2) =-(2e2x e/x)(3x In 2) =3(3x In 2)e=x.22232x-求函數(shù)S = (3x-ln 2)e ,( x >0)的最值，滿足