柯西不等式(優(yōu)質(zhì)課)ppt課件

1、柯 西 不 等 式二維形式的柯西不等式1；. 柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。 27歲成為巴黎綜合工科學(xué)校教授， 并當(dāng)選為法國科學(xué)院 院士. 柯西對高等數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)包括：無窮級數(shù)的斂散性，實(shí)變和復(fù)變函數(shù)論,微分方程，行列式，概率和數(shù)理方程等方面的研究 目前我們所學(xué)的極限和連續(xù)性的定義，導(dǎo)數(shù)的定義，以及微分、定積分用無窮多個無窮小的和的極限定義，實(shí)質(zhì)上都是柯西給出的。2；.設(shè)設(shè) 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù). ., , ,a b c d()()2222abcd聯(lián)聯(lián) 想想3；.222222222222222()() ()()()abcda cb

2、da db cacbdadbcacbd研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等關(guān)系4；.二維形式的柯西不等式二維形式的柯西不等式定理：二維形式的柯西不等式定理：若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則 (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號成立.仔細(xì)觀察上述定理，概括它的特點(diǎn)平方的和的乘積平方的和的乘積不小于不小于乘積的和的平方乘積的和的平方5；.例例1：已知：已知a,b為實(shí)數(shù)，求證為實(shí)數(shù)，求證 2332244)()(bababa分清（找準(zhǔn)）a,b,c,d6；.練習(xí)練習(xí) 1 1: :設(shè)設(shè),1,a bRab 求證求證: :114ab . . 補(bǔ)全a,b,c,d7；. 證明思

3、路2：(構(gòu)造向量法)2222( , ),( , ),.a bc dabcdacbd 設(shè)則利用兩邊平方后得證2222()acbdabcd柯西不等式的幾何意義8；.“=”何時(shí)成立2222()acbdabcd,. kk 當(dāng)且僅當(dāng) 是零向量 或存在實(shí)數(shù)使時(shí) 等號成立柯西不等式的幾何意義( , ),( , ),a bc d 設(shè)則9；.10；.變變形變變形, ,可得下面不等式可得下面不等式: :11；.例例2.求函數(shù)求函數(shù) 的最大值xxy21015變形，使之出現(xiàn)常數(shù)2222()acbdabcd12；.1220,0,1,2132ababab 設(shè)且求證：變形，使之出現(xiàn)條件中的表達(dá)式或表達(dá)式的倍數(shù)練習(xí)213；.

4、220,0,2,22xyxyxyxy例3.設(shè)且的最小值。14；.cdbabdac dcbabcad 不等式：不等式：不等式：不等式：2222222222()()()()()()abdcadbcabcdacbd不不等等式式成成立立嗎嗎？與與不不等等式式矛矛盾盾嗎嗎？它它們們之之間間有有什什么么區(qū)區(qū)別別？15；.220,0,2,22xyxyxyxy例3.設(shè)且的最小值。靈活對調(diào)前后項(xiàng)16；.22231,49.xyxy變式1：若求的最小值222222222:(49)(11 )(23 )1,149.22131,23.1234123161492xyxyxyxyxyxxyxyyxy 解 由柯西不等式當(dāng)且僅當(dāng)

5、即時(shí)取等號由得的最小值為17；.21,236.a bRabab變式2：設(shè)求的最小值18；.2、二維形式的柯西不等式的變式、二維形式的柯西不等式的變式小 結(jié)19；.123123,nna aaab b bb設(shè)是實(shí)數(shù) 則2222221212()()nnaaabbb思 考222222123123()()aaabbb ?20；.21；.114,abcabbcac例4.若求證：22；.已知已知 a,bR，a+b=1,12,xxR 求證：求證： 121212axbxbxaxx x 23；.24；.l定理3：(二維形式的三角不等式)221221222221211)()(R,221yyxxyxyxyxyx則則設(shè)

6、設(shè)l證明思路1：(幾何法)l證明思路2：(代數(shù)法)OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)221222221212221222221212122222121212222222221212122222212122222)()( )( )( :121212121yyxxyyyyxxxxyxyyxxyxyxyyxxyxyxyxyxyxyxyx證明證明25；. .,),()()()(等等號號成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba222221 .,.(4)等等號號成成立立時(shí)時(shí)使使或或存存在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是零零向向量量當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式 kkbdacdcba22222)(bdacdcba22223)(小小 結(jié)結(jié)22122122