《天才引導(dǎo)的歷程》之偉大的定理

1、天才引導(dǎo)的歷程之偉大的定理（美威廉。鄧納姆 著的天才引導(dǎo)的歷程第九章歐拉非凡的求和公式）Read Euler, read Euler, he is the master of us all. P.-S.de Laplace要從歐拉龐大的數(shù)學(xué)體系中找出一兩個(gè)有代表性的定理是很困難的。我們之所以選定這一定理，是出于以下幾個(gè)原因。第一，從歷史上看，這一定理提出了一個(gè)十分重要且引起爭(zhēng)論的命題。第二，這個(gè)定理是歐拉的早期成就之一，是他于1734年到圣彼得堡的第一年宣布的，這一定理在很大程度上鞏固了他數(shù)學(xué)天才的名望。最后，這一定理不僅證明了歐拉解決前人的難題的才干，而且還證明他有能力將一個(gè)個(gè)別解法轉(zhuǎn)變?yōu)橐?/p>

2、連串同樣深刻和出人意料的解法。沒有一個(gè)定理能夠包容李昂納德·歐拉的全部天才，但我們即將討論的這一定理卻清楚顯示了他的數(shù)學(xué)才華。這個(gè)問題就是我們?cè)诘诎苏陆Y(jié)束時(shí)所提到的問題?；叵胍幌拢?。雖然他們知道這一級(jí)數(shù)的和一定小于2，但他們卻不能確定這個(gè)和的精確數(shù)值。顯然，這一級(jí)數(shù)的計(jì)算不僅難倒了雅各布·伯努利和約翰·伯努利兄弟倆，而且也難倒了萊布尼茲，更不要說世界上的其他數(shù)學(xué)家了。歐拉顯然從他的老師約翰那里聽說過這道難題。他曾談到開始研究這個(gè)級(jí)數(shù)的時(shí)候，只是簡(jiǎn)單地把級(jí)數(shù)的項(xiàng)越來越多地加起來，希望能夠找到級(jí)數(shù)的和。他這樣一直計(jì)算到20位（在計(jì)算機(jī)時(shí)代之前，這種計(jì)算絕非易事）

3、，發(fā)現(xiàn)級(jí)數(shù)的和趨向于數(shù)字1.6449。但遺憾的是，這個(gè)數(shù)字看起來似乎很陌生。歐拉沒有被嚇倒，他繼續(xù)研究，最后終于發(fā)現(xiàn)了解開這個(gè)謎的鑰匙。他興奮地寫道，“完全意想不到，我發(fā)現(xiàn)了基于的一個(gè)絕妙的公式。”歐拉導(dǎo)出這個(gè)公式需要兩個(gè)工具。其一是初等三角學(xué)中的所謂“正弦函數(shù)”。對(duì)這一重要數(shù)學(xué)概念（通常寫作“sin x”）的充分討論會(huì)使我們離題太遠(yuǎn)。無論如何，任何接觸過三角學(xué)或微積分預(yù)備知識(shí)的人都肯定知道具有無限振蕩性質(zhì)的著名的正弦波。函數(shù)f（x）=sinx的圖形見圖9.1，這一函數(shù)是歐拉思想的核心。我們看到，正弦曲線與x軸相交處的點(diǎn)x，其函數(shù)值等于零，因而，當(dāng)x=0，±，±2，

4、7;3，±4，等等時(shí)，sinx=0。這種使sinx等于零的無窮多的x值反映了正弦函數(shù)周期性重復(fù)變化的特性。關(guān)于正弦的許多知識(shí)，我們都可以從初等三角中學(xué)到。但是，如果我們?cè)谄渲幸胛⒎e分的概念，我們就會(huì)得出下列公式：同樣，我們沒有必要細(xì)述這一公式的推導(dǎo)過程，但是，凡是學(xué)過微積分泰勒級(jí)數(shù)展開式的讀者都會(huì)立刻認(rèn)出這個(gè)公式。這一公式的重要性在于它為歐拉提供了一種將sin x表達(dá)為“無限長(zhǎng)多項(xiàng)式”的方式。對(duì)sinx的級(jí)數(shù)展開式，我們需要作一點(diǎn)兒說明。第一，分母中使用了階乘符號(hào)，這種符號(hào)在一些數(shù)學(xué)分支中是很常見的。根據(jù)定義，3！表示3×2×1=6；5！=5×4

5、15;3×2×1=120，等等。并且，這一sin x表達(dá)式還將永遠(yuǎn)達(dá)不到終點(diǎn)，隨著x的指數(shù)按奇整數(shù)序列增大，分母表現(xiàn)為相應(yīng)的階乘，而正負(fù)號(hào)則一正一負(fù)交替出現(xiàn)。這就是我們所說將sin x寫成一個(gè)無限長(zhǎng)多項(xiàng)式的意思。這也是歐拉解開他的難題所需要的線索之一。另一條線索不是出自三角學(xué)或微積分，而是出自單代數(shù)。由于正弦函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式是一個(gè)無窮多項(xiàng)式，歐拉即轉(zhuǎn)而研究普通的有限多項(xiàng)式，并將它推廣到無窮多項(xiàng)式。設(shè)P(x)為n次多項(xiàng)式，其n個(gè)根為xa，x=b，x=c，及x=d；換言之，P(a)P(b)=P(c)=P(d)=0。我們?cè)僭O(shè)P(0)=1。然后，歐拉知道可以將P（x）分解為如下

6、n個(gè)一次項(xiàng)乘積的形式：不妨考慮一下這一一般公式的合理性。我們可以用直接代入的方法得到因?yàn)榈谝粋€(gè)因子恰好是1-1=0。同樣，這次是因?yàn)榈诙€(gè)因子為1-1=0。正如我們所期望的那樣，P(x)的方程式非常清楚地表明，P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=0。但是，對(duì)P(x)還有另外一個(gè)條件：我們要求P(0)=1。幸好，從這里也可以得出我們的公式，因?yàn)榫哂形覀兯鶎で蟮男再|(zhì)。例如，假設(shè)P(x)是一個(gè)三次多項(xiàng)式，在這里，P(2)=P(3)=P(6)=0，并且，P(0)=1。然后，我們進(jìn)行因式分解，得到我們可以很容易地驗(yàn)證這一三次方程符合我們所要求的條件。歐拉仔細(xì)研究了這一方程后認(rèn)為，同樣的法則肯定也適用

7、于“無窮多項(xiàng)式”。他像牛頓一樣，也特別相信模式的推廣，既然這一模式對(duì)有限多項(xiàng)式是正確的，為什么就不能適用于無窮多項(xiàng)式呢？現(xiàn)代數(shù)學(xué)家都知道，這種做法是十分危險(xiǎn)的，而且，將適用于有限多項(xiàng)式的公式推廣為適用于無窮多項(xiàng)式的公式，肯定會(huì)遇到巨大的困難。這種推廣當(dāng)然要比歐拉想象得更微妙，也需要更多的謹(jǐn)慎。也許是因?yàn)闅W拉走運(yùn)；也許是因?yàn)樗菑?qiáng)有力的數(shù)學(xué)直覺。無論如何，他的努力沒有落空。遠(yuǎn)。但歐拉用他超凡的洞察力作為紐帶將全部零散的部件組合在一起。證明 歐拉首先引入函數(shù)歐拉認(rèn)為他有充分理由把f(x)看成是無窮多項(xiàng)式，并且f(0)=1（從直覺上說，這是顯而易見的）。因此，可以利用上述方法，對(duì)這一函數(shù)方程作因式分

8、解，以確定方程f(x)=0的根。為此，規(guī)定x0，并得出過簡(jiǎn)單的十字相乘方法）簡(jiǎn)化為解sin x=0。我們?cè)谇懊嬉芽吹?，?dāng)正弦函數(shù)等于0時(shí)，x=0，x=±，x=±2，等等。當(dāng)然，我們必須從f（x）=0的解中排除x=0，因?yàn)槲覀円岩?guī)定f（0）=1。也就是說，f（x）=0的解只是x=±，x=±2，x=±3，基于這些考慮，歐拉將f(x)分解因式為：我們稱這一方程為核心方程。這是一個(gè)最非凡的方程，因?yàn)樗挂粋€(gè)無窮和等于一個(gè)無窮乘積。也就是，最初確定f(x)的無窮級(jí)數(shù)等于方程右邊的無窮乘積。對(duì)于歐拉一類數(shù)學(xué)家來說，這是非常有啟發(fā)性的。實(shí)際上，他現(xiàn)在即將完成

9、他的證明，但許多讀者也許還完全茫然不解。歐拉所做的是設(shè)想“乘出”上述方程右邊的無窮乘積，然后合并x的同類項(xiàng)。這樣，第一項(xiàng)就將是所有1的乘積，當(dāng)然，等于1。為得到x2項(xiàng)，我們就必須依次用剩余因子中的x2項(xiàng)去乘所有的1，而不是與其它因子相乘。這樣，歐拉的“無窮乘法”問題就得到了下列方程：終于，迷霧開始散去。歐拉只要計(jì)算出無窮乘積，并得出兩個(gè)相等的無窮和，那么，同指數(shù)的x項(xiàng)也就當(dāng)然相等。請(qǐng)注意，兩個(gè)級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)都是1。因而，兩個(gè)級(jí)數(shù)中的x2項(xiàng)，其系數(shù)也一定相等。即，然后，在方程兩邊同乘以-1，左邊即得到3！=6，而右邊則提取公因這樣，李昂納德·歐拉就發(fā)現(xiàn)了其他數(shù)學(xué)家?guī)资晡茨馨l(fā)現(xiàn)的答案。拉最初所推算的數(shù)值。我們還注意到，這一無窮和也恰如雅各布·伯努利于1689年所正確推斷的那樣，的確小于2。然而，在歐拉之前，人們對(duì)于這一級(jí)數(shù)的和恰好等于2的六分之一，完全一無所知。這是一個(gè)多么古怪的答案。由于數(shù)學(xué)本身的種種神秘原因，這一級(jí)數(shù)的和竟然產(chǎn)生了一個(gè)關(guān)于的公式。因?yàn)楫?dāng)然是與圓密切相關(guān)的，而1、4、9、16這些