數(shù)值計(jì)算答案解析石瑞民

1、習(xí)題一仁取3.14,3.15 , 272 ,洛作為的近似值求各自的絕對(duì)誤差相 對(duì)誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。解：X,3.14Xi所以,1010X1有三位有效數(shù)字絕對(duì)誤差：e 3.14，相對(duì)誤差：er3.14絕對(duì)誤差限:10 2，相對(duì)誤差限:10x23.153.15所以，X 絕對(duì)誤差0.00840174 0.84074 10 20.5 10 10.5 102有兩位有效數(shù)字:e3.15，相對(duì)誤差：er3.1512r23 1031絕對(duì)誤差限：1 101，相對(duì)誤差限：r £101X22272270.00126450.12645 100.5 100.5 101 3所以，X3有三位有效數(shù)字絕對(duì)誤差：e

2、絕對(duì)誤差限：22，相對(duì)誤差:er1102，相對(duì)誤差限:22710355X11130.32 10 60.5 10 60.5 101 7355 0.00000032113所以，X4有七位有效數(shù)字355絕對(duì)誤差：e絕對(duì)誤差限：355，相對(duì)誤差：er113-10 6，相對(duì)誤差限:2113103、下列各數(shù)都是對(duì)準(zhǔn)確數(shù)四舍五入后得到的近似數(shù)，試分別指出它 們的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限，有效數(shù)字的位數(shù)。X10.0315, X2 0.3015, X3 31.50, X4 5000X10.0315 m=-1*1411 31 10 4 - 10 1 32X1有三位有效數(shù)字:1 10 4，相對(duì)誤差：2解:X2X3X4

3、XX12所以，n=3,絕對(duì)誤差限:0.3015 m=012所以，n=4,絕對(duì)誤差限:Xx21 100 42X1有四位有效數(shù)字1 10 4，相對(duì)誤差:210 431.50 m=212所以，n=4, 絕對(duì)誤差限:x X3101 10242X1有四位有效數(shù)字1 10 2，相對(duì)誤差:212a12a12a101010i1035000 m=412所以，n=4, 絕對(duì)誤差限:X x4相對(duì)誤差:1001 10442X1有四位有效數(shù)字1 1000.5，210 n 1 1 10 3 10 2 2a2 5計(jì)算J0的近似值，使其相對(duì)誤差不超過 解：設(shè)取n位有效數(shù)字，由定理1.1知，0.1%。2a由.1010 0.31

4、62 ，所以，a13由題意應(yīng)使"n1 0.1%，即101。"6 10 3所以，n=4,即10的近似值取4位有效數(shù)字 近似值x 3.1626、在機(jī)器數(shù)系下F(10,8,L,U)中取三個(gè)數(shù)x 0.23371258 10 4 , y 0.33678429 102， z 0.33677811 102，試按(x y) z禾口 x (y z)兩 種算法計(jì)算x y z的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。(x y) z解:4(0.23371258 100.33678429 102)0.33677811 102(0.000000233712581020.336784292 210 )0.33677

5、811 100.336784523712581020.33677811102對(duì)誤差限。y1X1X2X3，y1X1X2X3 ，y3X2X30.33678452 1020.33677811 1020.000006411020.6410000010 3(y z)0.2337125810 4(0.33678429 1020.33677811102)0.2337125810 430.61800000000 100.02337125810 30.6180000000010 30.64137125810 30.6413712610 3y z0.2337125810 40.33678429 1020.3367

6、78111020.000000233712581020.336784291020.336778110.000006413712581020.6413712610 3xx102所以，x (y z)比(x y) z精確，且x (y z)與x y z相同； 因此，在做三個(gè)以上的數(shù)相加時(shí)，需要考慮相加的兩個(gè)同號(hào)數(shù)的階數(shù) 盡量接近。&對(duì)于有效數(shù)x13.105， x20.001， x30.100，估計(jì)下列算式的相解：X13.105， m=1;X11010所以同理(X1)10(X2)(X3)e(xj10 3e")e(xjX1e(X2)10 3er(xi)eg)X21 10 32 或3.10

7、251 3102 或0.001r(Xi)r(X2)e(x3)10 3er(X3)e(X3)X31 10 32 或0.100r(X3)e（Xi©（yj e（y2） 所以,er(y3)10 310010 3e xie xie X2e X3X1 X2 X3er (X1 X2 X3)0.49975 10 3er(X1X2 X3) er(%X2)er(X3) er(X1) er(X2)eg)X2X3)X2X3X1X2X30.50516er(X3)x2er( 2)X3eg)0(X2) er(x3)所以，綜合得：r(yj 0.49975 10 3 ,r(y2)0.50516 ,0.505rW3)0

8、.5059、試改變下列表達(dá)式，使其結(jié)果比較精確 接近0，x1表示X充分大）。(1)In x1Inx2,X-Ix2(2)11 X|x1 X1 X(3)Jx丄r-,xVXX(4)1 cc)SX,x0且 xX(5)1cot X , x0且 xX答案:(1)In；(3)X2(4)法一:用1cosx1111法一： 1 cosx- x3 x x3 x1 x2得出結(jié)果為：2cosx sin x（其中1表示X充分1X21 cosx Xx sin x sin x sin x1 cosx sin xsin x1 cosx1 cosxsin xx tan212、試給出一種計(jì)算積分In e1 1xnexdx近似值的穩(wěn)

9、定性遞推算法 n 0解：顯然，In>0,n=1,2,當(dāng) n=1 時(shí)，得，I11xex 1dx 10e當(dāng)n2時(shí)，由分部積分可得：1I n 0 xnex 1dx 1 nln1 , n=2,3,另外，還有: 由遞推關(guān)系In1dx1xndxIn=1-nln-1 ，可得計(jì)算積分序列in的兩種算法: In 1 nI n 1 n=2,3 In1n 2,3,.,n下面比較兩種算法的穩(wěn)定性若已知I n 1的一個(gè)近似值I n 1，則實(shí)際算得的I n的近似值為In 1 nl n 1所以，In I n ( "(In 1 In 1)由此可以看出In1的誤差放大n倍傳到了 In，誤差傳播速度逐 步放大由

10、In 計(jì)算 In 1In 1n N,N 1,1n若已知In的一個(gè)近似值是In，則實(shí)際計(jì)算的In1的近似值為n倍傳到了 In，誤差傳播速度逐I n 1所以，I n 1 I n 1 丄(I n I n)n11I n 1I n 1I nI nn由此可以看出In的誤差將縮小步衰減1綜上可看出，計(jì)算積分In e1 0xnexdx的一種穩(wěn)定性算法為1 IIni- n N, N 1, N 2,1.n習(xí)題二1、利用二分法求方程X32x2 4s 7 03 , 4的根，精確到10 3，即1誤差不超過210 3解：令 f (x) x3 2x2 4x 7f (3)100，f(40 90,說明在3，4有根，利用二分法計(jì)

11、算步驟得出 x103.632324219， x113.63218359381bn an & 心 0.4882181 10 310 3滿足精度要求2所以，x* X113.6321，共用二分法迭代11次。2、證明1 x sin x 0在0,1有一個(gè)根，使用二分法求誤差不大于1 10 4的根。2證明：令 f(x) 1 x sinxf(0)10; f (1) sin1 0，所以，f(0) f(1) 0由零點(diǎn)定理知，f(x)在0,1有一根根據(jù)計(jì)算得出：x* X15 0.98283，此時(shí)共迭代15次。4、將一元非線性方程2cosx ex 0寫成收斂的迭代公式，并求其在X。 0.5附近的根，精確到1

12、0 2解：令 f (x) 2cosx ex令f (x) =0，得到兩種迭代格式xe1arccos一 (x) F e x 2，不滿足收斂定理。2 1 e 22si nx丄 (x)tanx2cosx2(x0) I 2(0.5)0.008727 1，滿足收斂定理由方程寫出收斂的迭代公式為xk 1ln (2cosxk)取初值為X。0.5，得出近似根為：x*X2 0.693074175、為方程x3 x2 1 0在x。1.5附近的一個(gè)根，設(shè)方程改寫為下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式:(1)1 丄，迭代公式Xk 1 X12Xk(2)x3x2 1，迭代公式Xk 1(Xk21)1/3(3)宀，迭代公式Xk11

13、1/2(Xk 1)解:( 1)利用局部收斂定理判斷收斂性，判斷初值X°1.5附近的局部收斂(2) 局部收斂(3) 不滿足局部收斂條件但由于丨1(x)|. I 2(x)，所以1(X)比2(X)收斂的慢取第二種迭代格式Xk 1(Xk2 1)1/3取初值X0 1.5，迭代9次得x*X91.4667、用牛頓法求解3x 10在初始值X。2臨近的一個(gè)正根，要求Xk 1 Xk10解:令 f(x)X3 3x 1由牛頓迭代法知:3Xk1 Xk f(Xk)3Xk12f (Xk)3(Xk1)迭代結(jié)果為:Xk1.888891.87941.875939滿足了精度要求,1.87939&用牛頓法解方程1X

14、單迭代公式，用此公式求 結(jié)果有5位有效數(shù)字。導(dǎo)出計(jì)算C的倒數(shù)而不用除法的一種簡0.324的倒數(shù)，設(shè)初始值X0 3，要求計(jì)算X0解：f(X) 1 0.325Xf (X)古，由牛頓迭代公式Xk 1 Xk鳥迭代結(jié)果為:Xk3.0843.0864183.086420滿足精度要求xx33.0864所以，0.324的倒數(shù)為3.086411、用快速弦截法求方程X3 3x 1 0在X0 要求精度到10 3)。2附近的實(shí)根，(取 X1 = 1.9，解：f(x) X3 3x 1，迭代結(jié)果:滿足精度要求xx4 1.8793912、分別用下列方式求方程4cosx有效數(shù)字（1）用牛頓法，取X04（2） 用弦截法，取x0

15、x-!42（3） 用快速弦截法，取X。為4解：求出的解分別為：捲0.9051.88101.87941.87941160939e在x°附近的根，要求有三位4220.905 x30.905習(xí)題二1、用高斯消元法解下列方程組2x1X23X31(1)4x12x25X34%2x2711x13x22x3323x111x2X302x2 2x31解：（1）等價(jià)的三角形方程組為4x1 2x2 5x342x2 0.5x31，回代求解為7 21-x8 4(2)xX3（2）等價(jià)的三角形方程組為4123x11x2X3 0X119357X247X31 ，回代求解為X21062323193193223223X3X

16、319357570 1112、將矩陣A作LU分解2 0 1100 1 1100010011101解：L 2010 ,U0000110053、用LU緊湊格式分解法解方程組10006/ 5100解：L,U7/51/210103/511201/512Y, X1/253/10320115106557910 x1168109X2171087 X315765x415791002/54/5300517/20001/10X12x22x314、用列主元的三角分解法求解L方程組3x1X24X372X13x22x301221解:A 3147232010031472L2/310 ,U07/314/3 , Y14/3

17、, X11/37/5000421/25、用追趕法解三角方程組 Ax b苴2 100011 21000A0 1210,b0 .0 012101 001201/213/21解:L2/31，U4/313/415/414/5 16/515/61/22/3Y1/3,X1/21/41/31/51/64x-|2x24X3106.用改進(jìn)的Cholesky分解法解方程組2X117X210x3 34x110X29x3710 0424102解:L1/21 0，U0168，Y8X111/2 10 011141 10X177、用改進(jìn)的cholesky分解法解方程組1310X2811 52X3400 24X4641-10

18、710 11/4-3/4025/42解:U，Y*X0050/112-6/11100078/25156/252設(shè)x(1, 2,3)T,求兒,岡2利x|。解:hl1n<6X2i 1n 2-,i1xmaxx14x9、設(shè)A解：A!1258 ,1253124A1240-3 ,求|AJIJA2和All110 , 0 -3 ,1A2. (AtAt) 7.141713，計(jì)算x , A及Ax2,并比較| Ax和x ? A 的大小。解：x 3 , A =10, Ax =9120101 22x111、給定方程111x22 21X3(1) 寫出 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代格式；(2) 證明

19、Jacobi迭代法收斂而Gauss-Seidel迭代法發(fā)散;(3)給定 x(0)(o,o,o)T，用迭代法求出該方程的解，精確到X12x22x312(1)Jacobi迭代公式X2X1X3X32x12x210(kX11)2X2(k)3x3(k)12Gauss-Seidel迭代公式(k 1)X2(k 1) Xn2x2(k)8X2(k)(k)X3(k)6 X31238102X (12, 46, 58)T1(k 1)(k)XX解:(3)用Jacobi迭代得，XX2X3X413、已知5x110x2 x3 x412X1X25x3考察 Jacobi迭代格式和x1 x2 x3z 10x434Gauss-Sei

20、del迭代格式的收斂性。14、方程組Ax b，其中A34a 10 ， x,b R利用迭代收斂的充分必要條件確定使 迭代法均收斂的a的取值圍。Jacobi 迭代法禾口 Gauss-Seidel0 a a解:Jacobi迭代矩陣為Bj4a 00a 00當(dāng)Bj 1得,0Gauss-Seidel 迭代矩陣為：Bj o 4a2 4a2 0 a2a2當(dāng)Bs 1得，：5354 30x-i2415、設(shè)方程組341x230分別用Gauss-Seidel迭代法和014X324w=1.25的SOR法求解此方程，準(zhǔn)確到4位有效數(shù)字(取x(0) (1,1,1)T) 解：Gauss-Seidel迭代法共迭代17次，此時(shí)近

21、似解為x* x(17)(3.000,4.000,5.000)TSOF法w=1.25時(shí)，迭代11次，此時(shí)的近似解為x* x(11)(3.000,4.000,5.000)t16、用SOF方法解方程組(分別取松弛因子w=1.03, w=1, w=1.1)4x1 x21洛 4X2 3X3 4 精確解 x* (1/2,1, 1/2)，要求當(dāng) x* x(k)5 10 6x? 4X33時(shí)，終止迭代，并且對(duì)每一個(gè) W值確定迭代次數(shù)。解：當(dāng) W=1.03 時(shí)，迭代 5 次，x* x(5)(0.5,1, 0.5)T當(dāng) W=1 時(shí)，迭代 6 次，x* x(6)(0.5,1, 0.5)T當(dāng) W=1.1 時(shí)，迭代 6

22、次，x* x(6) (0.5,1, 0.5)T習(xí)題四1、設(shè) X00, X11，寫出f (x) e x的一次插值多項(xiàng)式L1 (X),并估計(jì)插值解：L'x) y°X0)X1X01(11)Xe|R1(X)I 勺(x X0)(X X1)，其中 Mmax f (x)1X0 X為|R1(x)|12 (Xx°)(x X1)Xi-0.10.30.71.1f (Xi)0.9950.9950.7650.454選用合適的三次插值多項(xiàng)式來近似計(jì)算 解：、求f (0.2)，選用插值節(jié)點(diǎn)為X0 -0.1 插值多項(xiàng)式為：L2(x)(X X1)(X X2) y°f(0.2)和 f (0.

23、8)。0.3, X20.7 ,用 lagrange(x(X0 X1)(X° X2)(X1解得 f(-0.1) L2C0.1)0.979、求f(0.8)，選用插值節(jié)點(diǎn)(X X1)(X X2)(XL2(x)y°(X0 X1)(X° X2)(X1解得：f(0.8) L2(0.8)0.6975X°)(XX2)y(XX0)(XX1)X°)(X1X2) 1(X2X°)(X2X1)X0°.3， X10.7，x21 .1 ,X°)(XX2)(xX°)(XX1)X°)(X1y1 X2)(X2X°)(X2

24、X1)y2y2X14、給定數(shù)據(jù)(f(x) x )Xi2.02.1 2.22.42.4X1L1(x)f(2.3)|R1(x)|% y。，、y°(x x°)X1 X0L1(2.3)1.516195M20.32995X0.75731(x Xo)(X X1)M max f (x)0.0766Xo X X1f(xj 1.142141.449138 1.48320 1.54917(1) 試用線性插值計(jì)算f(2.3)的近似值，并估計(jì)誤差。(2) 試用二次Newton插值多項(xiàng)式計(jì)算f(2.佝的近似值，并估計(jì)誤差。 解：(1)取 X0 2.2，0.0766 “(2.3 2.2)(x2|尺(2

25、.3)|2.4)0.0003831(2)寫出二次Newton插值差商表Xif (Xi)一階差商二階差商2.01.142142.11.4491380.349242.21.483200.34062-0.0431N2(x)1.4142140.34924(x 2)0.0431(x 2)(x 2.1) f(2.15) N2(2.15) 1.4663R2(2.15)0.000004143X01234yo1646880試求各階差商，并寫出Newton插值多項(xiàng)式和差值余項(xiàng) 解：Xiy一階差商二階差商三階差商四階差商0o1161624630738821-3-5/240-88-109/3-25/2-7/6N4(x

26、)16x7x(x 1)5/2x(x 1)(x 2)7/6x(x1)( x 2)(x 4)R4(x)f(x) N4(X)fXo,Xi,X2,X3,X4,XW5(X)f (6)()(X 0)(x 1)(x 2)(x 4)(x 5) 6!6、給定數(shù)據(jù)表X0.1250.250.3750.5000.6250.750f(x)0.796180.773340.743710.704130.656320.60228試用三次牛頓差分插值公式計(jì)算f (0.158)和f (0.636)。解：、求 f (0.158)，取 x0 0.125，x10.25，x2 0.375, x3 0.500，h=0.125差分表為Xif

27、(Xi)一階差分二階差分三階差分0.1250.796180.250.77334-0.022840.3750.74371-0.02963-0.006790.50.70413-0.03958-0.00995-0.00316、.k f由公式 fXi,Xi i,Xi 2,Xi k kk! h由牛頓插值公式有f(0.158) N3(0.158) 0.79061、求 f (0.636)，取 x0 0.375 , x1 0.500 , x2 0.625,x3 0.750 , h=0.125Xif(Xi)一階差分二階差分三階差分0.3750.743710.50.70413-0.039580.6250.6563

28、2-0.04781-0.008230.750.60228-0.05404-0.006230.002求解得 f 0.636)N3(0.636) 0.651799、給出sinx在0,pi的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，用線性插值計(jì)算 sinx的 近似值使其截?cái)嗾`差為21。4，問該函數(shù)表的步長h應(yīng)取多少才能滿足要求?解：設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為xiih ,( i=0,1h)由 Rn(x) h8f (x)h2m22F(x)=sinx ， f (x)sin x，所以 f (x)1，即 m21所以h 0.02步長h應(yīng)取為0.02才能滿足要求。14、已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下Xi1925313844yi19.032.349.073.397.8

29、用最小二乘法求形如y a bx2的經(jīng)驗(yàn)公式，并計(jì)算均方差解：設(shè)擬合多項(xiàng)式為y a bx2，則正規(guī)方程組為S°S1S2aT0S1S2S30T1S2S3S4bT251575327a271.4即：157532719233109776.153271923317277699 b369321.5a 0.968b 0.05所以，經(jīng)驗(yàn)公式為：y 0.968 0.05x2均方誤差為0.00301915、觀測物體的直線運(yùn)動(dòng)，得出以下數(shù)據(jù)時(shí)間t(s)00.91.93.03.95.0距離S(m)010305080110求運(yùn)動(dòng)方程。解：設(shè)擬合多項(xiàng)式為y a bx ex2，則正規(guī)方程組為S0S1S2aT0S1S2S30T1S2S3S4bT2614.753.63a280即：14.753.63218.907b107853.63 218.90795103023c4533.2a=-0.5834，b=11.0814，e=2.2488所以擬合多項(xiàng)式為y0.5834 11.0814x 2.2488x2。習(xí)題五1、分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分，并比較結(jié)果。(1)°4pdx (n=8) x解：用復(fù)合梯形公式hT80.1114018，n8, f(x)x4 x2用辛普森公式n 8m 1IS8 0.11157