數(shù)學(xué)建模大學(xué)5ppt課件

1、例例1 某人平常下班總是按預(yù)定時間到達(dá)某處，然某人平常下班總是按預(yù)定時間到達(dá)某處，然然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平常提早然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平常提早了三非常鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來接他了三非常鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平常提早了非常鐘到家，問此人共步行了多長時比平常提早了非常鐘到家，問此人共步行了多長時間？間？ 似乎條件不夠哦似乎條件不夠哦 。 換一種想法，問題就迎刃而解了。假設(shè)他的妻子遇到他后仍載著他開往會合地點(diǎn)，那么這一天他就不會提早回家了。提早的非常鐘時間從

2、何而來？ 顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到會合點(diǎn)，又從會合點(diǎn)前往相遇點(diǎn)這一會合點(diǎn)，又從會合點(diǎn)前往相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會合點(diǎn)需段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會合點(diǎn)需開開5分鐘。而此人提早了三非常鐘到分鐘。而此人提早了三非常鐘到達(dá)會合點(diǎn)，故相遇時他已步行了二十達(dá)會合點(diǎn)，故相遇時他已步行了二十五分鐘。五分鐘。 例例2 2 某人第一天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地沿原路前往地沿原路前往 A A 地。問：在什么條件下，地。問：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時間到達(dá)該地。中的

3、同一時間到達(dá)該地。假設(shè)我們換一種想法，把第二天的前往改動成另一人在同假設(shè)我們換一種想法，把第二天的前往改動成另一人在同一天由一天由B B去去A A，問題就化為在什么條件下，兩人至少在途中，問題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只需任何一人的到相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只需任何一人的到達(dá)時間晚于另一人的出發(fā)時間，兩人必會在途中相遇。達(dá)時間晚于另一人的出發(fā)時間，兩人必會在途中相遇。 請本人據(jù)此給出嚴(yán)厲證明請本人據(jù)此給出嚴(yán)厲證明 例例3 3 交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時，有交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時，有一個過渡形狀一個過渡形狀亮一段時間的黃燈。亮一段時間的黃燈。請

4、分析黃燈該當(dāng)亮多久。請分析黃燈該當(dāng)亮多久。想象一下黃燈的作用是什么，不難看想象一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假設(shè)他能停住，請馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假設(shè)他能停住，請立刻停車。停車是需求時間的，在這立刻停車。停車是需求時間的，在這段時間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段間段時間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段間隔隔 L。這就是說，在離街口間隔為。這就是說，在離街口間隔為 L處處存在著一條停車線雖然它沒被畫在存在著一條停車線雖然它沒被畫在地上，見圖地上，見圖1-4。對于那些黃燈亮?xí)r。對于那些黃燈亮?xí)r已過線的車輛，那么該當(dāng)保證它們?nèi)砸堰^線的車輛，那

5、么該當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^馬路。能穿過馬路。 馬路的寬度馬路的寬度 D是容易測得是容易測得 的，問題的關(guān)鍵在的，問題的關(guān)鍵在 于于L確實(shí)定。為確定確實(shí)定。為確定 L，還該當(dāng)將，還該當(dāng)將 L劃分為兩段：劃分為兩段：L1和和L2，其中，其中 L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判別該當(dāng)是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判別該當(dāng)剎車的反響時間內(nèi)駛過的路程剎車的反響時間內(nèi)駛過的路程 ，L2為剎車制動為剎車制動后車輛駛過的路程。后車輛駛過的路程。L1較容易計算，交通部門對較容易計算，交通部門對司機(jī)的平均反響時間司機(jī)的平均反響時間 t1早有測算，反響時間過早有測算，反響時間過長將考不出駕照，而此街道的行駛速度長將考不出駕照，而此街道的

6、行駛速度 v 也也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研討，從而可另建模型研討，從而 L1=v*t1。剎車間隔。剎車間隔 L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計算出來律計算出來 留作習(xí)題。留作習(xí)題。黃燈終究該當(dāng)亮多久如今曾經(jīng)變得清楚多了。第黃燈終究該當(dāng)亮多久如今曾經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計算出一步，先計算出 L應(yīng)多大才干使看見黃燈的司機(jī)應(yīng)多大才干使看見黃燈的司機(jī)停得住車。第二步，黃燈亮的時間該當(dāng)讓已過線停得住車。第二步，黃燈亮的時間該當(dāng)讓已過線的車順利穿過馬路，即的車順利穿過馬

7、路，即T 至少該當(dāng)?shù)竭_(dá)至少該當(dāng)?shù)竭_(dá) L+D/v。 DL例例4 4 餐館每天都要洗大量的盤子，為了方餐館每天都要洗大量的盤子，為了方便，某餐館是這樣清洗盤子的：先用冷水粗便，某餐館是這樣清洗盤子的：先用冷水粗粗洗一下，再放進(jìn)熱水池洗滌，水溫不能太粗洗一下，再放進(jìn)熱水池洗滌，水溫不能太高，否那么會燙手，但也不能太低，否那么高，否那么會燙手，但也不能太低，否那么不干凈。由于想節(jié)省開支，餐館老板想了解不干凈。由于想節(jié)省開支，餐館老板想了解一池?zé)崴烤箍梢韵炊嗌俦P子，請他幫他建一池?zé)崴烤箍梢韵炊嗌俦P子，請他幫他建模分析一下這一問題。模分析一下這一問題。盤子有大小嗎盤子有大小嗎 ? ?是什么樣的盤子？是

8、什么樣的盤子？盤子是怎樣洗的盤子是怎樣洗的 ? ? 無妨無妨假設(shè)我們了解到：盤子大小一樣，假設(shè)我們了解到：盤子大小一樣，均為瓷質(zhì)菜盤，洗滌時先將一疊均為瓷質(zhì)菜盤，洗滌時先將一疊盤子浸泡在熱水中，然后盤子浸泡在熱水中，然后 一一清洗。清洗。 不難看出，是水不難看出，是水 的溫度在決的溫度在決 定定洗盤子的數(shù)量洗盤子的數(shù)量 。盤子是先用冷水。盤子是先用冷水洗過的，其后能夠還會再用清水洗過的，其后能夠還會再用清水沖洗，改換熱水并非由于水太臟沖洗，改換熱水并非由于水太臟了，而是由于了，而是由于 水不夠熱了。水不夠熱了。 那么熱水為什么會變冷呢？假設(shè)那么熱水為什么會變冷呢？假設(shè)他想建一個較精細(xì)的模型，他

9、當(dāng)他想建一個較精細(xì)的模型，他當(dāng)然該當(dāng)把水池、空氣等吸熱的要然該當(dāng)把水池、空氣等吸熱的要素都思索進(jìn)去，但餐館老板的原素都思索進(jìn)去，但餐館老板的原意只是想了解一下一池?zé)岢潭染庵皇窍肓私庖幌乱怀責(zé)岢潭染蠹s可以洗多少盤子，大約可以洗多少盤子， 殺雞殺雞 焉用牛刀？焉用牛刀？ 無妨可以提出以下無妨可以提出以下 簡化假設(shè)：簡化假設(shè)：1水池、空氣吸熱不計，只思索水池、空氣吸熱不計，只思索 盤子吸熱，盤子的大小、資料一樣盤子吸熱，盤子的大小、資料一樣2盤子初始溫度與氣溫一樣，洗盤子初始溫度與氣溫一樣，洗完后的溫度與水溫一樣完后的溫度與水溫一樣3水池中的水量為常數(shù)，開場溫水池中的水量為常數(shù)，開場溫度為度為T

10、1，最終換水時的溫度為，最終換水時的溫度為 T24每個盤子的洗滌時間每個盤子的洗滌時間 T是一是一個常數(shù)。這一假設(shè)甚至可以去掉個常數(shù)。這一假設(shè)甚至可以去掉 不要不要根據(jù)上述簡化假設(shè)，利用熱量守根據(jù)上述簡化假設(shè)，利用熱量守衡定律，餐館老板的問題就很容衡定律，餐館老板的問題就很容易回答了，當(dāng)然，他還該當(dāng)調(diào)查易回答了，當(dāng)然，他還該當(dāng)調(diào)查一下一池水的質(zhì)量是多少，查一一下一池水的質(zhì)量是多少，查一下瓷盤的吸熱系數(shù)和質(zhì)量等。下瓷盤的吸熱系數(shù)和質(zhì)量等。 可見可見 ，假設(shè)條件，假設(shè)條件 的提出不的提出不 僅和他僅和他 研的研的 問題問題 有關(guān)，還和有關(guān)，還和 他預(yù)備利用哪些知他預(yù)備利用哪些知 識識 、預(yù)備建立什

11、么樣的模型以及他準(zhǔn)預(yù)備建立什么樣的模型以及他準(zhǔn) 備研備研討的深化程度有關(guān)，即在他提出假設(shè)時，討的深化程度有關(guān)，即在他提出假設(shè)時，他建模的框架曾經(jīng)根本搭好了。他建模的框架曾經(jīng)根本搭好了。 例例5 5 將外形質(zhì)量一樣的磚塊一一向右往外將外形質(zhì)量一樣的磚塊一一向右往外疊放，欲盡能夠地延伸到遠(yuǎn)方，問最遠(yuǎn)可疊放，欲盡能夠地延伸到遠(yuǎn)方，問最遠(yuǎn)可以延伸多大間隔。以延伸多大間隔。設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長度與分量均設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長度與分量均 為為1 1，其，其 重重心在中點(diǎn)心在中點(diǎn)1/21/2磚優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。磚優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。 Zn(n1)n(n1)由第由第 n塊磚遭到的兩個力的力矩相等，有：塊磚遭到

12、的兩個力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n1) Zn故故Zn =1/(2n)，從而上面，從而上面 n塊磚向右推出的塊磚向右推出的總間隔為總間隔為 ，nkk121112121,時nnknkn例例6 6 某人住在某公交線附近，該公交線路某人住在某公交線附近，該公交線路為在為在A A、B B兩地間運(yùn)轉(zhuǎn)，每隔兩地間運(yùn)轉(zhuǎn)，每隔 1010分鐘分鐘A A、B B兩兩地各發(fā)出一班車，此人常在離家最近的地各發(fā)出一班車，此人常在離家最近的 C C點(diǎn)等車，他發(fā)現(xiàn)了一個令他感到奇異的景點(diǎn)等車，他發(fā)現(xiàn)了一個令他感到奇異的景象：在絕大多數(shù)情況下，先到站的總是由象：在絕大多數(shù)情況下，先到站的總是由 B B去去A A的車

13、，難道由的車，難道由 B B去去A A的車次多些嗎？請的車次多些嗎？請他協(xié)助他找一下緣由他協(xié)助他找一下緣由由于間隔不同，設(shè)由于間隔不同，設(shè) A A到到C C行駛行駛3131分分鐘，鐘，B B到到C C要行駛要行駛 3030分鐘，調(diào)查一分鐘，調(diào)查一個時間長度個時間長度 為為1010分鐘的區(qū)間，例分鐘的區(qū)間，例如，可以從如，可以從 A A方向來的車駛方向來的車駛 離離C C站站時開場，在其后的時開場，在其后的 9 9分鐘內(nèi)到達(dá)的分鐘內(nèi)到達(dá)的乘客見到先來的車均為乘客見到先來的車均為 B B開往開往A A的，的，僅有最僅有最 后后1 1分鐘到達(dá)的乘客才見到分鐘到達(dá)的乘客才見到 由由A A來的車先到。由

14、此可見，假設(shè)來的車先到。由此可見，假設(shè)此人此人 到到C C站等車的時間是隨機(jī)的，站等車的時間是隨機(jī)的，那么他先遇那么他先遇 上上B B方向來的車的概率方向來的車的概率為為 90% 90% 。例例4 4 飛機(jī)失事時，黑匣子會自動翻開，發(fā)射飛機(jī)失事時，黑匣子會自動翻開，發(fā)射出某種射線。為了搞清失事緣由，人們必需出某種射線。為了搞清失事緣由，人們必需盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必需確盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必需確定其所在的方向和間隔，試設(shè)計一些尋覓黑定其所在的方向和間隔，試設(shè)計一些尋覓黑匣子的方法。由于要確定兩個參數(shù)，至少要匣子的方法。由于要確定兩個參數(shù)，至少要用儀器檢測兩次，除非他事先

15、知道黑匣子發(fā)用儀器檢測兩次，除非他事先知道黑匣子發(fā)射射線的強(qiáng)度。射射線的強(qiáng)度。方法一方法一點(diǎn)光源發(fā)出的射線在各點(diǎn)處的照度與其到點(diǎn)光源的點(diǎn)光源發(fā)出的射線在各點(diǎn)處的照度與其到點(diǎn)光源的 間隔間隔的平方成反比，即的平方成反比，即 2k/dI 黑匣子所在黑匣子所在 方向很容易確定，關(guān)鍵在于確定方向很容易確定，關(guān)鍵在于確定 間隔間隔 。設(shè)在。設(shè)在同一方向不同位置檢測了兩次，測得的照度分別為同一方向不同位置檢測了兩次，測得的照度分別為I1和和I2，兩丈量點(diǎn)間的間隔為兩丈量點(diǎn)間的間隔為 a，那么有，那么有22212)(/dadadkdkII112/IIad方法二方法二在方法一中，兩檢測點(diǎn)與黑匣子在方法一中，兩檢測點(diǎn)與黑匣子 位于不斷線上，這一點(diǎn)比較容易位于不斷線上，這一點(diǎn)比較容易 做到，主要缺陷是結(jié)果對照度測做到，主要缺陷是結(jié)果對照度測 量的精度要求較高，很少的誤差會呵斥結(jié)果的很量的精度要求較高，很少的誤差會呵斥結(jié)果的很大變化，即敏感性很強(qiáng)，現(xiàn)提出另一方法，在大變化，即敏感性很強(qiáng)，現(xiàn)提出另一方法，在 A A點(diǎn)測得黑匣子方向后點(diǎn)測得黑匣子方向后 ，到，到B B點(diǎn)再測方向點(diǎn)再測方向 ，AB AB 間間隔為隔為a a