2008考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析

1、：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考2008 年全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考）一選擇題 ( 1 8 小題，每小題 4 分，共 32 分.)2xò（1）設(shè)函數(shù) f (x) =ln(2 + t)dt ，則 f ¢(x) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（B）0（A）0（B）1（C）2（D）3x（2）函數(shù) f (x, y) = arctan在點(diǎn)（0，1）處的梯度等于y（A）（B） - i（D） -（A） i（C） jj（3）在下列微分方程中，以 y = C ex + Ccos 2x + C sin 2x （ C ,C ,C 為任意）為（

2、D）123123通解的是（A） y¢¢ + y¢ - 4 y¢ - 4 y = 0 .（C） y¢¢ - y¢ - 4 y¢ + 4 y = 0 .（B） y¢¢ + y¢ + 4 y¢ + 4 y = 0（D） y¢¢ - y¢ + 4 y¢ - 4 y = 0（4）設(shè)函數(shù) f (x) 在(-¥, +¥) 內(nèi)單調(diào)有界，xn 為數(shù)列，下列命題正確的是（B）（A）若xn 收斂，則 f (xn ) 收斂.(C) 若 f

3、(xn ) 收斂，則xn 收斂.(B) 若xn 單調(diào)，則 f (xn ) 收斂.(D) 若 f (xn ) 單調(diào)，則xn 收斂.（5） 設(shè)A 為 n 階非零矩陣，E 為 n 階矩陣，若 A3 = 0 ，則（C）（A） E - A 不可逆， E + A 不可逆.（C） E - A 可逆， E + A 可逆.（6）設(shè)A 為 3 階非零矩陣，如果二次曲面方程（B） E - A 不可逆， E + A 可逆.（D） E - A 可逆， E + A 不可逆æ x ö(x, y, z) Aç y ÷ = 1 在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)方程ç ÷ç

4、 z ÷è ø的圖形如圖，則A 的正特征值個(gè)數(shù)為（B）（D）3（A）0（7）隨（B）1（C）2量X，Y同分布，且 X 的分布函數(shù)為F(x)，則 Z=maxX, Y分布函數(shù)為（A）（A） F 2 (x) ；（B） F (x)F ( y) ；（C）1-1- F(x)2 ；（D）1 - F (x)1 - F ( y)數(shù) r XY= 1 ，則（8）隨量 X N (0,1),Y N (1, 4) ，且相（D）（A） PY = -2 X -1 = 1（C） PY = -2 X +1 = 1（B） PY = 2X -1 = 1（D） PY = 2X +1 = 12008 年 第

5、 1 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考二、填空題：（914 小題，每小題 4 分，共 24 分.）(9)微分方程 xy' + y = 0 滿足條件 y(1) = 1 的y =1/ x(10) 曲線sin(xy) + ln( y - x) = x 在點(diǎn)（0，1）處的切線方程是y = x + 1.¥¥(11) 已知冪級(jí)數(shù)åa (x + 2)n 在 x = 0 處收斂，在 x = -4 處發(fā)散，則冪級(jí)數(shù)åa (x - 3)n 的nnn=0n=0(1,5收斂域?yàn)樵O(shè)曲面S 是 z =4 - x2 - y

6、2 的上側(cè)，則òò xydydz+ xdzdx + x2dxdy=4p(12)å(13) 設(shè) A 為 2 階矩陣，a1 ,a 2 為線性無關(guān)的 2 維列向量， Aa1 = 0, Aa2 = 2a1 + a2 則 A 的非零特征值為 1量X 服從參數(shù)為 1 的泊松分布，則 PX = EX 2=1(14) 設(shè)隨 2e三、解答題 ( 15 23 小題，共 94 分. )(15)（本題滿分 9 分）sin求極限lim4xx®0sinx4cossin x - sin(sin x)1- cos(sin x)= lim解： lim2 分x3x®0x®

7、;0= lim lim6 分3x23x2x®0x®01 sin2 x1= lim 2=9 分3x26x®0(16)（本題滿分 9 分）計(jì)算曲線積分ò sin 2xdx + 2(x2 -1) ydy ，其中L 是曲線 y = sin x 上從點(diǎn)（0，0）到L點(diǎn)(p , 0) 的一段.()ydy =()pòò解法 1： sin 2xdx + 2= ò0= -c o s2 2= -+22x -12sin 2x + 2x -12sinL0p4 分x26 分0p 2p 22-9 分202008 年 第 2 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全

8、3;配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考解法 2：取 L1 為 x 軸上從點(diǎn)(p ,0)到點(diǎn)(0,0)的一段， D 是由 L 與 L1 圍成的區(qū)域()òòòsin 2xdx + 2x -12ydy =sin 2xdx + 2(x -1) ydy -sin 2xdx + 2(x2 -1) ydy 2 分2L+ L1LL10òòò= -4xydxdy-sin 2xdx5 分pD1ppsin xòòò= -dx4xydy -cos2= -20000p 22x22p0= -+= -9 分220(

9、17)（本題滿分 11 分）ìx2 + y2 - 2z2 = 0已知曲線C :íî，求C 上距離 xOy 面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn).x + y + 3z = 5解：點(diǎn)(x, y, z) 到 xOy 面的距離為 z，故求C 上距離 xOy 面最遠(yuǎn)點(diǎn)和最近點(diǎn)的坐標(biāo)，等價(jià)于求函數(shù) H = z 2 在條件 x2 + y2 - 2z2 = 0 與 x + y + 3z = 5 下的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn).令 L(x, y, z,l, m) = z2 + l(x2 + y2 - 2z2 ) + m(x + y + 3z - 5)3 分5 分ìL' = 2lx + m

10、 = 0xï= 2ly + m = 0ïL'yï由 L = 2z - 4lz + 3m = 0'í7 分zïx 2 + y 2 - 2z 2 = 0ïïx + y + 3z = 5îìx = -5ìx = 1ì2x 2 - 2z 2 = 0ïï得 x = y ，從而í，í y = -5 或í y = 110 分î2x + 3z = 5ïz = 5ïz = 1îî根據(jù)幾何意

11、義，曲線C 上距離 xOy 面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)，故所求點(diǎn)依次為(-5,-5,5)和(1,1,1)11 分(18)（本題滿分 10 分）設(shè) f (x) 是連續(xù)函數(shù)，xò(I) 利用定義證明函數(shù) F (x) =f (t)dt 可導(dǎo)，且 F (x) = f (x) ；¢0x2òò(II) 當(dāng) f (x) 是以 2 為周期的周期函數(shù)時(shí)，證明函數(shù)G(x) = 2f (t)dt - xf (t)dt 也是以 2 為周期的周期函數(shù).2008 年 第 3 頁00：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考(I) 證：對(duì)任意的 x

12、 ，由于 f (x) 是連續(xù)函數(shù)，所以x+Dxò0f (t)dt - ò0 f (t)dt =òxf (t)dtF (x + Dx) - F (x) =limlimlim2 分DxDxDxDx®0Dx®0Dx®0= lim f (x )Dx = lim f (x )（其中x 介于 x 與 x + Dx 之間）DxDx®0Dx®0由 lim f (x ) = f (x) ，可知函數(shù) F (x) 在 x 處可導(dǎo)，且 F ' (x) = f (x)5 分G(x + 2) = G(x) ，Dx®0(II)

13、 證法 1：要證明G(x) 以 2 為周期，即要證明對(duì)任意的 x ， 記 H (x) = G(x + 2) - G(x) ，則() ()¢¢x+22x2òòòò¢H (x) = 2f (t)dt - (x + 2)f (t)dt- 2f (t)dt - xf (t)dt000022òò= 2 f (x + 2) -f (t)dt - 2 f (x) +f (t)dt = 08 分00æö22òò又因?yàn)?H (0) = G(2) - G(0) =f (t)dt -&#

14、247; - 0 = 0ç22f (t)dtèø00所以 H (x) = 0 ，即G(x + 2) = G(x)10 分證法 2：由于 f (x) 是以 2 為周期的連續(xù)函數(shù)，所以對(duì)任意的 x ，有G(x + 2) - G(x) = 2ò0f (t)dt - (x + 2)ò0f (t)dt - 2ò0 f (t)dt + xò0 f (t)dtéf (t)dt = 2f (u + 2)du - ò f (t)dtù 8 分2x+22òòòòò=

15、 2f (t)dt +f (t)dt -f (t)dt -êë 0úûêë 0úû2000= 2 f (t + 2) - f (t)dt = 0xò0即G(x) 是以 2 為周期的周期函數(shù).10 分(19)（本題滿分 11 分）¥將函數(shù) f (x) = 1- x2 ， (0 £ x £ p ) 展開成余弦級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)å(-1)n+1的和.n2n=12p 22pa0 = p ò0 (1 - x )dx = 2 -解：由于22 分324pa =(1- x2

16、) cosnxdx =(-1)n+1, n = 1,2,Lò5 分npn20a cosnx = 1 - p+ å2¥4¥+ å(-1)n+1cosnx ，0 £ x £ p ，所以 f (x) = a07 分n23n2n=1n=1f (0) = 1 - p+ å2¥4(-1)n+1 ，令 x = 0 ，有n23(-1)n-1n=1= p 212¥又 f (0) = 1，所以ån=111 分n22008 年 第 4 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題

17、參考和評(píng)分參考(20)（本題滿分 10 分）設(shè)a , b 為 3 維列向量，矩陣 A = aaT + bbT , 其中a T ， b T 為a ， b 的轉(zhuǎn)置. 證明：(I) 秩 r( A) £ 2 ；(II) 若a , b 線性相關(guān)，則秩r( A) < 2.證：(I) r(A) = r(aaT + bbT )£ r(aaT ) + r(bbT )£ r(a ) + r(b ) £ 2(II) 由于a , b 線性相關(guān)，不妨設(shè)a = kb ，于是r(A) = r(aa T + bb T ) = r(1+ k 2 )bb T ) £ r(b

18、) £ 1 < 2(21)（本題滿分 12 分）3 分6 分10 分æ 2aö÷÷÷÷÷12aæ x1 öæ 1 öç a212aOç x ÷ç 0 ÷ç設(shè) n 元線性方程 Ax = b ，其中 A = ç, x = ç 2 ÷ ，b = ç÷2a1Oa2çççç÷ç M ÷ç &#

19、247;MO2a a2ç÷÷è xn øè 0 ø1ç2a ÷èøn´n A = (n +1)an ；(I) 證明行列式(II) 當(dāng) a 為何值時(shí)，該方程組有唯一解，并求 x1 ；() 當(dāng)a 為何值時(shí)，該方程組有無窮多解，并求通解.2a a212a1(I) 證法 1：記 D =A =a22a1O Oa2nO2a a212a n當(dāng) n = 1時(shí)， D1 = 2a ，結(jié)論成立，2a1當(dāng) n = 2 時(shí)， D = 3a 2 ，結(jié)論成立2 分2a 22a假設(shè)結(jié)論對(duì)小于n 的情況成立，

20、將 Dn 按第 1 行展開得- a2D= 2anan-1 - a2 (n -1)an-2 = (n +1)an ，即A = (n +1)anD = 2aD6 分nn-1n-22008 年 第 5 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考2a1a22a1a22a1O Oa證法 2：2 分2a1314 a3a24 分012aO2r3 -ar21Oa2a013 a20n - 16 分rnarn-1n解：當(dāng)a ¹ 0 時(shí)，方程組系數(shù)行列式 Dn ¹ 0 ，故方程組有唯一解. 法則，將 Dn 第 1 列換成b ，得行列式為()由1102a

21、1a22aO1Oa2O 2a a2nDn-1所以，x =9 分1(n + 1)aDn2008 年 第 6 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考æ 0çççç10öæ÷ç÷çx1 xöæ 1 ö÷ç 0 ÷1O O0÷ç ÷() 解：當(dāng)a = 0 時(shí)，方程組為2÷ç÷ = ç M ÷M1 ÷

22、ç x÷ç 0 ÷ç÷çn-1 ÷ç ÷ç0 ÷ç÷ç 0 ÷xèøè n øè ø此時(shí)方程組系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為 n -1 ，所以方程組有無窮多解，其通解為x = (00)T + k (10)T ,其中k 為任意1 0 L00 L12 分(22)（本題滿分 11 分）設(shè)隨量X 與Y 相互1，X 概率分布為 PX = i =(i = -1, 0,1) ，Y 的概率密度

23、3記 Z = X + Y0 £ y £ 1f ( y) = ì1為í0，Yî其它求 PZ £ 1(II) 求 Z 的概率密度 f ( z) .X = 0；(I)z2ì1üì1üì1 ü1解：(I)4 分PíZ £ 2 X = 0ý = PíX + Y £ 2 X = 0ý = PíY £ 2ý = 2îþîþîþFZ (z) =

24、 PZ £ z = PX + Y £ z(II)= PX + Y £ z, X = -1+ PX + Y £ z, X = 0+ PX + Y £ z, X = 1= PY £ z + 1, X = -1+ PY £ z, X = 0+ PY £ z - 1, X = 1= PY £ z + 1PX = -1+ PY £ zPX = 0+ PY £ z - 1PX = 1= +Y £ z +1Y £ zY £ z -11PPP3= (z +1) + F (

25、z) + F(z -1)F17 分3YYY¢f (z) = F (z) =f(z +1) + f (z) + f(z -1)19 分ZZ3YYYì1 ,-1 £ z < 2= í311 分î0, 其他(23)（本題滿分 11 分）n 是總體為 N(m,s ) 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記2設(shè)21n1n 1nX =å X ， S 2 =å( X - X ) ， T = X -2S 2in -1ini=1i=1(I) 證明T 是 m 2 的無偏估計(jì)量； (II) 當(dāng) m = 0,s = 1時(shí)，求 DT.= E(X 2 - 1 S 2

26、 ) = EX 2 - 1 ES 2 = (EX )2 + DX - 1 ES 2(I) 證：因 ET4 分nn2008 年 第 7 頁n：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考= m 2 + s 2- s 2= m 2nn所以T 是 m 2 的無偏估計(jì)量7 分(II) 解：當(dāng) m = 0 ，s = 1時(shí)，由于 X 與 S 2，有DT = D( X 2 - 1 S 2 ) = DX 2 +DS 219 分n2nD(n -1) S 2 1n211=D( n X )2 +×n2(n -1)21112æ1ö =2=×

27、 2 +×× 2(n -1) =+ç1n -1÷n(n -1)11 分(n -1)2n2n22nèø2008 年 第 8 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考數(shù) 學(xué)（二） 一選擇題 ( 1 8 小題，每小題 4 分，共 32 分.)-1)(x - 2) ，則 f ¢(x) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（1）設(shè)函數(shù) f (（A）0（D）（B）1（C）2（D）3（2）如圖，曲線段的方程為 y = f (x) ，函數(shù)在區(qū)間0, a 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，aò¢則定積分xf (x)dx

28、等于（C）0（A）（C）（3）【 同梯形 ABCD 面積.（B）梯形ABCD 面積. 三角形ACD 面積. （D）三角形 ACD 面積.（3）題 】（4）函數(shù) f (x) =sin x ，則 f (x) 有（A）（A）1 個(gè)可去間斷點(diǎn)，1 個(gè)跳躍間斷點(diǎn)； （B）1 個(gè)跳躍間斷點(diǎn)，1 個(gè)無窮間斷點(diǎn).（C）2 個(gè)跳躍間斷點(diǎn)；（D）2 個(gè)無窮間斷點(diǎn)（5）【 同（4）題 】f (x 2 + y 2 )（6）設(shè)函數(shù) f 連續(xù)，若 F (u, v) = òòu v其中區(qū)域 Duv 為圖中陰影部分，dxdy，x + y22D¶F則¶u=（A）（B） v（D） vu（A

29、） vf (u2 )f (u 2 )（C） vf (u)f (u)u（7）【 同（5）題 】（8）設(shè) A = æ 12 ö，則在實(shí)數(shù)域上與 A 合同的矩陣為（D）ç 21 ÷èøæ- 2-1ö- 2ö1öæ2-1æ 21öæ1- 2（A）çè- 2÷ç÷2çè÷2ç÷ø（B）（C）（D）111øèøø

30、2;2008 年 第 9 頁lnxx - 1：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考二、填空題：（914 小題，每小題 4 分，共 24 分.）(9) 已知函數(shù) f (x) 連續(xù)，且lim 1 - cosxf (x) = 1，則 f (0) =2.2(ex -1) f (x)x®0(10) 微分方程(y + x2e-x )dx - xdy = 0 的通y =x(C - e-x ).(11) 【 同（10）題 】2(12) 曲線 y = (x - 5)x 3 的拐點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-6).x(13) 已知 z = æ y ö

31、 y ，則 ¶z=2 (ln 2 -1).ç x ÷(1,2)¶xèø 2設(shè) 3 階矩陣A 的特征值是2,3, l ，若行列式 2A = -48 ，則l =-1(14).三、解答題 ( 15 23 小題，共 94 分. )(15)（本題滿分 9 分） 【 同（15）題】(16)（本題滿分 10 分）ìïx = x(t)設(shè)函數(shù) y = y(x) 由參數(shù)方程確定， 其中 x(t) 是初值問題ít 2ïî y = ò0 ln(1 + u)duìdx - 2te-x = 0

32、d 2 yï dtíïîx t =0的解，求.dx2= 0dx解：由- 2te-x = 0 得ex dx = 2tdt ，積分并由條件 xdt即 x = ln(1+ t 2 )dy= 0 ，得ex= 1 + t 2 ，t =04 分= ln(1 + t 2 ) × 2tdy =dxdt dxdt= (1 + t ) ln(1 + t )227 分2t1 + t 2(1 + t 2 ) ln(1 + t 2 )ddtd 2 yddy= 2t ln(1 + t 2 ) + 2t=() =dx dx= (1+ t ) ln(1+ t) + 12210

33、 分dx2tdx2 dt 1 + t 22008 年 第 10 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考(17)（本題滿分 9 分）1 x2 arcsin xò0dx .計(jì)算1- x2x 2 arcsin x1 x 2 arcsin x= +¥ ，故ò0解：由于limdx 是反常積分x®1-1 - x1 - x22令arcsin x = t ，有 x = sin t ， t Î0, p )2pp t sin 2 t1 x 2 arcsin xòòòdx =costdt

34、=t sin tdt2223 分cost1 - x 2000p20pp 2t sin 2t1ò=-16+ 2 sin 2tdt7 分440p20p 2p 211=-cos2t 168(18)（本題滿分 11 分）=+9 分164計(jì)算 òò maxxy,1dxdy ，其中 D = (x, y) 0 £ x £ 2,0 £ y £ 2.D解：曲線 xy = 1將區(qū)域 D 分成òòmaxxy,1dxdy = òò xydxdy+ òòdxdy的兩個(gè)區(qū)域 D1 和 D25

35、分3 分DD1D2112222òòòòòò=dxxydy +dxdy +dxdy2x8 分1110002x21519=- ln 2 +1+ 2ln 2 =+ ln 211 分44(19)（本題滿分 11 分）設(shè) f (x) 是區(qū)間0,+¥) 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)， 且f (0) = 1 ， 對(duì)任意的t Î0,+¥)，直線 x = 0, x = t ，曲線 y = f (x) 以及 x 軸圍成的梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體，若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積在數(shù)值上等于其體積的 2 倍，求函數(shù) f (x)

36、的表達(dá)式.ttòò解：旋轉(zhuǎn)體的體積V = pf (x)dx ，側(cè)面積 S = 2pf (x) 1 + f '2 (x)dx ，200ttòò由題設(shè)條件知f (x)dx =f (x) 1 + f ;2 (x)dx24 分00上式兩端對(duì)t 求導(dǎo)得： f 2 (t) = f (t) 1+ f '2 (t) ， 即 y¢ =y2 -16 分2008 年 第 11 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考由分離變量法ln( y +y 2 -1) = t + C ，即 y +y2 -1 = Ce

37、t9 分1將 y(0) = 1代入知C = 1 ，故 y +y 2 -1 = et ， y = 1 (et + e-t )2于是所求函數(shù)為 y = f (x) = 1 (ex + e-x )2(20)（本題滿分 11 分）(I) 證明積分中值定理：若函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則至少b11 分一點(diǎn)h Î a, b，ò使得f (x)dx = f (h)(b - a) ；a3ò(II) 若函數(shù)j (x) 具有導(dǎo)數(shù)，且滿足j(2) > j(1) ，j(2) >j(x)dx ，則至少2一點(diǎn)x Î (1,3) ，使得j¢

38、2;(x ) < 0證：(I) 設(shè) M 與 m 是連續(xù)函數(shù) f (x) 在a, b上的最大值與最小值，即m £ f (x) £ M ， x Î a, b 1 b - abbòò由積分性質(zhì)，有m(b - a) £f (x)dx £ M (b - a) ，即m £f (x)dx £ M 2 分aa 1 b - a一點(diǎn)h Î a, b，使得 f (bòh) =f (x)dx ，由連續(xù)函數(shù)介值定理，至少abò即f (x)dx = f (h)(b - a)4 分a一點(diǎn)h 

39、6; ，使 j(x)dx = j(3òh)(3 - 2) = j(h)2,3(II) 由 (I) 知至少6 分23ò又由j(2) >j(x)dx = j(h) 知，2 < h £ 3 ，對(duì)j (x) 在1,2 和2,h 上分別應(yīng)用日2中值定理，并注意到j(luò)(2) > j(1) ，j(2) > j(h) ，得j(2) - j(1)j(h) - j(2)h - 2j'(x1) => 0,1 < x1 < 2 ，j'(x2 ) =< 0,2 < x2 < h £ 3 9 分2 -1在x1

40、 ,x 2 上對(duì)導(dǎo)函數(shù)j¢(x) 應(yīng)用日中值定理，有j¢x ) -j¢x )(j¢¢(x ) =< 0,x Î(x ,x ) Ì (1,3)2111 分x - x1221(21)（本題滿分 11 分）求函數(shù)u = x2 + y2 + z2 在約束條件 z = x 2+ y 2 和 x + y + z = 4 下的最大值與最小值.日函數(shù)F(x, y, z, l, m) = x2 + y2 + z 2 + l(x2 + y2 - z) + m(x + y + z - 4)3 分解：作2008 年 第 12 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

41、大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考ìF ' = 2x + 2lx + m = 0xïïF = 2 y + 2ly + m = 0'yï令 F = 2z - l + m = 0'í6 分zï 'F = x 2 + y 2 - z = 0ïïlF = x + y + z - 4 = 0'îm解方程組得(x1 , y1 , z1 ) = (1,1,2) ，(x2 , y2 , z2 ) = (-2,-2,8)故所求的最大值為 72，最小

42、值為 6.9 分11 分(22)（本題滿分 12 分） 【 同(23)（本題滿分 10 分）設(shè) A 為 3 階矩陣， a1,a2 為Aa3 = a2 + a3 ，(I) 證明a1 ,a2 ,a3 線性無關(guān)；（21）題 】的特征向量，向量a3 滿足A 的分別屬于特征值-1，1（）令 P =a ,a ,a ，求 P AP .-1123證明: (I) 設(shè)數(shù)k1 , k 2 , k3 ，使得k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0用A 左乘1 的兩邊，并由 Aa1 = -a1 ， Aa 2 = a 2 ，得：1- k1a1 + (k2 + k3 )a2 + k3a3 = 0233 分得： 2k1a

43、1 - k3a2 = 01 2因?yàn)閍1 ,a 2 是A 的屬于不同特征值的特征向量，所以a1 ,a 2 線性無關(guān)，從而k1 = k3 = 0代入1 得， k2a 2 = 0 ，又由于a 2 ¹ 0 ，所以k2 = 0 ，故a1 ,a2 ,a3 線性無關(guān).7 分（）由題設(shè)，可得 AP = A(a1,a2 ,a3 ) = (Aa1, Aa2 , Aa3 )æ-10öæ-10100100100öç÷1 = Pç 0ç÷1= (a ,a ,a0123 )ç÷÷ç1

44、÷ç1÷00èøèøæ-10öç÷1-1由(I)知， P 為可逆矩陣，從而 P AP =0ç÷10 分ç1÷0èø2008 年 第 13 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考數(shù) 學(xué)（三） 一選擇題 ( 1 8 小題，每小題 4 分，共 32 分.)xòf (t)dt的（1）設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間-1,1 上連續(xù)，則 x=0 是函數(shù) g(x) =0（B）x（D）振蕩

45、間斷點(diǎn).（A）跳躍間斷點(diǎn).（B）可去間斷點(diǎn).（C）無窮間斷點(diǎn).（2）【 同數(shù)學(xué)二（2）題 】x2 + y4 ，則（3）已知 f (x, y) = e（B）（A） f x¢(0,0) ， f y¢(0,0) 都（B） f x¢(0,0) 不， f y¢(0,0)（C） f x¢(0,0)， f y¢(0,0) 不（D） f x¢(0,0)f y¢(0,0) 都不（4） 【（5） 【（6） 【（7） 【（8） 【同數(shù)學(xué)二（6）題】同（5）題】同數(shù)學(xué)二（8）題】同同（7） 題（8） 題二、填空題：（914 小題，每小題

46、4 分，共 24 分.）ìx2 +1,£ c> cxï(9)設(shè)函數(shù) f (x) =在(-¥, +¥) 內(nèi)連續(xù)，則c =1í2.,xïîx3 x42 2ò1，求積分f (x)dx =(10) 函數(shù) f.ln 322(11) 設(shè) D = (x, y) x2 + y2 £ 1，則 òò(x 2 - y)dxdy =Dp / 4.(12)【 同（9）題 】設(shè) 3 階矩陣A 的特征值是 1, 2, 2，E 為 3 階矩陣，則 4A-1 - E =_3.(13)(14)（14）題

47、】【 同2008 年 第 14 頁x：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考三、解答題 ( 15 23 小題，共 94 分. )(15)（本題滿分 9 分）1 ln sin x計(jì)算lim.x2xx®0lnsin x -ln x解：原式 lim= lim4 分22x2x sin x- x sin xx®0x®0= lim= lim7 分2x36x2x®0= - 1x®09 分6(16)（本題滿分 10 分）設(shè) z = z(x, y) 是由方程 x2 + y2 - z = j(x + y + z) 所確定

48、的函數(shù)，其中j 具有且j¢ ¹ -1，導(dǎo)數(shù)( ¶z - ¶z ) ，求¶u.1(I) 求 dz ； (II) 記 u(x, y) =x - y ¶x¶y¶x解法 1：(I) 設(shè) F(x, y, z) = x2 + y2 - z -j(x + y + z)則 Fx = 2x - j¢ ， F ¢ = 2y -j¢ ， F ¢ = -1-j¢3 分yz=- Fy¢ ，得¶zF ¢由公式=- x¶z，¶z = 2x -j&

49、#162; ， ¶z = 2y -j¢¶xF ¢z¶x1+j¢¶y1+ j¢¶yF ¢z所以dz = ¶z dx + ¶z dy =11+ j¢(2x -j¢)dx + (2 y -j¢)dy7 分¶x¶y¶u =-2(1+ ¶z )j¢¢ = - 2(2x +1)j¢21+j¢(II) 由于u(x, y) =， 所以10 分¶x(1+j¢)2&#

50、182;x(1+j¢)3解法 2：(I) 對(duì)等式 x2 + y2 - z = j(x + y + z) 兩端求微分,得2xdx + 2 ydy - dz = j¢×(dx + dy + dz)5 分2x -j¢1+j¢2y -j¢1+j¢解出 dz 得 dz =dx +dy7 分(II) 同解法 110 分(17)（本題滿分 11 分）【 同數(shù)學(xué)二（18）題】f (x) 是周期為 2 的連續(xù)函數(shù)，(18)（本題滿分 10 分）t +22(I) 證明對(duì)任意實(shí)數(shù) t，有òtòf (x)dx =f (x)dx；

51、0xt +2òòG(x) =2 f (t) -f (s)dsdt 是周期為 2 的周期函數(shù).(II) 證明0t2008 年 第 15 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考證法 1：(I) 由積分的性質(zhì)知對(duì)任意的實(shí)數(shù) t，t +202t +2òtòòòf (x)dx =f (x)dx +f (x)dx +f (x)dx2 分t02t +2tt0令 s = x - 2 ，則有ò2f (x)dx =f (s + 2)ds =f (s)ds = -f (x)dxòò

52、;ò00tt +20202所以òtòòòòf (x)dx =f (x)dx +f (x)dx -f (x)dx =f (x)dx5 分t0t0t +22知對(duì)任意的t 有òtf (s)ds =f (s)dsò(II)由(I)02xòò記f (s)ds = a ，則G(x) = 2f (t)dt - ax00x+2x因?yàn)閷?duì)任意的 x ， G(x + 2) - G(x) = 2ò0f (t)dt - a(x + 2) - 2f (t)dt + axò0x+2= 2òxf

53、(t)dt - 2a28 分ò= 2f (t)dt - 2a = 0所以G(x) 是周期為 2 的周期函數(shù).010 分t +2'設(shè) F (t) = òtf (x)dx ，由于 F (t) = f (t + 2) - f (t) = 0 ， 2 分，從而有 F (t) = F (0)證法 2：(I)所以 F (t) 為t +2222而 F (0) =f (x)dx ，所以 F (t) =f (x)dx ，即òtf (x)dx =f (x)dxò由òò5 分000t +22知對(duì)任意的t 有òtf (s)ds =f (s)

54、dsò(II)(I)0x+22xòòò記f (s)ds = a ，則G(x) = 2f (t)dt - ax ， G(x + 2) = 2f (t)dt - a(x + 2) 7 分000由于對(duì)任意 x ， (G(x + 2)¢ = 2 f (x + 2) - a = 2 f (x) - a ， (G(x)¢ = 2 f (x) - a所以(G(x + 2) - G(x)¢ = 0 ，從而G(x + 2) - G(x) 是，即有G(x + 2) - G(x) = G(2) - G(0) = 0 ，所以G(x) 是周期為 2

55、的周期函數(shù).10 分(19)（本題滿分 10 分）設(shè)銀行存款的年利率為r = 0.05 ，并依年復(fù)利計(jì)算，某希望通過存款A(yù) 萬元實(shí)現(xiàn)第一年提取 19 萬元，第二年提取 28 萬元，第 n 年提取(10 + 9n) 萬元，并能按此規(guī)律一直提取下去，問 A 至少應(yīng)為多少萬元？解：設(shè) A 為用于第 n 年提取(10 + 9n) 萬元的貼現(xiàn)值，則 A = (1+ r)-n (10 + 9n)nn2008 年 第 16 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全·配套光盤·2008 年數(shù)學(xué)試題參考和評(píng)分參考10 + 9n¥¥故 A = å An =ån=113 分(1 + r)nn=1¥¥¥9nnååå= 10+= 200 + 96 分(1 + r)n(1 + r)n(1 + r)nn=1n=1n=1¥設(shè) S(x) = ånxn ， x Î (-1,1)n=1¥因?yàn)?S(n=1x ， x Î (-1,1)9 分x)2所以 Sæ