高中數(shù)學(xué)論文集：淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用 (2)

1、淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用 在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，將抽象的數(shù)學(xué)語言同直觀的圖形相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)抽象的概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，這就是數(shù)形結(jié)合的思想在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是一條重要的數(shù)學(xué)原則，主要體現(xiàn)在平面解析幾何和立體幾何中，在處理邊角關(guān)系的問題中也有較多的應(yīng)用在解決集合問題、方程及不等式問題中，如果能注意數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用，能使許多數(shù)學(xué)問題簡單化下面舉一些例子作詳細(xì)說明： 一、數(shù)形結(jié)合思想在解決集合問題中的應(yīng)用 1、利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問題一般用圓來表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個(gè)集合沒有公共元素利用韋恩圖法能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問題如

2、： 例1、有48名學(xué)生，每人至少參加一個(gè)活動(dòng)小組，參加數(shù)理化小組的人數(shù)分別為28，25，15，同時(shí)參加數(shù)理小組的8人，同時(shí)參加數(shù)化小組的6人，同時(shí)參加理化小組的7人，問同時(shí)參加數(shù)理化小組的有多少人？C（化）A（數(shù)）B（理）分析：我們可用圓A、B、C分別表示參加數(shù)理化小組的人數(shù)（如右圖），則三圓的公共部分正好表示同時(shí)參加數(shù)理化小組的人數(shù)用n表示集合的元素，則有： 即：，即同時(shí)參加數(shù)理化小組的有1人 例2、設(shè)，已知 IAB3,5,72AB1,94,6,8求 分析：如圖，用長方形表示全集I，用圓分別表示集合A和B，用n表示集合的元素，則有：從韋恩圖我們可以直觀地看出： 2、利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運(yùn)算

3、和集合的關(guān)系問題 例3、設(shè)。·4。· 求 分析:分別先確定集合A，B的元素，然后把它們分別在數(shù)軸上表示出來，從數(shù)軸上的重合和覆蓋情況可直接寫出答案： (公共部分) (整個(gè)數(shù)軸都被覆蓋) (除去重合部分剩下的區(qū)域) (除去覆蓋部分剩下的區(qū)域) 例4、已知集合 若，求的范圍.若，求的范圍。aa。3 分析：先在數(shù)軸上表示出集合A的范圍，要使，由包含于的關(guān)系可知集合B應(yīng)該。a3a覆蓋集合A，從而有:,這時(shí)的值不可能存在要使，這時(shí)集合應(yīng)該覆蓋集合B,應(yīng)有成立可解得為所求的范圍302xyy=x2-x-6二、利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程和不等式問題1、 利用二次函數(shù)的圖像求一元二次不等式的解

4、集 例5、解不等式 分析：我們可先聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像草圖從解得知該拋物線與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2，3，當(dāng)取交點(diǎn)兩側(cè)的值時(shí),即時(shí)，即故可得不等式.的解集為：.同理,根據(jù)圖像，我們還可以直觀地看出： 的解集為等等0xyy=-x2+2x-3 例6、求不等式的解集 分析:我們先聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像草圖，拋物線開口向下，與軸沒有交點(diǎn)，很明顯，無論取任何值時(shí)都有即,的解集為空集 而的解集為全體實(shí)數(shù) 因此，我們要求一元二次不等式的解集時(shí)，只要聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像，確定拋物線的開口方向和與軸的交點(diǎn)情況，便可直觀地看出所求不等式地解集2、 利用二次函數(shù)的圖像解決一元二次方程根的分布情況問題 例7、為何

5、值時(shí)，方程的兩根在之內(nèi)？0xy11 分析：顯然,我們可從已知方程聯(lián)想到相應(yīng)的二次函數(shù)的草圖，從圖像上我們可以看出，要使拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)在之間,必須滿足條件:即從而可解得的取值范圍為0xy例8、如果方程的兩個(gè)實(shí)根在方程的兩實(shí)根之間，試求與應(yīng)滿足的關(guān)系式分析：我們可聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù), 的草圖 這兩個(gè)函數(shù)圖像都是開口向上，形狀相同且有公共對(duì)稱軸的拋物線(如圖)要使方程的兩實(shí)根在方程的兩實(shí)根之間，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)應(yīng)在函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)之內(nèi)，它等價(jià)于拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不大于零且大于拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)由配方方法可知與的頂點(diǎn)分別為：故可求出與應(yīng)滿足的關(guān)系式為:200.4xyy=3x21y=2

6、-x3、 利用函數(shù)圖像解決方程的近似解或解的個(gè)數(shù)問題例9、解方程分析:由方程兩邊的表達(dá)式我們可以聯(lián)想起函數(shù),作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像,這兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)10x11為方程的近似解，可以看出方程的近似解為y例10、設(shè)方程，試討論取不同范圍的值時(shí)其不同解的個(gè)數(shù)的情況分析：我們可把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)與圖像交點(diǎn)1個(gè)數(shù)的情況，因函數(shù)表示平行于軸的所有直線，從圖像可以直觀看出:當(dāng)時(shí)， 與沒有交點(diǎn)，這時(shí)原方程無解;當(dāng)時(shí)， 與有兩個(gè)交點(diǎn),原方程有兩個(gè)不同的解;當(dāng)時(shí)， 與有四個(gè)不同交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有四個(gè)；當(dāng)時(shí)， 與有三個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè)；當(dāng)時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè)4、

7、 利用三角函數(shù)的圖像解不等式 例11、解不等式 分析:原不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏罂傻玫剑?又,不等式兩邊同時(shí)除以可得： x1y=10y1下面關(guān)鍵分析如何求的解集我們可以聯(lián)想正切函數(shù)的圖像,在區(qū)間內(nèi)作出的函數(shù)圖像，再作出兩平行于軸的直線和與的圖像相交于點(diǎn) 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為又因?yàn)檎泻瘮?shù)的周期為,故可求得所求不等式的解集為:.0xy1例12、解不等式分析:從不等式的兩邊表達(dá)式我們可以看成兩個(gè)函數(shù).在上作出它們的圖像,得到四個(gè)不同的交點(diǎn),橫坐標(biāo)分別為:,而當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時(shí),的圖像都在的圖像上方所以可得到原不等式的解集為：三、利用函數(shù)圖像比較函數(shù)值的大小 一些數(shù)值大小的比較，我們可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)的函數(shù)

8、值，利用它們圖像的直觀性進(jìn)行比較如：0y1110.3x 例13、試判斷三個(gè)數(shù)間的大小順序 分析：這三個(gè)數(shù)我們可以看成三個(gè)函數(shù)在時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個(gè)函數(shù)的圖像(如圖)，從圖像可以直觀地看出當(dāng)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)的位置，從而可得出結(jié)論： 四、利用單位圓中的有線段解決三角不等式問題在教材中利用單位圓的有向線段表示角的正弦線，余弦線，正切線，并利用三角函數(shù)線可作出對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的圖像如果能利用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)線，應(yīng)用它解決三角不等式問題,簡便易行0xyP例14、解不等式分析：因?yàn)檎揖€在單位圓中是用方向平行于軸的有向線段來表示我們先在軸上取一點(diǎn)P，使，恰好表示角的正弦線,過點(diǎn)P作軸的平行線交單位圓于點(diǎn),在內(nèi)，分別對(duì)應(yīng)于角，(這時(shí)所對(duì)應(yīng)的正弦值恰好為)而要求的解集，只需將弦向上平移，使重合(也即點(diǎn)P向上平移至與單位圓交點(diǎn)處)這樣所掃過的范圍即為所求的角原不等式的解集為： 例15、解不等式0xPy 分析：根據(jù)余弦線在單位圓中