【精品】高二數(shù)學(xué) 9.1平面的基本性質(zhì)(第二課時(shí))大綱人教版必修

1、9.1.2 平面（二）教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.平面基本性質(zhì)的公理3的三個(gè)推論.2.平面的基本性質(zhì)及其推論的作用.3.推論的圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言.4.性質(zhì)與推論的簡(jiǎn)單應(yīng)用.（二）能力訓(xùn)練要求1.掌握公理3的三個(gè)推論.2.會(huì)用圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示推論的文字語(yǔ)言.3.掌握平面的基本性質(zhì)及其推論的作用.4.初步掌握推論與性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.（三）德育滲透目標(biāo)使學(xué)生通過(guò)空間想象能力的初步訓(xùn)練,加深對(duì)我們所處的三維空間的認(rèn)識(shí),培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義世界觀.教學(xué)重點(diǎn)平面基本性質(zhì)公理3的三個(gè)推論,在學(xué)習(xí)中要注意它們的條件、結(jié)論、作用、圖形語(yǔ)言及符號(hào)語(yǔ)言,并掌握熟記它們.教學(xué)難點(diǎn)三個(gè)推論的證明及性質(zhì)、推論的簡(jiǎn)單

2、應(yīng)用.教學(xué)方法指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)法上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平面的基本性質(zhì)三個(gè)公理,本節(jié)課所學(xué)的三個(gè)推論是在上節(jié)課公理的基礎(chǔ)上推出的結(jié)論,教師給予必要的點(diǎn)撥指導(dǎo),學(xué)生對(duì)推論的學(xué)習(xí)與掌握應(yīng)該是沒(méi)有問(wèn)題的.啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)推論的證明（也可根據(jù)學(xué)情讓學(xué)生模仿證明）,既可讓學(xué)生嘗試探索證明途徑,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力,又可突出學(xué)生的主體參與,使學(xué)生體會(huì)到參與的樂(lè)趣,學(xué)會(huì)自學(xué)的方法,增強(qiáng)自己獲取知識(shí)的能力.至于公理與推論的簡(jiǎn)單應(yīng)用,教師應(yīng)在方法上予以必不可少的指導(dǎo).教學(xué)過(guò)程.復(fù)習(xí)回顧師上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平面的基本性質(zhì)三個(gè)公理,請(qǐng)同學(xué)們回憶一下,三個(gè)公理的具體內(nèi)容是什么？生甲如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所

3、有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).師好！用圖形表示是怎樣的呢？生乙（上講臺(tái)在黑板上作圖）師用符號(hào)表示是怎樣的呢？生丙（板書于黑板上）.師很好！l就說(shuō)直線l在平面內(nèi),也就是說(shuō)直線l上的所有的點(diǎn)都在平面內(nèi),請(qǐng)同學(xué)們考慮一下,怎樣的直線l我們就說(shuō)它在平面外呢？生丁不在平面內(nèi)的直線l,我們就說(shuō)它在平面外.生戊直線l上沒(méi)有兩點(diǎn)在平面內(nèi),我們就說(shuō)它在平面外.生己直線l上有一個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi),我們就說(shuō)它在平面外.生庚直線l上最多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi),我們就說(shuō)它在平面外.師生丁、戊、己、庚誰(shuí)談得正確呢？（學(xué)生考慮,然后回答：都正確）師剛才四位同學(xué)的回答都是正確的！那么同學(xué)們誰(shuí)來(lái)談一下,直線l在平面外時(shí),直線與平面的位置關(guān)系可能

4、是怎樣的？生辛直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn)或直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn).師好！直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)或直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn),都叫直線在平面外.（這個(gè)討論,為日后研究直線與平面的位置關(guān)系打下伏筆）師再請(qǐng)一位同學(xué)來(lái)談一下公理2的內(nèi)容.生壬如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們還有其他公共點(diǎn),且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線.其圖形語(yǔ)言為用符號(hào)表示為P=l且Pl.師很好！這個(gè)公理告訴我們,如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們相交于過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線.在畫兩個(gè)平面相交時(shí),一定要把它們的交線畫出來(lái).再請(qǐng)一位同學(xué)來(lái)談一下公理3.生癸經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.其圖形語(yǔ)言為用符號(hào)表示為A

5、、B、C不共線存在唯一的平面,使得師公理3實(shí)質(zhì)上是確定平面的條件.從剛才大家的回答來(lái)看,對(duì)各個(gè)公理,大家記憶得很好,但關(guān)鍵還在于理解,要把各個(gè)公理的作用弄清楚、弄透徹,正確、合理地運(yùn)用它去解決具體問(wèn)題.在平面幾何中,我們知道兩點(diǎn)確定一條直線,在立體幾何中,我們又知道,不在一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.后者就是公理3的實(shí)質(zhì).由公理3,我們還可得到下面的一些推論,請(qǐng)同學(xué)們?cè)倏凑n本P6.指導(dǎo)自學(xué)（學(xué)生看課本時(shí),教師將三個(gè)推論板書寫在黑板上）推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.師對(duì)于推論1,可以這樣來(lái)

6、理解：公理3告訴我們不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,由于這三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)可確定一條直線,而第三點(diǎn)在這條直線外,所以由公理3這條直線與它外面的一點(diǎn)可確定一個(gè)平面.這樣理解是可以的,但對(duì)于推論的正確性,還是需要進(jìn)行嚴(yán)格證明的.分析：（1）與平面幾何的證明一樣,證明立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：第一步：根據(jù)題意作圖,寫出已知、求證;第二步：寫出證明過(guò)程.（2）對(duì)于“有且只有”型命題的證明,要從“有”和“只有”兩方面證明,即既證明存在性“有”,又證明唯一性“只有”.（3）化生疏為熟悉、化未知為已知是我們常用的解（證）題方法.師推論1的圖形語(yǔ)言是怎樣的？請(qǐng)一位同學(xué)來(lái)黑板上畫出.生（上黑板畫圖）師請(qǐng)根據(jù)推

7、論1的文字語(yǔ)言和圖形寫出已知和求證.生已知：點(diǎn)Al.求證：過(guò)點(diǎn)A和直線l有且只有一個(gè)平面.師很好.下面我們一起來(lái)作出證明,由剛才的分析,對(duì)于這個(gè)“有且只有”型的命題,既要證“存在性”,又要證“唯一性”.證明：存在性.在直線l上任取兩點(diǎn)B、C,據(jù)題意,A、B、C三點(diǎn)不共線.由公理3,經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)有一個(gè)平面.Bl,Cl,l（公理1）.又A,平面是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線l的平面.唯一性根據(jù)公理3,經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)A、B、C的平面只有一個(gè),所以經(jīng)過(guò)直線l和點(diǎn)A的平面只有一個(gè).由、,可知經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.師這個(gè)推論用符號(hào)語(yǔ)言可表示為 .生Al存在唯一的平面,使得A且l.師上面

8、我們給出了推論1的證明,請(qǐng)同學(xué)們仿照,嘗試給出推論2、推論3的證明.（同學(xué)試證,教師巡視,可讓同學(xué)將證明過(guò)程板書于黑板上）（推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面）已知：直線a、b且ab=P.求證：過(guò)a、b有且只有一個(gè)平面.證法一：存在性在直線a、b上分別取不同于點(diǎn)P的點(diǎn)A、B,則點(diǎn)A、B、P是不共線的三點(diǎn)（否則與a、b是兩條相交直線矛盾）.根據(jù)公理3,過(guò)A、B、P三點(diǎn)有一個(gè)平面.A,P,AP,即a.同理b,因此過(guò)直線a、b有平面.唯一性經(jīng)過(guò)直線a、b的平面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、P,根據(jù)公理3,經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)A、B、P的平面只有一個(gè),經(jīng)過(guò)a、b的平面只有一個(gè).由、,可知經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有

9、一個(gè)平面.證法二：存在性在直線a上取不同于點(diǎn)P的點(diǎn)A,則點(diǎn)A直線b.根據(jù)推論1,過(guò)點(diǎn)A和直線b有一個(gè)平面.b,Pb,P.又A,AP,即a.經(jīng)過(guò)相交直線a、b有平面.唯一性經(jīng)過(guò)直線a、b的平面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線b,而Ab,根據(jù)推論1,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線b的平面只有一個(gè).經(jīng)過(guò)a、b的平面只有一個(gè).由、,可知經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.已知：直線a、b且ab.求證：經(jīng)過(guò)a、b有且只有一個(gè)平面.證明：存在性ab,由平行線的定義,a、b在同一平面內(nèi),過(guò)直線a、b有一個(gè)平面.唯一性在直線b上任取一點(diǎn)B,則Ba（否則與ab矛盾）,且B、a在過(guò)a、b的平面內(nèi).又由推

10、論1,過(guò)點(diǎn)B和直線a的平面只有一個(gè),過(guò)直線a、b的平面只有一個(gè).由、,可知經(jīng)過(guò)兩條平行直線的平面有且只有一個(gè).師推論2與推論3用符號(hào)語(yǔ)言可分別表示為什么呢？生推論2可表示為ab=P存在唯一平面,使得a,b.推論3可表示為ab有且只有一個(gè)平面,使得a,b.師“有且只有一個(gè)平面”可以說(shuō)成“確定一個(gè)平面”.比如公理3可以表述為“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”.類似地,公理3的三個(gè)推論可以分別敘述為生一條直線與它外面的一點(diǎn)確定一個(gè)平面.兩條相交直線確定一個(gè)平面.兩條平行直線確定一個(gè)平面.師好.由此可以看出公理3及它的三個(gè)推論,給出了確定一個(gè)平面時(shí)經(jīng)常使用的一些條件,我們要予以準(zhǔn)確把握.下面我們來(lái)進(jìn)行有關(guān)的練習(xí).課堂練習(xí)課本P8習(xí)題9.1 1,2,5.課時(shí)小結(jié)本節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了公理3的三個(gè)推論,這三個(gè)推論連同公理3都是確定平面的條件