導(dǎo)數(shù)與微分的matlab求解

1、第7章 導(dǎo)數(shù)與微分的MATLAB求解編者 Outlinen7.1 7.1 導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念n7.2 7.2 導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)的MATLABMATLAB符號符號求解求解n7.3 7.3 函數(shù)的微分函數(shù)的微分n7.4 7.4 微分微分中值定理中值定理n7.5 7.5 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則n7.6 7.6 泰勒公式泰勒公式n7.7 7.7 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性性n7.8 7.8 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值n7.9 7.9 曲線的曲線的漸近線漸近線n7.10 7.10 曲率曲率n7.11 7.11 方程的近似解方程的近似解n7.12 7.12 導(dǎo)數(shù)的數(shù)值求解導(dǎo)數(shù)的數(shù)值求解

2、7.1 導(dǎo)數(shù)概念1.1.導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 在 處取得增量 （假設(shè)點(diǎn) 仍在該鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)的函數(shù)取得增量 ；如果 與 之比當(dāng) 時的極限存在，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)，記為 ，即也可記作 或 。 將上面導(dǎo)數(shù)的定義式中的 換為 即可得到導(dǎo)函數(shù)的定義式 根據(jù)函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) 的定義，導(dǎo)數(shù)是一個極限，而極限存在的充分必要條件是左、右極限都存在且相等，因此 存在即 在點(diǎn) 處可導(dǎo)的充分必要條件是左、右極限 及 都存在且相等。這兩個極限分別稱為函數(shù) 在點(diǎn) 處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，記作 及 ，即 現(xiàn)在可以說，函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)的

3、充分必要條件是左導(dǎo)數(shù) 和右導(dǎo)數(shù) 都存在且相等。2.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) 在幾何上表示曲線 在點(diǎn) 處的切線的斜率，即 其中 是切線的傾角。 如果函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)為無窮大，這時曲線 的割線以垂直于 軸的直線 為極限位置，即曲線 在點(diǎn) 處具有垂直于 軸的切線 。7.2 導(dǎo)數(shù)的MATLAB符號求解1.1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) MATLAB符號工具箱中提供了函數(shù)diff來求取一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及高階導(dǎo)數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用格式如下：D=diff(fx,x,n)運(yùn)行結(jié)果如圖所示。 圖 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的圖形直觀表示2.2.隱函數(shù)隱函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 方程 表示一個函

4、數(shù)，因為當(dāng)自變量 在 內(nèi)取值時，變量 有確定的值與之對應(yīng)。例如，當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ，等等，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)。 一般的，如果變量 和 滿足一個方程 ，在一定條件下，當(dāng) 取某區(qū)間內(nèi)的任一值時，相應(yīng)的總有滿足這方程的唯一的 值存在，那么就說方程 在該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱函數(shù)。 隱函數(shù)求導(dǎo)的一般采用如下步驟：n方程兩邊同時對 求導(dǎo)，這里應(yīng)注意 ；n整理求得 的表達(dá)式，即為隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3.3.由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 若已知參數(shù)方程 ，則 可以由如下遞推公式求出：7.3 函數(shù)的微分1 1微分微分的的定義定義 設(shè)函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)有定義， 及 在該區(qū)間內(nèi)，如果增量可表

5、示為 其中 是不依賴于 的常數(shù)，那么稱函數(shù) 在點(diǎn) 是可微的，而 叫做函數(shù) 在點(diǎn) 相應(yīng)于自變量增量 的微分，記作 ，即 下面討論函數(shù)可微的條件。設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 可微，則由 兩邊同時除以 ，得 于是，當(dāng) 時，由上式就可得到 因此，如果函數(shù) 在點(diǎn) 可微，則 在點(diǎn) 也一定可導(dǎo)（即 存在），且 反之，如果 在點(diǎn) 可導(dǎo)，即 存在，根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系，上式可寫成 其中 ，由此又有 因 ，且 不依賴于 ，故 所以函數(shù) 在點(diǎn) 也是可微的。 通常把自變量 的增量 稱為自變量的微分，記作 ，即 。于是，函數(shù) 的微分又可記作 從而有 ，這就是說，函數(shù)的微分 與自變量的微分 之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做“微

6、商”。2.2.微分的幾何微分的幾何意義意義 在直角坐標(biāo)系中，函數(shù) 的圖形是一條曲線。對于某一固定的 值，曲線上有一個確定點(diǎn) ，當(dāng)自變量 有微小增量 時，就得到曲線上另一點(diǎn) ，由圖可知： 過點(diǎn) 作曲線的切線 ，它的傾角為 ，則 即 。 微分的幾何意義7.4 微分中值定理1.1. 羅爾定理羅爾定理 為更好地理解羅爾定理，先介紹費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域 內(nèi)有定義，并且在 處可導(dǎo)，如果對任意的 ，有那么 。 介紹羅爾定理，如果函數(shù) 滿足：n在閉區(qū)間 上連續(xù)；n在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)；n在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即 。那么在 內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得 。羅爾定理的直觀演示如圖所示。 圖 羅爾定理圖形直觀表

7、示 2.2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 羅爾定理中 這個條件是相當(dāng)特殊的，它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制。如果把 這個條件取消，但仍保留其余兩個條件，并相應(yīng)的改變結(jié)論，那么就得到微分學(xué)中十分重要的拉格朗日中值定理。 如果函數(shù) 滿足：n在閉區(qū)間 上連續(xù)；n在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)；那么在 內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得 成立。 關(guān)于拉格朗日中值定理的證明此處從略，這里僅介紹該定理的幾何意義，如圖所示。由于上式可以改寫為且 為弦 的斜率，而 為曲線在點(diǎn) 處的切線的斜率。因此拉格朗日中值定理的幾何意義是：如果連續(xù)曲線 的弧 上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于 軸的切線，那么該弧上至少有一點(diǎn) ，使曲線在 點(diǎn)處的切線平行于弦

8、。而且易知，羅爾定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情形。 拉格朗日中值定理圖形直觀表示( , )a b( , )a b3.柯西中值定理柯西中值定理 前面已經(jīng)指出，如果連續(xù)曲線弧 上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線，那么這段弧上至少有一點(diǎn) ，使曲線在點(diǎn) 處的切線平行于弦 。設(shè) 由參數(shù)方程表示，如圖所示。其中 為參數(shù)，那么曲線上點(diǎn) 處的切線的斜率為弦 的斜率為 假定點(diǎn) 對應(yīng)于參數(shù) ，那么曲線上點(diǎn) 處的切線平行于弦 ，可表示為 柯西中值定理圖形直觀表示7.5 洛必達(dá)法則 1. 1. 型洛必達(dá)法則型洛必達(dá)法則如果當(dāng) 時，兩個函數(shù) 與 都區(qū)域零或趨于無窮大，那么極限可能存在，也可能不存在。通常把這種極限

9、叫做未定式，并分別簡記為 或 。關(guān)于未定式極限我們通常使用洛必達(dá)法（LHospital）則求解，本小節(jié)先介紹 和 時的 型未定式的求解方法。這里不加證明的給出如下兩個定理：n設(shè)函數(shù) 與 滿足：n當(dāng) 時，函數(shù) 與 都趨于無窮大；n在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)， 與 都存在且 ；n 存在（或為無窮大），n那么2.2. 型洛必達(dá)法則型洛必達(dá)法則 下面我們著重介紹 型的洛必達(dá)法則，事實(shí)上，這種形式的洛必達(dá)法則在實(shí)際中用的 較多，而且 型也可以由 型變換得到，關(guān)于該種類型的洛必達(dá)法則同樣有以下兩個定理： 設(shè)函數(shù) 與 滿足：n當(dāng) 時，函數(shù) 與 都趨于零；n在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)， 與 都存在且 ；n 存在（或為無窮

10、大），n那么7.6 泰勒公式 泰勒（Taylor）中值定理：如果函數(shù) 在含有 的某個開區(qū)間 內(nèi)具有直到 階的導(dǎo)數(shù)，則對任一 ，有 其中這里 是 與 之間的某個值。 多項式 稱為函數(shù) 按 的冪展開的 次泰勒多項式，上述公式稱為 按 的冪展開的帶有拉格朗日型余項的 階泰勒公式，而 稱為拉格朗日型余項。7.7 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性1 1函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，在 上任取兩點(diǎn) ，應(yīng)用拉格朗日中值定理，得到由于 ，因此，如果在 內(nèi)導(dǎo)數(shù) 保持正號，即 ，那么也有 。于是 即表明函數(shù) 在 上單調(diào)增加。同理，如果在 內(nèi)導(dǎo)數(shù) 保持負(fù)號，即 ，那么也有 。于是

11、，即 ，表明函數(shù) 在 上單調(diào)減少。 歸納以上討論，即得以下定理：設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，n如果在 內(nèi) ，那么函數(shù) 在 上單調(diào)增加；n如果在 內(nèi) ，那么函數(shù) 在 上單調(diào)減少。2.2.曲線的凹凸性與曲線的凹凸性與拐點(diǎn)拐點(diǎn) 我們從幾何上可以看到，在有的曲線弧上，如果任取兩點(diǎn)，則聯(lián)結(jié)這兩點(diǎn)間的弦總位于這兩點(diǎn)間的弧段的上方，而有的曲線弧，則正好相反。曲線的這種性質(zhì)就是曲線的凹凸性。因此曲線的凹凸性可以用聯(lián)結(jié)曲線弧上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線弧上相應(yīng)點(diǎn)（即具有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)）的位置關(guān)系來描述，下面給出曲線凹凸性的定義。 設(shè) 在區(qū)間 上連續(xù)，如果對 上任意兩點(diǎn) ，恒有那么稱 在 上的圖形是（向上）凹的

12、（或凹?。?；如果恒有那么稱 在 上的圖形是（向上）凸的（或凸?。?如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號來判定曲線的凹凸性，這就是下面的曲線凹凸性的判定定理。這里僅就 為閉區(qū)間的情形來敘述曲線凹凸性的判定定理，當(dāng) 不是閉區(qū)間時，定理類同。 設(shè) 在區(qū)間 上連續(xù)，在 內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么n若在 內(nèi) ，則 在 上的圖形是凹的；n若在 內(nèi) ，則 在 上的圖形是凸的。 一般的，設(shè) 在區(qū)間 上連續(xù)， 是 的內(nèi)點(diǎn)，如果曲線 在經(jīng)過點(diǎn) 時，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點(diǎn) 為曲線的拐點(diǎn)。7.8 函數(shù)的極值與最值1.1.函數(shù)的極值及其求函數(shù)的極值及其求法法 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域 內(nèi)

13、有定義，如果對于去心鄰域 內(nèi)的任一 ，有那么就稱 是函數(shù) 的一個極大值（或極小值）。 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。下面給出可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件：必要條件：必要條件：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，且在 處取得極值，那么 。第一充分條件：第一充分條件：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，且在 的某去心鄰域 內(nèi)可導(dǎo)，若 時， ，而在 時， ，則 在點(diǎn) 處取得極大值；若 時， ，而在 時， ，則 在點(diǎn) 處取得極小值；若 時， 的符號保持不變，則 在 處沒有極值。 第二充分條件：第二充分條件：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處具有二階導(dǎo)數(shù)，且 ， ，那么當(dāng) 時，函數(shù) 在 處取得極大值；當(dāng)

14、 時，函數(shù) 在 處取得極小值。2.2.最大值最小值最大值最小值問題問題 在求函數(shù)的最大值（或最小值）時，特別值得指出的是下述情： 在一個區(qū)間（有限或無限、開或閉）內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點(diǎn)，并且這個駐點(diǎn) 是函數(shù) 的極值點(diǎn)，那么，當(dāng) 是極大值時， 就是 在該區(qū)間上的最大值；當(dāng) 是極小值時， 就是 在該區(qū)間上的最小值。7.9 曲線的漸近線 如果存在直線 ，使得當(dāng) 時，曲線 上的動點(diǎn) 到直線 的距離 ，則稱 為曲線 的漸近線。 漸近線通常有以下三種：n水平漸近線：如果函數(shù) 的定義域是無限區(qū)間，且 ，其中 為常數(shù)，則直線 為曲線 的水平漸近線；n垂直漸近線：如果存在常數(shù) ，使得 ，則稱直線 為曲線 的垂直漸

15、近線；n斜漸近線：如果 成立，則稱 是曲線 的斜漸近線，可以證明： 7.10 曲率1.1.弧弧微分微分 函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。在曲線 上取固定點(diǎn) 作為度量弧長的基點(diǎn)（如圖所示），并規(guī)定依 增大的方向作為曲線的正向。對曲線上任一點(diǎn) ，規(guī)定有向弧段 的值 （簡稱為弧 ）如下： 的絕對值等于這弧段的長度，當(dāng)有向弧段 的方向與曲線的正向一致時 ，相反時 。顯然，弧 與 存在函數(shù)關(guān)系 ，而且 為 的單調(diào)增加函數(shù)。而且我們可以求得 這就是弧微分公式。 圖 弧微分求解示意圖2.2.曲率及其計算曲率及其計算公式公式 在實(shí)際中，我們通常使用曲率來描述曲線的彎曲程度。 設(shè)曲線 是光滑的，在曲線 上選定一點(diǎn)

16、 作為度量弧 的基點(diǎn)。設(shè)曲線上點(diǎn) 對應(yīng)于弧 ，在點(diǎn) 處切線的傾角為 （這里假定曲線 所在的平面上已設(shè)定了 坐標(biāo)系），曲線上另外一點(diǎn) 對應(yīng)于弧 ，在點(diǎn) 處切線的傾角為 ，如圖所示，那么，弧段 的長度為 ，當(dāng)動點(diǎn)從 移動到 時切線轉(zhuǎn)過的角度為 。 我們用比值 ，即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達(dá)弧段 的平均彎曲程度，把該比值叫做弧段 的平均曲率，并記作 ，即 當(dāng) 時（即 時），上述平均曲率的極限叫做曲線 在點(diǎn) 處的曲率，記作 ，即 曲率推導(dǎo)示意圖 對于直線來說，切線與直線本身重合，當(dāng)點(diǎn)沿直線移動時，切線的傾角 不變， ，從而 。這就是說，直線上任意點(diǎn) 處的曲率都等于零，這與我 們直覺認(rèn)識到的“

17、直線不彎曲”一致。 對于半徑為 的圓，其上點(diǎn) 、 處的切線所夾的角 等于中心角 （ 為圓心），又 ，于是 從而 ，即圓上各點(diǎn)處的曲率都等于半徑 的倒數(shù) ，這就是說，圓的彎曲程度到處一樣，且半徑越小曲率越大，即圓彎曲得越厲害。 下面不加證明地給出曲線 上任意點(diǎn)的實(shí)際計算曲率的公式，如下：若曲線由參數(shù)方程給出，則可利用參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法，求出 及 ，代入曲率公式有3222( )( )( )( )( )( )ttttKtt3.3.曲率圓與曲率圓與曲率半徑曲率半徑 設(shè)曲線 在點(diǎn) 處的曲率為 ，在點(diǎn) 處的曲線的法線上，在凹的一側(cè)取一點(diǎn) ，使 ，以 為圓心， 為半徑作圓，如圖1所示，這個圓叫做曲

18、線在點(diǎn) 處的曲率圓，曲率圓的圓心 叫做曲線在點(diǎn) 處的曲率中心，曲率圓的半徑 叫做曲線在點(diǎn) 處的曲率半徑。 圖1 曲率圓示意圖 設(shè)已知曲線的方程是 ，且其二階導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) 不為零，則曲線在對應(yīng)點(diǎn) 的曲率中心 的的坐標(biāo)為 當(dāng)點(diǎn) 沿曲線 移動時，相應(yīng)的曲率中心 的軌跡曲線 稱為曲線 的漸屈線，而曲線 稱為曲線 的漸伸線，如圖2所示。所以曲線 的漸屈線的參數(shù)方程為 其中 ， 為參數(shù)，直角坐標(biāo)系 與 坐標(biāo)系重合。 圖2 曲線的漸屈線示意圖7.11 方程的近似解1.1.隔根區(qū)隔根區(qū)間間 在用近似方法求方程的根時，需要知道方程的根所在的區(qū)間。如果在區(qū)間 內(nèi)只有函數(shù) 的一個零點(diǎn)，則稱區(qū)間 為方程 的一個隔根區(qū)間

19、。通常我們可以用逐步掃描法來尋找方程 的隔根區(qū)間。逐步掃描法的一般執(zhí)行流程如圖所示。 圖 隔根區(qū)間的搜索流程2.二分法及其二分法及其MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) 在求方程近似根的所有方法中，二分法是非線性方程求解最直觀、最簡單的方法。它是通過將非線性方程 的零點(diǎn)所在小區(qū)間逐次收縮一半，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近函數(shù)的零點(diǎn)，以求得函數(shù)零點(diǎn)的近似值的方法。二分法是以連續(xù)函數(shù)的介值定理為基礎(chǔ)建立的。由介值定理可知，若函數(shù) 在 上連續(xù)且 ，在方程 在 上必有一根 。 為敘述方便，記 ，用中點(diǎn) 將區(qū)間 分成2個小區(qū)間 和 ，計算 。若 ，則 就是方程的解；否則， 與 有且僅有一式成立，若 ，令 ， ；若 ，則令 。于是有 ，因此 為新的有根區(qū)間且 的長度為 長度的一半，對新的區(qū)間執(zhí)行相同的操作可以得到一系列有根區(qū)間 圖1給出了二分法的幾何意義。 圖1 二分法幾何意義 由圖1可知，二分法每一步執(zhí)行的操作就是將有根區(qū)間一分為二，直至所求得的根達(dá)到所要求的精度為止，其執(zhí)行流程如圖2所示。 圖2 二分法執(zhí)行流程3.3. 牛頓牛頓法及其法及其MATLABMATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) 對于方程 ，如果 是線性函數(shù)，那么它的求根是容易的。牛頓法實(shí)質(zhì)上就