周期信號(hào)的魔術(shù)師

1、週期信號(hào)的魔術(shù)師（傅立葉級(jí)數(shù)淺談）林容杉國(guó)立暨南國(guó)際大學(xué)電機(jī)系.tw在我們的日常生活中，常常會(huì)利用到各式各樣不同種類的信號(hào)，來(lái)傳遞許多我們所需要的資料與訊息，譬如說(shuō)最常接觸到的有線電話、電視與電腦網(wǎng)路，或者是無(wú)線手機(jī)、廣播與衛(wèi)星通訊等，在在都是俯手可及的例子。通常為了瞭解信號(hào)間的差異性，我們會(huì)把信號(hào)約略粗分為週期性（periodic）和非週期性（aperiodic）兩大類。不論是在數(shù)學(xué)裏介紹到週期函數(shù)，或者是在通訊中提及到週期信號(hào)，就不能不談到傅立葉級(jí)數(shù)（Fourier series）在其中所扮演的重要角色。在介紹傅立葉級(jí)數(shù)之前，讓我們先來(lái)看看什麼是週

2、期信號(hào)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，假如某個(gè)信號(hào)在重覆的每一個(gè)固定時(shí)段內(nèi)，它的信號(hào)形式也會(huì)跟著重覆出現(xiàn)，那麼這個(gè)信號(hào)就叫做週期信號(hào)，而這個(gè)固定時(shí)段就稱為是此信號(hào)的週期（period）。如果是用數(shù)學(xué)式子來(lái)表示，對(duì)於所有的時(shí)間而言，週期信號(hào)就必須符合以下的關(guān)係式l ，此處的是指信號(hào)的週期（）。舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)，我們常見(jiàn)的三角函數(shù)信號(hào)（正弦函數(shù)）和（餘弦函數(shù)），就皆是為週期的週期信號(hào)。十九世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉（Jean Baptiste Joseph Fourier）在研究熱傳導(dǎo)及擴(kuò)散（heat propagation & diffusion）的物理現(xiàn)象時(shí)，發(fā)現(xiàn)在物體上的溫度分佈能夠以簡(jiǎn)諧相關(guān)的正弦波級(jí)數(shù)（se

3、ries of harmonically related sinusoids）來(lái)有效表示。由於這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，他歸納出一個(gè)十分重要的結(jié)論：任何週期信號(hào)都可以被表示成以適當(dāng)數(shù)量的不同頻率及振幅的正弦與餘弦函數(shù)信號(hào)的相加組合，而這也就是所謂的傅立葉級(jí)數(shù)定理。這個(gè)定理不僅可以解答有關(guān)振盪（vibration）和熱擴(kuò)散的物理現(xiàn)象，許多在科學(xué)及工程上與正弦函數(shù)信號(hào)相關(guān)問(wèn)題的研究，也因?yàn)檫@個(gè)定理而得到相當(dāng)大的助益，例如描述行星的運(yùn)動(dòng)、地球氣候週期性的變化與交流電源所產(chǎn)生的電壓或電流等。可是傅立葉級(jí)數(shù)定理的正式發(fā)表並十分不順利，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的另一位數(shù)學(xué)大師拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）並不贊同

4、這樣的觀點(diǎn)。拉格朗日認(rèn)為三角函數(shù)級(jí)數(shù)（trigonometric series）只是可以用來(lái)表示某些部份的週期信號(hào)，可是並非適用於任意的週期信號(hào)，尤其他堅(jiān)信在波形上帶有轉(zhuǎn)角的信號(hào)（例如方波信號(hào)）是根本不可能用三角函數(shù)級(jí)數(shù)來(lái)表示，於是傅立葉的論文在當(dāng)時(shí)是被拒絕而無(wú)法發(fā)表的。一直要到西元1822年，傅立葉級(jí)數(shù)定理才在“The Analytical Theory of Heat”這本書(shū)中正式出現(xiàn)，這距離傅立葉第一次發(fā)表他對(duì)於週期信號(hào)的論點(diǎn)已相距了15年，可見(jiàn)得真金是不怕火鍊的。以下我們就來(lái)討論一個(gè)週期性的方波信號(hào)（圖一），看看傅立葉級(jí)數(shù)可以變出什麼魔術(shù)，來(lái)完來(lái)這個(gè)拉格朗日認(rèn)為不可能的任務(wù)。傅立葉級(jí)數(shù)

5、告訴我們?nèi)我獾倪L期信號(hào)可以用以下的數(shù)學(xué)式子來(lái)表示, 其中和被稱為傅立葉係數(shù)（Fourier coefficient），也就是相關(guān)的餘弦與正弦函數(shù)信號(hào)的振幅，而非負(fù)的整數(shù)是看需要選多少個(gè)弦波信號(hào)來(lái)做相加，當(dāng)然可能是一個(gè)非常大的數(shù)，這要看各個(gè)週期信號(hào)的實(shí)際需要。（圖二）所展現(xiàn)的是以傅立葉級(jí)數(shù)合成方波信號(hào)的過(guò)程，其中傅立葉級(jí)數(shù)的合成波形會(huì)隨著的增加而最終與（圖一）的方波信號(hào)變成一致，看來(lái)這位週期信號(hào)的魔術(shù)師的確真是有兩把刷子。 談到這裏，可能會(huì)有人立即聯(lián)想到那麼非週期信號(hào)怎麼辦呢？這就得要靠傅立葉級(jí)數(shù)的孿生兄弟傅立葉轉(zhuǎn)換（Fourier transform）來(lái)幫忙了，此時(shí)將必須涉及到分別在時(shí)域（ti

6、me domain）及頻域（frequency domain）來(lái)表達(dá)同一個(gè)信號(hào)的概念。傅立葉轉(zhuǎn)換可說(shuō)是傅立葉的另一偉大貢獻(xiàn)，以後若有機(jī)會(huì)，再跟大家介紹。（附註此信號(hào)圖形由暨南大學(xué)電機(jī)系二年級(jí)學(xué)生吳俊輝所提供。）參考資料1 Oppenheim, A. V., Willsky, A. S. and Nawab, S. H. (1997). Signals & Systems, 2nd ed. (International ed.) Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall Inc.2 Kamen, E. W. and Heck, B. S. (1997). Fundamentals of Signals and Systems Using MATLAB. (International ed.) Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall Inc.3 http:/forum