2002 a題材車燈線光源的優(yōu)化設計師參考答案

1、膅薈蚄膅芇蒁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蟻衿芄蒈薇袈莆蚃袆袇肆蒆袂袆羋螂螈裊莀薄蚄襖蒃莇羂袃膂薃袈袃芅莆螄羂莇薁蝕羈肇莄薆羀腿蕿羅罿莁莂袁羈蒄蚈螇羇膃蒀蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袇肅肇蚄螃肄膀蕆蠆肅節(jié)螞薅肂蒄蒅羄肁膄莈袀肁芆薄螆肀荿莆螞聿肈薂薈膈膁蒞袇膇芃薀螃膆蒞莃蝿膅膅薈蚄膅芇蒁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蟻衿芄蒈薇袈莆蚃袆袇肆蒆袂袆羋螂螈裊莀薄蚄襖蒃莇羂袃膂薃袈袃芅莆螄羂莇薁蝕羈肇莄薆羀腿蕿羅罿莁莂袁羈蒄蚈螇羇膃蒀蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袇肅肇蚄螃肄膀蕆蠆肅節(jié)螞薅肂蒄蒅羄肁膄莈袀肁芆薄螆肀荿莆螞聿肈薂薈膈膁蒞袇膇芃薀螃膆蒞莃蝿膅膅薈蚄膅芇蒁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蟻衿芄蒈薇袈莆蚃袆袇肆蒆袂袆羋螂螈裊莀薄蚄襖蒃莇羂袃

2、膂薃袈袃芅莆螄羂莇薁蝕羈肇莄薆羀腿蕿羅罿莁莂袁羈蒄蚈螇羇膃蒀蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袇肅肇蚄螃肄膀蕆蠆肅節(jié)螞薅肂蒄蒅羄肁膄莈袀肁芆薄螆肀荿莆螞聿肈薂薈膈膁蒞袇膇芃薀螃膆蒞莃蝿膅膅薈蚄膅芇蒁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蟻衿芄蒈薇袈莆蚃袆袇肆蒆袂袆羋螂螈 螅螃肈蒅蒅羈羄肂薇螁袀肁蠆羇腿膀荿蝿肅腿蒁羅羈膈薄螈袇膇螆薀芅膇蒆袆膁膆薈蠆肇膅蝕襖羃膄莀蚇衿芃蒂袃膈節(jié)薄蚅肄芁蚇袁肀芁蒆蚄羆芀蕿罿袂艿蟻螂膁羋莁羇肇芇蒃螀羃莆薅羆衿莆蚈蝿膇蒞莇薁膃莄薀螇聿莃螞蝕羅莂莂裊袁莁蒄蚈膀莀薆袃肆蒀蚈蚆羂葿莈袂袈蒈蒀蚄芆蕆蚃羀膂蒆螅螃肈蒅蒅羈羄肂薇螁袀肁蠆羇腿膀荿蝿肅腿蒁羅羈膈薄螈袇膇螆薀芅膇蒆袆膁膆薈蠆肇膅蝕襖羃膄莀蚇衿芃蒂袃膈節(jié)

3、薄蚅肄芁蚇袁肀芁蒆蚄羆芀蕿罿袂艿蟻螂膁羋莁羇肇芇蒃螀羃莆薅羆衿莆蚈蝿膇蒞莇薁膃莄薀螇聿莃螞蝕羅莂莂裊袁莁蒄蚈膀莀薆袃肆蒀蚈蚆羂葿莈袂袈蒈蒀蚄芆蕆蚃羀膂蒆螅螃肈蒅蒅羈羄肂薇螁袀肁蠆羇腿膀荿蝿肅腿蒁羅羈膈薄螈袇膇螆薀芅膇蒆袆膁膆薈蠆肇膅蝕襖羃膄莀蚇衿芃蒂袃膈節(jié)薄蚅肄芁蚇袁肀芁蒆蚄羆芀蕿罿袂艿蟻螂膁羋莁羇肇芇蒃螀羃莆薅羆衿莆蚈蝿膇蒞莇薁膃莄薀螇聿莃螞蝕羅莂莂裊袁莁蒄蚈膀莀薆袃肆蒀蚈蚆羂葿莈袂袈蒈蒀蚄芆蕆蚃羀膂蒆螅螃肈蒅蒅羈羄肂薇螁袀肁蠆羇腿膀荿蝿肅腿蒁羅羈膈薄螈袇膇螆薀芅膇蒆袆膁 2002高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽A題 車燈線光源的優(yōu)化設計 參考答案注意：以下答案是命題人給出的，僅供參考。各評閱

4、組應根據(jù)對題目的理解及學生的解答，自主地進行評閱。一. 假設和簡化 (略)二. 模型的建立 建立坐標系如下圖，記線光源長度為l ，功率為W，B,C點的光強度分別為W和W，先求和的表達式，再建立整個問題的數(shù)學模型.以下均以毫米為單位，由所給信息不難求出車燈反射面方程為，焦點坐標為（0,0,15）。1) 位于點P(0,w,15)的單位能量的點光源反射到點C(0, 2600, 25015)的能量PQbACB0cazyx設反射點的坐標為Q.記入射向量為,該點反射面外法線方向為,不難得到反射向量滿足 記,由從而得的表達式 注意到反射光通過C點,應有 其中為常數(shù). 從上述第一式可解得或.由此得反射點坐標滿

5、足以下兩組方程: 通過計算可知,存在,當時第一組方程不存在滿足的實根,即無反射點. 而當時,有兩個反射點. 而第二組方程僅當時存在滿足的一對實根,即有兩個反射點記為. 若反射點的坐標為,則位于點的單位能量點光源經點反射到C點的能量密度(單位面積的能量, 正比于光強度)為 其中而為反射向量與z軸的夾角, 2)的表達式 長的具有單位能量的線光源位于點的長的微小線光源段反射到C點的能量密度為 其中 長的具有單位能量的線光源反射到C點的能量密度為 類似可得的表達式.相應的反射點方程為相應的而第二組方程的有兩個反射點的范圍為3） 優(yōu)化設計的數(shù)學模型 設線光源的功率為W, 則它反射到B點和C點的能量密度分

6、別為和.問題的數(shù)學模型為: 三. 模型的求解可以用數(shù)值積分求得. 應具備下列性質：其中為起亮值，為最大值點，為考察的最大范圍，例如取為20mm。也有類似的性質，且起亮值和最大值點均相應地右移.數(shù)值求解,記其解為,再求出,不難看出且落在之中。 令現(xiàn)證為問題之最優(yōu)值。事實上，對可行域中任一，當有（用到時）。當，有，（用到時）。這就證明了的確是最小值。 事實上數(shù)值結果為. 四. 反射光亮區(qū)的計算 分別將線光源和車燈反射面離散化為點光源和面元的集合，計算每一點光源關于每一車燈反射面元的反射光線，判斷其是否與車燈反射面相交，若相交，一次反射光不能到達測試屏，否則求出該反射光線與反射屏平面的交點，即為反射

7、亮點。所有這些亮點的集合即為反射光亮區(qū)。亮區(qū)的上半部分由下圖所示(橫坐標為x軸，縱坐標為y軸，單位為mm),下半部分與上半部分是關于x軸對稱的. 五. 注記(1) 計算的另一方法是建立問題的數(shù)值模型用數(shù)值模擬的方法加以解決.具體的做法是: 在得到反射光線和反射到測試屏上能量的數(shù)學模型后, 分別將線光源和車燈反射面離散化為點光源和面元的集合，在測試屏B(或C)點附近取一微小面元.計算每一點光源關于每一車燈反射面元的反射光線，將所有能到達該面元的反射光線的反射能量迭加起來,除以面元的面積即為B(或C)點的反射能量密度.但用這樣的方法必須十分注意結果的檢驗,注意計算精度(必須考察線光源和反射面的剖分

8、密度和測試屏B(或C)點附近小面元的取法等).(2) 以上參考答案中沒有考慮線光源本身對反射光線的遮擋問題，即假設線光源是透明的。如果假設線光源是不透明的，似乎更符合現(xiàn)實。此時需要考慮線光源本身對反射光線的遮擋，計算會更復雜些，計算結果也會有所不同。 薈羈肁蒀薈肅芇莆薇螂肀節(jié)蚆裊芅薁蚅羇肈蕆蚄腿芃蒃蚃衿膆荿螞羈莂芅螞肄膅薃蟻螃莀葿蝕袆膃蒞蝿羈莈芁螈肀膁薀螇螀羄薆螆羂艿蒂螆肅肂莈螅螄羋芄螄袇肁薂袃罿芆蒈袂肁聿莄袁螁芄芀袀羃肇蠆袀肅莃薅衿膈膅蒁袈袇莁莇蒄羀膄芃蒄肂荿薂薃螂膂蒈薂襖莇莄薁肆膀荿薀腿肅蚈蕿袈艿薄薈羈肁蒀薈肅芇莆薇螂肀節(jié)蚆裊芅薁蚅羇肈蕆蚄腿芃蒃蚃衿膆荿螞羈莂芅螞肄膅薃蟻螃莀葿蝕袆膃蒞蝿羈

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