1.6微積分基本定理第2課時

1、1.6.2微積分基本定理【學(xué)情分析】：在上一節(jié)教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了微積分基本定理，并且初步學(xué)會使用微積分基本定 理進(jìn)行求定積分的計算.本節(jié)需要在上一節(jié)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步理解定積分的幾何意義，以 及利用幾何意義求幾何圖形的面積.學(xué)生在學(xué)習(xí)了幾種初等函數(shù)，必然會設(shè)法計算它們的 一些定積分.另 外學(xué)生在之前還學(xué)習(xí)一些具有特殊函數(shù)性質(zhì)(奇偶性)的函數(shù)，這些函數(shù) 也是可以作為研究的對象.【教學(xué)目標(biāo)】：(1)知識與技能：進(jìn)一步熟悉運用基本定理求定積分；增強(qiáng)函數(shù)知識的橫向聯(lián)系；(2)過程與方法：理解定積分的值與曲邊梯形面積之間的關(guān)系；(3)情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生的探究精神與創(chuàng)新思想?！窘虒W(xué)重點】：(1)

2、運用基本定理求定積分(2)定積分的值與曲邊梯形面積之間的關(guān)系【教學(xué)難點】：(1)求函數(shù)f (x)的一個原函數(shù)F (x)(2)理解定積分的值與曲邊梯形面積之間的關(guān)系【教學(xué)突破點】：合理利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求原函數(shù)F (x)【教學(xué)過程設(shè)計】：教學(xué)環(huán)教學(xué)活動設(shè)計意圖一、提 出 問題師：上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)微積分基本定理(投影微積 分基本定理)，并且使用微積分基本定理計算了一些 簡單的定積分.下面我們看看試試計算這些定積分， 看看你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？生：計算，討論.例題1:計算下列定積分：，一.,_、.1(1) 12 (2cosx+sin x1)dx ; (2) J dx0'2 x解：(1)

3、-.1 (2sin x -cosx-x)' =2cos+sinx -12J原工I = 2sin x cos x xL 3 102(2) x<0 時，(ln|x| )二1x原式=(ln |x|，二=ln |-11 -In |-2| - In 2師(總結(jié))：運用微積分基本定理求定積分的關(guān)鍵是 求出滿足F '(x) =f (x)的函數(shù)F(x).(課本P60 )例題2:計算下列定積分：r2nr2n(1) s sin xdx; (2) s sinxdx； (3) s sinxdx %J0解:(cosx)' =sin x sin xdx =(-cosx)|0I =(-cosH

4、) -(-cos0) =2，溫故而知新(2)題主要是學(xué)生容易忽 視定義域，誤為ln x| ： = ln(-1)-ln(-2)導(dǎo)致無法計算.= (_cos2n) -(-cosu) =-2 ，22 二_ sinxdx =(-cosx) _22 -)sinxdx =(cosx) 0 = (-cos2二)一(-cos0) =0探 索 新 知2 2 生：(可能會回答)s s sin xdx = f sin xdx 十1sin xdx 700師： 這是一個定積分的性質(zhì)bcba f (x)dx = £ f (x)dx + f (x)dx (其中 a <c <b ) .師：試試?yán)们吿?/p>

5、形的面積表述所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.教師利用函數(shù)圖 生歸納引導(dǎo)學(xué)生：定積分的值可以是正值、負(fù)值或0.生：(書本P60) (1)當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方 時，定積分的值為正值，等于曲邊梯形的面積；(2)當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時，定積分的值給出一般結(jié)論為負(fù)值，等于曲邊梯形的面積的相反數(shù).師：根據(jù)你們的結(jié)論，我們可以進(jìn)一步補(bǔ)充課本P51頁 的 定 積 分 的 幾 何 意 義 ：著重說明定積分的值與曲 邊梯形面積之間的關(guān)系： 令位于x軸上方的曲邊梯 形的面積取正值，位于x 軸下方的曲邊梯形的面積 取負(fù)值，這樣定積分的值 就是曲邊梯形面積的代數(shù) 和b一般情況下(如下圖)，定積分 f (x)dx的幾何意義

6、是 a介于x軸、函數(shù)f (x)的圖象以及直線x = a,x =b之間各 部分面積的代數(shù)和，在x軸上方的面積取正號；在x 軸下方的面積取負(fù)號.師：如果f (x)在區(qū)間b,b 上恒為正，則定積分bba f (x)dx>0，為面積值；但是a f (x)dx >0 ,不能推出f (x)在區(qū)間ia,b 上恒為正.師：由上圖我們還可以等出一個結(jié)論：若f (x)在區(qū)間b,b 上不是恒為非負(fù)的，則函數(shù)與x軸b以及直線x =a,x =b所圍的圖形的面積為jjf(x)dx.例如上圖中，bcdb f (x)dx = a f (x)dx I - f (x) dx f (x)dx cdb=a f (x)dx

7、 - c f(x)dx d f(x)dx例題3：已知f (x)在La,a上連續(xù)，若f (x)是奇函數(shù)，a則f f(x)dx=_.并證明你的結(jié)論。 _a顯示出數(shù)形結(jié)合的威力復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的逆 運用附證明：(1) f(x)在 La, a】上連續(xù)，是奇函數(shù)，f(x)=-f(-x), x = L-a,a 設(shè) F'(x)=f(x),則有 F'(x) = f(x),F '(x) = f (x)=T(-x)=一F'(-x) =(-x)' F '(-x) - lF(-x) 1'F(x) =F(x) +C (C 為 常數(shù))令 x =0 ,則有 F(0)

8、 =F (0) +C , C =0F(x) =F(0) aa Lf(x)dx=F(x)| a =F(a)_F()=F(a)_F(a)=0 a a原式得證師：本題從幾何直觀上是非常容易理解的，但是要使 用微積分基本定理證明，關(guān)鍵是證明奇函數(shù)的原函數(shù) 是偶函數(shù)這個性質(zhì).容易誤為F(x)=F(-x)再次強(qiáng)調(diào)運用微積分基本 定理求定積分的關(guān)鍵是求 出原函數(shù)F( x)三：實 踐新 知aa練習(xí)：右f (x)是偶函數(shù)，則J a f (x)dx =2 0 f (x)dx .證明：f(x)在-a,a 上連續(xù)，是偶函數(shù)，f(x) =f(_x) , xw-a,a設(shè) F '(x) = f (x),則有 F &

9、#39;(_x) = f (x),F '(x) = f (x) = f (x) =F '(x) = -(x)' F( x) = I-F (-x)'F(x) =-F(e) +C ( C 為常數(shù))令 x=0,則有 F(0) =F(0)+C , .C=2F(0).a .一 一 ia一 一一 _一 一 一(f(x)dx=F(x)L =F(a) F(f) =2F(a) C2 0a f(x)dx=2F(x)|： =2F(a)F(0)=2F(a) C爪得證鞏固 新知練習(xí)：1. P62 習(xí)題 1.6 B 組第 1 題(1) (3)2. P62 習(xí)題 1.6 B 組第 2 題(1

10、) (3)總結(jié) 歸納定積分的幾何意義：b一般情況下，定積分f f (x)dx的幾何意義是介于x軸、 La函數(shù)f (x)的圖象以及直線x =a,x =b之間各部分面積 的代數(shù)和，在x軸上方的面積取正號；在x軸下方的 面積取負(fù)號.布置 作業(yè)1. P62 習(xí)題 1.6 B 組第 1 題(2) (4)2. P62 習(xí)題 1.6 B 組第 2 題(2) (4)3. P62習(xí)題1.6 B組第3題設(shè)計 反思對于例題3,在證明某些關(guān)鍵的地方要提示，也可以 采用老師講授的方法，再進(jìn)行模仿練習(xí)。如果實在困 難，略去嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明也未嘗不可。(基礎(chǔ)題)1 .j/sin x +cosx)dx 的值是()(A)0(B)

11、 ;(C)2(D)4答案：CJtTE解釋：2_.(sin x cosx)dx = -cosx sin x 2 .一 - 2刀-2''3 二2 .曲線y =cosx(0 <x <-)與坐標(biāo)軸所圍成的面積是()(A)2(B)3(C) 5(D)42答案：B3 二二37：解釋：S = j02 |cosxdx =cosxdx + J、(一cosx)dx2兀= sinx|(2sinx|3. =12 =33 . y =sinx(0 Ex M2g與x軸所圍成圖形的面積為 答案：42兀n2元解釋： sin xdx = ( sin xdx + s sin xdx也均吮=cosx：一(-

12、cosx) ；=42x 0 <x <124 .設(shè) f(x)=41，求f(x)dx。5 1 ：x 三 20解釋:212120 f (x)dx = 0 f (x)dx 1 f (x)dx = 0 2xdx 1 5dx =6(難題)225.求 j2maxx,x dx.- 2-x-2_x_0解釋：由圖形可知 f (x) =maxx,x2 = x 0 _x_1,2x 1MxM20 212 211T0 f(x)dx. 二原式 =J_2x dx + ( xdx + 1 x dx =. a -T6.設(shè)f(x)為R上以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明對任何實數(shù) a,有1f(x)dx =證明：f(x)為R上以T為周期的連續(xù)函數(shù) f (x T) =f (x),x 三 R設(shè) F'(x) =f(x),則有 F'(x+T) = f(x+T)F '(x) = f(x)= f (x T) =F '(x T) =