商不變的性質(zhì)

1、、問題提出隨著新課改的不斷深入，“新課堂”確實出現(xiàn)了無限生機(jī)雖然我還沒有執(zhí)教新 教材，也感到無比的欣慰。由于教學(xué)工作的關(guān)系，除了經(jīng)常到一、二年級聽新教 材的課外，我也經(jīng)常去聽使用老教材的課。我發(fā)現(xiàn)了其中的一些問題，使用老教 材的老師更多的還進(jìn)行著傳授式的教學(xué)，師問生答的封閉式教學(xué)模式仍然根深蒂 固。在這種模式里學(xué)習(xí)的學(xué)生基礎(chǔ)知識與技能掌握的比較扎實，但學(xué)生主動提問、探求創(chuàng)造的意識明顯不足，尤其到了高年級的學(xué)生，課堂上不愿主動舉手，不愿 合作交流，更危險的是學(xué)生喪失了探究的能力。 針對這種弊端，我們老師應(yīng)該及 時更新自己的教學(xué)理念，用新理念實踐我們的老教材，讓他們也能充滿學(xué)習(xí)的活 力，充滿探究的

2、欲望，充滿大膽猜想小心驗證的勇氣和精神。 在自己的教學(xué)實踐 中，我構(gòu)建了 “猜想一一驗證”探究學(xué)習(xí)策略教學(xué)模式，著重來培養(yǎng)學(xué)生提出問題、 解決問題的能力。兩年來，我認(rèn)真研究了省編教材，梳理出部分適合使用這種學(xué) 習(xí)策略的內(nèi)容，并積極實踐。以下就是我運(yùn)用“猜想一一驗證”探究學(xué)習(xí)策略教學(xué) 商不變性質(zhì)的案例和反思：二、案例描述（一）、創(chuàng)設(shè)情景提出猜想1、創(chuàng)設(shè)情景師：四（2）的老師請班長為同學(xué)們分本子，要求班長做到公平，先來了兩 位同學(xué)，老師拿了 6本本子分給這兩位同學(xué)。后來，又來了 4位同學(xué)，老師對 班長說“你動動腦筋，看著辦吧！”只見班長拿了 12本本子分給這4位同學(xué)，老 師和同學(xué)們會心地笑了。最后

3、，又來了 12位同學(xué)，你們替班長動動腦筋，一共 要拿幾本本子分才公平呢？師：你能用算式來表示這個分本子的過程嗎?生列式出:6 吃=312 詔=336 T2=3師：你發(fā)現(xiàn)這些除法算式有什么特點?生1:它們的商都是3。生2:但被除數(shù)和商都變了2、提出猜想師：在除法運(yùn)算中，憑你的經(jīng)驗，被除數(shù)和除數(shù)都變化時，你們認(rèn)為商會怎樣？生1:商可能會變，也可能不會變生2:商有可能變小，也有可能變大。師:今天這節(jié)課我們先來研究要使商不變，被除數(shù)和除數(shù)可能會怎么變化呢, 同學(xué)們可以根據(jù)自己的經(jīng)驗，在小組內(nèi)輕聲討論一下，再提出一個猜想問題。同組學(xué)生在隊長的帶領(lǐng)下，組織討論，分別列出了幾個猜想問題。猜想1 （第3、5組

4、）：要使商不變，我們認(rèn)為被除數(shù)和除數(shù)可能是增加 一個數(shù)，這是從剛才分本子的時候想到的。猜想2 （第1、4組）：要使商不變，我們認(rèn)為被除數(shù)和除數(shù)也有可能是減 少一個數(shù)。猜想3 （第6組）：要使商不變，我們認(rèn)為被除數(shù)和除數(shù)是擴(kuò)大幾倍。猜想4 （第8組）：要使商不變，被除數(shù)和除數(shù)也有可能是縮小幾倍，這也 可以從分本子的算式里，從后向前看，有這樣的變化猜想5 （第7組）：我們組也是，只是認(rèn)為被除數(shù)和除數(shù)擴(kuò)大或縮小一個相 同的數(shù)，商才不變。（二）協(xié)同驗證發(fā)現(xiàn)規(guī)律師：同學(xué)們憑自己的經(jīng)驗和直覺提出了 5個猜想問題，是不是都對呢？我們 還沒有經(jīng)過驗證，所以也就不好肯定哪個猜想是成立的。 下面，你們根據(jù)自己的

5、興趣和能力選擇1個或幾個猜想問題，先每個同學(xué)獨立舉例驗證，然后同學(xué)們充 分發(fā)揮小組的力量，互相啟發(fā)，互相辯說。等老師布置好小組合作的任務(wù)和注意事項后， 每個小組在隊長的帶領(lǐng)下，投 入了合作探究過程中，下面是通過攝像機(jī)聚焦合作學(xué)習(xí)過程的實錄驗證猜想1的小組（要使商不變，被除數(shù)和除數(shù)可能是增加一個數(shù)）在每個學(xué)生舉例驗證后，隊長組織同伴交流自己的發(fā)現(xiàn)，并互相辯說：生1:我認(rèn)為有可能，你看，36 -12=3，而（36+0 ）十（12+0 ） =3生2:（大家哈哈笑）這不是等于沒有增加嗎，竹籃子打水一場空。生3:可以的，你看，21吃仁1，而（21+4 ）-（21+4 ） =1生4:這只是一個特殊的例子，

6、從我舉得一些例子來看，好像不行，你看，40-8=5，而（40+2） -（8+2） =42生5:你們增加的都是一個相同的數(shù)，我這個例子不一樣，24-5=4，而（24+4 ）-6+1 ） =4，生1:哎，怎么這么怪，我認(rèn)為這個猜想對一半，我們不是加了 “可能”嗎？生2:隊長，今天你怎么一句話也不說呀。生6:不是，我在想，老師以前說過，如果用舉例來驗證數(shù)學(xué)問題，我們只 要舉出一個反例就可以證明這句話是不對的。生2:所以我認(rèn)為，這個猜想只要這樣改就對了，相同的被除數(shù)和除數(shù)增加 相同的數(shù)，商是不變的，而且永遠(yuǎn)是 1。生4:如果被除數(shù)和除數(shù)不同，增加一個相同的數(shù)，零除外，商肯定會變。生5:根據(jù)我的舉例，我

7、發(fā)現(xiàn)，被除數(shù)和除數(shù)如果增加的不是一個相同的數(shù)， 商會有兩種情況，可能會變，也可能不會變。生6:你們的發(fā)現(xiàn)我都贊成，等一會匯報的時候，讓生 2、生5 一起匯報, 我們補(bǔ)充，怎么樣？驗證猜想3的小組（要使商不變，被除數(shù)和除數(shù)要擴(kuò)大幾倍。）生1:（這位學(xué)生很興奮，可能是對自己的發(fā)現(xiàn)很有把握）我先說吧，我認(rèn)為這個猜想是對的，從分本子的算式可以得到驗證，12詔=3，而（12 X3）- 4X3） =3生2:我不贊同，你擴(kuò)大的都是3倍，如果不是一樣的話，就不一定了生3:是這樣的，你們看，18吃=9，而（18 X）- 2 X） =18，結(jié)果變了。生3:我認(rèn)為也是不全對，如果不是擴(kuò)大一個相同的數(shù)，就不能保證商不

8、變。生4:我贊同你的看法，只要是擴(kuò)大一個相同的數(shù)，商才不會變。生5:那也不一定生2:那你舉出一個反例看。生5:我只是憑感覺。生1:證明對錯不能“跟著感覺走”生6:（很激動）我想到了，如果同時乘一個 0，任何數(shù)乘0結(jié)果都為0, 難道還能說商不變嗎（大家對生6的發(fā)現(xiàn)投去了佩服的眼光，片刻后，又分成了 兩派）生4:這里又不是乘，而是擴(kuò)大，擴(kuò)大 0倍，不算的。生5:老師說過的，擴(kuò)大就是乘的意思，可以的。（生5拉出老師的話給自己撐腰，其他反對的同學(xué)也一下子找不出理由了，可是過了一會兒）生3:我認(rèn)為還有問題，你看，20吃=10，而（18 &）-（2吃）=20生6:你這里是除了，一個擴(kuò)大，一個縮小，

9、不行。生3:所以像剛才那樣說還是不對的，我認(rèn)為應(yīng)該再加上同時擴(kuò)大。生2:厲害。生5:經(jīng)過大家的討論，我們的猜想不完全對，應(yīng)該這樣說，要使商不變，被除數(shù)和除數(shù)應(yīng)該同時擴(kuò)大一個相同的數(shù)。生2: 0”還要除外。大家一起喊著：“0”要除外，哈哈?。ㄈ┤嘟涣鞴餐u介（略）（四）鞏固拓展課外延伸（略）三、實踐反思說起“猜想”，我們也就會聯(lián)想到著名的“歌德巴赫猜想”。雖然學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，并非要出現(xiàn)像“歌德巴赫猜想”那樣的著名推斷，但應(yīng)具有知識的“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”過程。我們的教學(xué)要注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極的猜想和驗證，這不僅僅是 學(xué)生進(jìn)行知識再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的良好開端，更是學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的 有效

10、方式。1、“猜想一一驗證”探究學(xué)習(xí)策略是學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的有效方 式。在課堂內(nèi)，哪些內(nèi)容更適合于學(xué)生運(yùn)用該策略學(xué)習(xí)呢？實踐告訴我們，學(xué)習(xí)任務(wù)的難度比較高，一般需要較多人的努力才能完成的內(nèi)容更適合于學(xué)生運(yùn)用“猜想驗證”探究學(xué)習(xí)策略，這有利于學(xué)生提問能力和探究能力的培養(yǎng)。像“商不 變性質(zhì)”的內(nèi)容，具有很大的探究空間，而且難度較高，研究范圍比較寬泛，僅 僅以個人的力量去發(fā)現(xiàn)商不變性質(zhì)的規(guī)律， 會顯的力不從心，而且不管是深度還 是廣度都會受到限制。而采用猜想-驗證探究學(xué)習(xí)策略后，老師通過創(chuàng)設(shè)一個充 滿挑戰(zhàn)和童趣的問題情景，讓學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題，并提出若個個猜想問題，通過 協(xié)同驗證，互相辯說，發(fā)

11、現(xiàn)規(guī)律，這樣集個人智慧和小組力量為一體，共享小組 智慧資源；然后通過全班交流、爭辯、啟發(fā)，進(jìn)一步完善認(rèn)知，把“商不變性質(zhì)” 鮮活的烙印在腦海里；最后讓學(xué)生對研究的內(nèi)容再提出新的問題，通過課外延伸， 以小課題研究的形式，拓展“商不變性質(zhì)”的外延，同時也提高學(xué)生提問、解決問 題的能力，體驗研究的樂趣。實踐證明，只要定準(zhǔn)內(nèi)容，“猜想-驗證”探究學(xué)習(xí)策 略是學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的有效方式。在這個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生有了更 大的自由思維空間，學(xué)生可以根據(jù)自己的個性思維提出猜想問題， 可以根據(jù)自己 的學(xué)習(xí)能力驗證、推理、操作，小組成員又可以協(xié)同幫忙，全班同學(xué)又可以共享 智慧資源，達(dá)到資源互補(bǔ)的實效。2、

12、“猜想驗證”探究學(xué)習(xí)讓學(xué)生經(jīng)歷思維活動的“三步曲”從心理學(xué)角度看，“猜想”是一項思維活動，是學(xué)生有方向的猜測和判斷，包 含了理性的思考和直覺的判斷；從學(xué)生的學(xué)習(xí)過程來看，猜想應(yīng)是學(xué)生有效學(xué)習(xí) 的良好準(zhǔn)備，它包含了學(xué)生從事新的學(xué)習(xí)或?qū)嵺`的知識準(zhǔn)備、 積極動機(jī)和良好情 感。通過教學(xué)實踐我們發(fā)現(xiàn)：運(yùn)用“猜想驗證”探究學(xué)習(xí)策略，學(xué)生要經(jīng)歷思維活 動的“三步曲”：(1) 提問猜想的開始。讓每個學(xué)生在已有的知識經(jīng)驗、能力水平和學(xué)習(xí)方法的基礎(chǔ)上提出問題，并進(jìn)行積極的猜想，這有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活 躍思維，促進(jìn)智力的發(fā)展與提高。比如這節(jié)課的開始，我首先讓學(xué)生觀察除法算 式，然后問：“在除法運(yùn)算中，憑你的

13、經(jīng)驗，被除數(shù)和除數(shù)都變化時，你們認(rèn)為 商會怎樣？”于是，學(xué)生就開始積極思考，提出了自己初步的猜想，有的認(rèn)為商 可能會變，也可能不會變，有的認(rèn)為商有可能變小，也有可能變大。但此時的猜 想是很表面的，更多的是憑直覺。(2) 假設(shè)一一猜想的深入。問題提出后，學(xué)生經(jīng)過反復(fù)思考、聯(lián)想、頓悟，結(jié)合已有的知識和生活經(jīng)驗提出自己的假設(shè)。假設(shè)，從思維角度講，就是一種猜想。這樣的思維過程，是充分發(fā)揮學(xué)生創(chuàng)新能力和主體意識的過程。這節(jié)課，在 學(xué)生提出初步猜想后，老師及時引導(dǎo)：“今天這節(jié)課我們先來研究要使商不變， 被除數(shù)和除數(shù)可能會怎么變化呢，同學(xué)們可以根據(jù)自己的經(jīng)驗，在小組內(nèi)輕聲討 論一下，再提出一個猜想問題”，把

14、學(xué)生引向猜想的深處，同組學(xué)生在隊長的帶 領(lǐng)下，組織討論，提出了 5個猜想問題。(3) 實踐一一猜想的驗證。只有猜想沒有驗證，那只能是空想。把猜想與探索實踐緊密結(jié)合，可以產(chǎn)生猜想的良性循環(huán)。不同的學(xué)生會有不同的猜想，但都 是學(xué)生的主動思維的過程，都包含著創(chuàng)新因素。學(xué)生提出5種猜想后，我緊接著 問：“同學(xué)們提出了5個猜想問題，是不是都對呢？我們還沒有經(jīng)過驗證，所以 也就不好肯定哪個猜想是成立的。 下面，你們根據(jù)自己的興趣和能力選擇1個或 幾個猜想問題，先每個同學(xué)獨立舉例驗證，然后同學(xué)們充分發(fā)揮小組的力量， 互 相啟發(fā)，互相辯說，來說明自己的猜想是否成立?！睂W(xué)生很有興趣的投入了協(xié)同 驗證的探究學(xué)習(xí)過程。3、“猜想驗證”探究學(xué)習(xí)策略還有利于學(xué)生暴露思維問題。學(xué)生猜想后，需要驗證。而驗證涉及到多種思維方式，如反向思維、發(fā)散思 維、甚至創(chuàng)造思維。在這過程中，學(xué)生會暴露出很多問題，其中很多問題其他同 學(xué)是很難預(yù)見的，但因為通過小組互相啟發(fā)、互相辯說的環(huán)節(jié)，難于預(yù)見的問題 發(fā)現(xiàn)了，也得到了比較理想的解決，這樣也有利于老師從容應(yīng)付，生成智慧。當(dāng) 然，小組還不能解決的問題，再拿到全班爭辯，這樣的問題就更有研究的價值， 可以成為最佳的生成資源。例如，（見情景一、二）剛開始學(xué)生對自己的猜想問題認(rèn)識并不是很深，僅