窗函數(shù)濾波器Word版

1、7.7  設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)法窗函數(shù)法的基本思想是用一具有有限長度樣值響應(yīng)、并具有線性相位的系統(tǒng)函數(shù)逼近理想濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。以低通濾波器為例，設(shè)系統(tǒng)函數(shù)在奈奎斯特區(qū)間為（7.7-1）頻率響應(yīng)如圖7.7-1所示。對(duì)取IDTFT，有（7.7-2）圖7.7-1理想低通濾波器的頻率響應(yīng)式（7.7-2）給出的單位樣值響應(yīng)說明理想低通濾波器是非因果系統(tǒng)，實(shí)際中無法實(shí)現(xiàn)。如果把對(duì)稱地截?cái)酁橛邢揲L度，設(shè)長度為N，為奇數(shù)，截取后的樣值響應(yīng)為，當(dāng)足夠大時(shí)，在某種程度上可近似表示，為（7.7-3）1 / 9其中。式（7.7-3）仍然為偶對(duì)稱函數(shù)，而且是非因果的，如果將其右移點(diǎn)，則有（7.7-4

2、）樣值響應(yīng)的截?cái)嗯c移位如圖7.7-2所示。(a)(b)圖7.7-2截?cái)嗖⒁莆坏臉又淀憫?yīng)以上通過對(duì)理想濾波器的無限長樣值響應(yīng)截?cái)酁橛邢揲L并移位得到了物理可實(shí)現(xiàn)濾波器的樣值響應(yīng)，那么的幅頻響應(yīng)是否為理想幅頻響應(yīng)的逼近，其相位響應(yīng)是否與頻率成線性關(guān)系，下面對(duì)其進(jìn)行分析。根據(jù)DTFT變換公式，、和的頻率響應(yīng)分別為（7.7-5）（7.7-6）（7.7-7）式（7.7-6）相當(dāng)于對(duì)做級(jí)數(shù)截?cái)?，?dāng)足夠大時(shí)，逼近于。由式（7.7-4）和傅里葉變換的移位性質(zhì)可得（7.7-8）由于為實(shí)偶對(duì)稱函數(shù)，根據(jù)傅里葉變換的對(duì)稱性，的變換也為實(shí)偶對(duì)稱函數(shù)，因此，有（7.7-9）（7.7-10）可見，的幅頻響應(yīng)逼近于理想濾波器

3、的幅頻響應(yīng)，而相頻響應(yīng)為的分段線性函數(shù)，在改變符號(hào)的頻率處跳變 。通過以上分析看出，樣值響應(yīng)為偶對(duì)稱實(shí)序列、且為奇數(shù)的這種FIR濾波器不僅在幅度上可以滿足濾波要求，而且能夠取得分段線性相位特性。當(dāng)為奇對(duì)稱的實(shí)序列時(shí)，根據(jù)傅里葉變換的對(duì)稱性，的實(shí)部為零，這時(shí)（7.7-9）（7.7-10）則的相位也為頻率的分段線性函數(shù)。當(dāng)?shù)拈L度為偶數(shù)時(shí)，若仍滿足對(duì)稱關(guān)系（7.7-11a）或（7.7-11b）也可證明的相位為頻率的分段線性函數(shù)。設(shè)取，為21和時(shí)，由式（7.7-4），分別為把代入式（7.7-7），用計(jì)算機(jī)求得的幅頻響應(yīng)如圖7.7-3所示。由圖可見：在處幅度總為0.5；越大，過渡帶越窄，幅頻響

4、應(yīng)越接近于理想響應(yīng)；通帶與阻帶波紋在接近過渡帶處較大，在兩側(cè)總有比較大的肩峰出現(xiàn)，這是因級(jí)數(shù)的截?cái)嘣斐傻?，這種現(xiàn)象稱為傅里葉級(jí)數(shù)的吉伯斯（Gibbs）現(xiàn)象。理論分析表明，兩肩峰的幅度近似為8.9，與的取值無關(guān)，因此，濾波器的阻帶衰減為。(a) N = 21                         (b) N = 51圖7.7-3  為21和

5、時(shí)幅頻響應(yīng)上述FIR濾波器的樣值響應(yīng)還可表示為（7.7-12）其中為長度為的矩形窗函數(shù)，即（7.7-13）由圖7.7-3，矩形窗的逼近性能不是很好，為了加大阻帶衰減也即減小肩峰的影響，可以考慮采用其他形狀的窗函數(shù)，常用的有1.三角窗（Bartlett窗）（7.7-14）                2.漢寧（Hanning）窗（升余弦窗）（7.7-15）       

6、0;        3.哈明（Hamming）窗（改進(jìn)升余弦窗） （7.7-16）4.  布萊克曼（Blackman）窗 （7.7-17）用以上幾種窗函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器的指標(biāo)如表7.7-1所示。設(shè)計(jì)時(shí)一般根據(jù)阻帶衰減指標(biāo)選取符合要求的窗函數(shù)，再根據(jù)過渡帶寬度確定樣值響應(yīng)長度。當(dāng)仿真結(jié)果不符合要求時(shí)，調(diào)整重新設(shè)計(jì)。                  &

7、#160;     表7.7-1  常用窗函數(shù)性能比較窗函數(shù)過渡帶寬度（rad）阻帶衰減（dB）矩形窗21三角窗25漢寧窗44哈明窗53布萊克曼窗74例7.7-1用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一線性相位低通數(shù)字濾波器。設(shè)技術(shù)指標(biāo)為阻帶衰減理想通帶頻率rad過渡帶寬度rad解根據(jù)阻帶衰減指標(biāo)選用哈明窗，根據(jù)過渡帶寬度指標(biāo)則可求出為由式（7.7-12）和式（7.7-16）有                和的波形如圖

8、7.7-4所示。濾波器的幅頻響應(yīng)如圖7.7-5所示。計(jì)算表明，通帶內(nèi)的肩峰非常小，約為0.2，阻帶衰減為53dB。(a)                                        (b)圖7

9、.7-4  和的波形圖7.7-5  幅頻響應(yīng)    以上幾種窗函數(shù)法設(shè)計(jì)較為簡單，但對(duì)濾波器的技術(shù)指標(biāo)不能有效的控制。例如，無論取多大，矩形窗的肩峰約為8.9，無法對(duì)其調(diào)整。一種更為靈活的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法是選用凱塞（Kaiser）窗，它定義為（7.7-18）其中是形狀參數(shù)，根據(jù)阻帶衰減確定。是第一類零階貝塞爾（Bessel）函數(shù)，其冪級(jí)數(shù)展開式為（7.7-19）在給定通帶頻率、阻帶頻率、阻帶衰減dB值情況下，低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：（1）計(jì)算理想通帶頻率和過渡帶寬度，其中（7.7-20）（7.7-21）（2）計(jì)算形狀參數(shù)和濾波器長度（7.7-22）（7.（3）計(jì)算凱塞窗函數(shù)和加窗的樣值響應(yīng)（