數學復習第2講函數的解析式與表示方法

1、數學復習第2講：函數的解析式與表示方法要求： 1.由所給函數表達式正確求出函數的定義域；2.掌握求函數值域的幾種常用方法；3.能根據函數所具有的某些性質或它所滿足的一些關系，求出它的解析式； 4.會進行函數三種表示方法的互化，培養(yǎng)學生思維的嚴密性、多樣性.知識點歸納1.函數的三種表示法（1）解析法：就是把兩個變量的函數關系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數的解析表達式，簡稱解析式.（2）列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數關系.（3）圖象法：就是用函數圖象表示兩個變量之間的關系.2.求函數解析式的題型有：（1）已知函數類型，求函數的解析式：待定系數法；（2）已知求或已知求：換元法、配湊法

2、；（3）已知函數圖像，求函數解析式；（4）滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構造另個等式解方程組法；（5）應用題求函數解析式常用方法有待定系數法等題型講解： 例1（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函數，且滿足，求；（4）已知滿足，求解：（1），（或）（2）令（），則，（3）設，則，（4） ，把中的換成，得 ，得，注：第（1）題用配湊法；第（2）題用換元法；第（3）題已知一次函數，可用待定系數法；第（4）題用方程組法例1 已知函數f（x）=的定義域是R，則實數a的取值范圍是A.aB.12a0C.12a0D.a解：由a=0或可得12a0.答案：B例2 在ABC中，BC=2，

3、AB+AC=3，中線AD的長為y，AB的長為x，建立y與x的函數關系式，并指出其定義域.解：設ADC，則ADB.根據余弦定理得12y22ycos（3x）2， 12y22ycos（）x2.由整理得y.其中 解得x.函數的定義域為（，）.評述：函數的定義域是使式子有意義的自變量的取值范圍，同時也要注意變量的實際意義的要求.例3 若函數f（x）=的值域為1，5，求實數a、c.解：由y=f（x）=，得x2yax+cy1=0.當y=0時，ax=1，a0.當y0時，xR，=a24y（cy1）0.4cy24ya20.1y5，1、5是方程4cy24ya2=0的兩根.評述：求f（x）=（a12+a220）的值域

4、時，常利用函數的定義域非空這一隱含的條件，將函數轉化為方程，利用0轉化為關于函數值的不等式.求解時，要注意二次項系數為字母時要討論.例4設定義在N上的函數f（x）滿足f（n）= 試求f（2002）的值.解：20022000，f（2002）=ff（200218）=ff（1984）=f1984+13=f（1997）=1997+13=2010.例5設f（x）=2x+1，已知f（m）=，求f（m）.解法一：f（m）=，2m+1=. 2m=1.f（m）=+2m+1=+2m+1=+2m+1=+2m+1=+ 2m+1=（2m）+1=（1）+1=2.解法二：f（x）=2x+12x+1令，則例6某市有小靈通與全

5、球通兩種手機，小靈通手機的月租費為25元，接聽電話不收費，打出電話一次在3 min以內收費0.2元，超過3 min的部分為每分鐘收費0.1元，不足1 min按1 min計算（以下同）.全球通手機月租費為10元，接聽與打出的費用都是每分鐘0.2元.若某人打出與接聽次數一樣多，每次接聽與打出的時間在1 min以內、1到2 min以內、2到3 min以內、3到4 min以內的次數之比為4311.問，根據他的通話次數應該選擇什么樣的手機才能使費用最?。浚ㄗⅲ簃到m+1 min以內指含m min，而不含m+1 min）解：設小靈通每月的費用為y1元，全球通的費用為y2元，分別在1 min以內、2 min

6、以內、3 min以內、4 min以內的通話次數為4x、3x、x、x，則y1=25+（4x+3x+x+x）×0.2+0.1x=25+1.9x，y2=10+2（0.2×4x+0.4×3x+0.6x+0.8x）=10+6.8x.令y1y2，即25+1.9x10+6.8x，解得x3.06.總次數為（4+3+1+1）×2×3.06=55.1.故當他每月的通話次數小于等于55次時，應選擇全球通，大于55次時應選擇小靈通.例7 某市收水費的方法是：水費=基本費+超額費+耗損費，若每月用水量不超過最低限量am3時，只付基本費8元及每戶每月的定額耗損費c元，若用

7、水量超過am3時，除了付同上的基本費和耗損費之外，超過部分每m3付b元的超額費，已知耗損費不超過5元。該市一家庭今年一月、二月、三月份的用水量和支付費用如下表所示：月份用水量水費一月9m39元二月15m319元三月22m333元根據上面表格中的數據求a，b，c解：設每月用水量為xm3,支付費用為y元，由收費方法知：依題意：0<c£5, 8+c£13所以該用戶第二、三月份的用水量均大于am3,將x=15,x=22代入上面的第二個式子，得：， b=2,2a=c+19若該用戶一月份的用水量大于am3,則9=8+2(9-a)+c,2a=c+17與2a=c+19矛盾， a

8、79;9將y=9代入y=8+c得c=1, a=10, b=2, c=1例8已知扇形的周長為10，求扇形半徑r與面積S的函數關系式及此函數的定義域、值域.解：設扇形的弧長為l，則l=102r，S=lr=（5r）r=r2+5r.由得r5.S=r2+5r的定義域為（，5）.又S=r2+5r=（r）2+且r=（，），當r=時，S最大=.又S52+5×5=0，S=r2+5r，r（，5）的值域為（0，.小結：1求函數的解析式主要有待定系數法和換元法。如果已知函數解析式的構造時，可以用待定系數法求，如函數為二次函數，可設為y=ax2+bx+c(a0)。2根據實際問題求函數表達式，是應用函數知識解決

9、實際問題的基礎，在設定或選定變量去尋求等量關系并求得函數表達式后，還要注意函數定義域常受到實際問題本身的限制。學生練習： 題組一：1.若f（sinx）=2cos2x，則f（cosx）等于A.2sin2x B.2+sin2xC.2cos2xD.2+cos2x解析：f（sinx）=2（12sin2x）=1+2sin2x，f（cosx）=f（sinx）=1+2sin2（x）=1+2cos2x=2+cos2x.答案：D2.已知f（）=，則f（x）的解析式可取為A. B.C.D.解析：令=t，則x=，f（t）=.f（x）=.答案：C3.函數f（x）=|x1|的圖象是解析：轉化為分段函數y= 答案：B4.

10、函數y=的定義域為_，值域為_.答案：1，2 ，0，5.函數y=的值域是A.1，1 B.（1，1 C.1，1） D.（1，1）解法一：y=1.1+x21，02.1y1.解法二：由y=，得x2=.x20，0，解得1y1.解法三：令x=tan（），則y=cos2.2，1cos21，即1y1.答案：B6.如果ff（x）=2x1，則一次函數f（x）=_.解析：設f（x）=kx+b，則ff（x）=kf（x）+b=k（kx+b）+b=k2x+kb+b.由于該函數與y=2x1是同一個函數，k2=2且kb+b=1.k=±.當k=時，b=1；當k=時，b=1+.答案：f（x）=x+1或f（x）=x+1

11、+7.已知f（x24）=lg，則f（x）的定義域為_.解析：設x24=t，則t4，x2=4+t.f（t）=lg.f（x）=lg（x4）.由得x4.答案：（4，+）8.用長為l的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架（如圖），若矩形底邊長為2x，求此框架圍成的面積y與x的函數關系式，并寫出其定義域. 解：AB=2x，則=x，AD=.y=2x·+=（+2）x2+lx.由0，解得0x.9.已知函數f（x）=則f（lg30lg3）=_；不等式xf（x1）10的解集是_.解析：f（lg30lg3）=f（lg10）=f（1）=2，f（x1）=當x3時，x（x3）102x5，故3x5.當x3時，2

12、x10x5，故5x3.總之x（5，5）.答案：2 x|5x510.定義“符號函數”f（x）=sgnx=則不等式x+2（x2）sgnx的解集是_.解析：分類討論.答案：（，+）題組二：1設f(2x+1)=x,f-1(x)是f(x)的反函數，則f-1(2)= 。2已知函數f(x)=,則ff(5/2)= 。3在一定范圍內，某種產品的購買量y噸與單價x元之間滿足一次函數關系，如果購買1000噸，每噸價格為800元，購買2000噸，每噸為700元，一客戶購買400噸，單價應該是()A.820元 B.840元 C.860元 D.880元4若函數y=f(x)存在反函數，則方程f(x)=c(c為常數）A.有且

13、只有一個實根 B.至少有一個實根 C.至多只有一個實根 D.沒有實數根5已知f(x-1/x)=x2+1/x2,則f(x)= 6函數f(x)是一個偶函數，g(x)是一個奇函數，且f(x)+g(x)=1/(x-1),則f(x)= .7設函數f(x)=f(1/x)lgx+1,則f(10)的值是 8已知f(x)=log2(x+1),當且僅當點(x,y)在y=f(x)的圖象上運動時，點(x/2,y/3)在y=g(x)的圖象上運動，求y=g(x)的解析式。9若函數f(x)=(ax+b)/(cx+d)與g(x)=(4x+3)/(2-x)的圖象關于直線y=x對稱，則a:b:c:d= .10從盛滿20升純酒精的容器里倒