《離散數學》試題含答案

1、精品文檔一、填空題1 設集合 A,B ，其中 A 1,2,3, B= 1,2,則 A - B _;(A) -(B) _ .2. 設有限集合A, |A| = n, 則| (A A)| = _.3. 設集合 A = a, b, B = 1, 2,則從 A 到 B 的所有映射是 _ _,其中雙射的是 _.4. 已知命題公式 G (P Q) R，則 G 的主析取范式是 _.5. 設 G 是完全二叉樹， G 有 7 個點，其中 4 個葉點，則 G 的總度數為 _ ，分枝點數為_.6 設 A、B 為兩個集合 , A=1,2,4,B = 3,4, 則從 A B _; AB _;A B _ .7.設 R 是集

2、合 A 上的等價關系，則 R 所具有的關系的三個特性是 _,_, _.8.設命題公式 G (P (Q R)，則使公式 G 為真的解釋有 _，_,_.9.設集合 A 1,2,3,4, A 上的關系 R1= (1,4),(2,3),(3,2), R 1 = (2,1),(3,2),(4,3),則 R1?R2 =_,R2?R1 =_,R1 2=_.10.設有限集 A, B ， |A| = m, |B| = n, 則 | | (A B)| = _.11 設 A,B,R 是三個集合，其中R 是實數集， A = x | -1 x1, x R, B = x | 0 x 6(D)下午有會嗎？34P(a, a)

3、 P(a,b) P(b,a) P(b,b)25 設 I 是如下一個解釋： D a,b,10101則在解釋 I 下取真值為1 的公式是 ().(A) x yP(x,y)(B)xyP(x,y)(C)xP(x,x)(D) xyP(x,y).6.若供選擇答案中的數值表示一個簡單圖中各個頂點的度，能畫出圖的是().(A)(1,2,2,3,4,5)(B)(1,2,3,4,5,5)(C)(1,1,1,2,3)(D)(2,3,3,4,5,6).7.設 G、 H 是一階邏輯公式， P 是一個謂詞， G xP(x), H xP(x), 則一階邏輯公式 GH 是 ().(A) 恒真的(B) 恒假的(C)可滿足的(D

4、) 前束范式 .8設命題公式G (PQ)， H P(QP)，則 G 與 H 的關系是 ()。(A)G H(B)HG(C)G H(D) 以上都不是 .9設 A, B 為集合，當 ()時 A B B.(A)A B(B)AB(C)BA(D)A B .10設集合 A = 1,2,3,4, A上的關系R (1,1),(2,3),(2,4),(3,4),則R具有()。(A) 自反性(B) 傳遞性(C) 對稱性(D) 以上答案都不對11下列關于集合的表示中正確的為 () 。(A)a a,b,c(B)aa,b,c (C)a,b,c(D)a,ba,b,c12命題 xG(x) 取真值 1的充分必要條件是 ().(

5、A) 對任意 x，G(x) 都取真值 1. (B) 有一個 x0，使 G(x 0)取真值 1.(C) 有某些 x ，使 G(x0)取真值 1. (D) 以上答案都不對 .13.設 G 是連通平面圖，有 5 個頂點， 6 個面，則 G 的邊數是 ().(A)9 條(B) 5條(C)6條(D) 11條 .14.設 G 是 5 個頂點的完全圖，則從G中刪去()條邊可以得到樹 .(A)6(B)5(C)10(D)4.011111010015. 設圖 G 的相鄰矩陣為101111010110110，則 G 的頂點數與邊數分別為().(A)4, 5(B)5, 6(C)4, 10(D)5, 8.三、計算證明題

6、1.設集合 A 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 ，R 為整除關系。.精品文檔(1) 畫出半序集 (A,R) 的哈斯圖；(2) 寫出 A 的子集 B = 3,6,9,12 的上界，下界，最小上界，最大下界；(3) 寫出 A 的最大元，最小元，極大元，極小元。2.設集合 A 1, 2, 3, 4 ，A 上的關系 R (x,y) | x, yA 且 xy,求(1) 畫出 R 的關系圖；(2) 寫出 R 的關系矩陣 .3.設 R 是實數集合，, , 是 R 上的三個映射，(x) = x+3,(x) = 2x,(x) x/4, 試求復合映射? ， ? ,? , ?， ?.4. 設 I 是

7、如下一個解釋： D = 2, 3,abf (2)f (3)P(2, 2)P(2,3)P(3,2)P(3, 3)32320011試求(1) P(a, f (a)P(b, f (b);(2) x y P (y, x).5. 設集合 A 1, 2, 4, 6, 8, 12 ，R 為 A 上整除關系。(1) 畫出半序集 (A,R) 的哈斯圖；(2) 寫出 A 的最大元，最小元，極大元，極小元；(3)寫出 A 的子集 B = 4, 6, 8, 12 的上界，下界，最小上界，最大下界.6. 設命題公式G =(P Q) (Q(PR), 求 G 的主析取范式。7. (9 分) 設一階邏輯公式：G = (xP(

8、 x)yQ(y)xR( x)，把 G 化成前束范式 .9. 設 R 是集合 A = a, b, c, d. R 是 A 上的二元關系 , R = (a,b), (b,a), (b,c), (c,d),(1) 求出 r(R), s(R), t(R) ；(2) 畫出 r(R), s(R), t(R) 的關系圖 .11. 通過求主析取范式判斷下列命題公式是否等價：(1) G = (PQ)( PQR)(2) H = (P (Q R)(Q ( P R)13. 設 R 和 S 是集合 A a, b, c, d 上的關系，其中R ( a, a),(a, c),(b, c),( c, d),S ( a, b)

9、,( b,c),( b, d),( d, d).(1)試寫出 R 和 S 的關系矩陣；(2)111計算 R?S, RS, R , S ?R .四、證明題1. 利用形式演繹法證明： P Q, RS, PR 蘊涵 Q S。2. 設 A,B 為任意集合，證明： (A-B)-C = A-(B C).3. (本題 10 分)利用形式演繹法證明：A B,CB,CD 蘊涵 A D。4. (本題 10 分)A, B 為兩個任意集合，求證：A(AB) = (A B)B .精品文檔參考答案一、填空題1.3;3,1,3,2,3,1,2,3.2. 2n 2 .3.1= ( a,1), (b,1),2 = ( a,2)

10、, (b,2),3= ( a,1), (b,2),4= ( a,2), (b,1);3,4.4. (P QR).5. 12, 3.6. 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2.7. 自反性；對稱性；傳遞性 .8. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).9. (1,3),(2,2),(3,1); (2,4),(3,3),(4,2); (2,2),(3,3).10. 2m n.11. x | -1 x 0, xR; x | 1 x 2, xR; x | 0 x1, xR.12. 12; 6.13. (2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4

11、, 4),(5, 5),(6, 6).14.x(P(x) Q(x).15. 21.16. (R(a)R(b) (S(a) S(b).17. (1, 3),(2, 2); (1, 1),(1, 2),(1, 3).二、選擇題1.C.2.D.3.B.4.B.5.D.6.C.7.C.8. A.9.D.10.B.11.B.13.A.14.A.15. D三、計算證明題1.81269(1)4231(2) B 無上界，也無最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.(3) A 無最大元，最小元是 1，極大元 8, 12, 90+; 極小元是 1. 2.R = (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3

12、,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).精品文檔(1)142310001100(2)M R110111113. (1) ? ( (x) (x)+3 2x+3 2x+3.(2)? ( (x) (x)+3 (x+3)+3 x+6,(3) ? ( (x) (x)+3 x/4+3,(4) ? ( (x) (x)/4 2x/4 = x/2,(5) ? ? ?( ? ) ? +3 2x/4+3 x/2+3.4. (1) P(a, f (a) P(b, f (b) = P(3, f (3) P(2, f (2)= P(3, 2) P(2, 3)= 1 0= 0.(2) x y P

13、 (y, x) = x ( P (2, x) P (3, x)= (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3)= (01)(01)= 1 1= 1.5. (1)812462(2)無最大元，最小元 1，極大元8, 12;極小元是 1.(3) B 無上界，1無最小上界。下界1, 2;最大下界 2.6.G = (P Q)(Q (PR).精品文檔= ( P Q) (Q(PR)= (P Q) (Q (PR)= (P Q)(Q P)(QR)= (P Q R) (P Q R)(PQR)(P Q R) (PQ R) ( P Q R)= (P Q R) (P Q R)(PQR)(P Q

14、R) ( P QR)= m3m4 m5 m6 m7 =(3, 4, 5, 6, 7).7.G = (xP(x) yQ(y) xR(x)= ( xP(x) yQ(y) xR(x)= (xP(x)yQ(y) xR(x)= ( x P(x)y Q(y) zR(z)=xyz(P(x) Q(y)R(z)9. (1) r(R) R IA (a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), s(R) RR 1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c),t(R) R R2 R3 R4 (a,a), (a,b), (

15、a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)；(2)關系圖 :adadadbcbcbcr(R)s(R)t(R)11. G(P Q) ( P QR) (PQ R)(P Q R) ( P QR) m6 m7 m3 (3, 6, 7)H = (P (Q R) (Q ( P R) (PQ) (Q R) ( PQR) (PQ R)(P Q R) ( P QR)(P Q R) ( P QR) (PQ R)( PQ R)(PQR) m6 m3 m7 (3, 6, 7).精品文檔G,H 的主析取范式相同，所以G = H.101001000010001113. (

16、1) M R001M S0000000000001(2)R?S( a, b),( c, d),R S( a, a),( a, b),(a, c),(b, c),(b, d),( c, d),( d, d),R 1( a, a),( c, a),( c, b),(d, c),S 1?R 1 ( b, a),(d, c).四 證明題1. 證明： PQ, R S, P R 蘊涵 QS(1) PRP(2)R PQ(1)(3) PQP(4)R QQ(2)(3)(5) QRQ(4)(6) RSP(7) QSQ(5)(6)(8) Q SQ(7)2. 證明： (A-B)-C = (A B) C= A (B C)= A (B C)= A-(B C)