物理競賽動力學(xué)1.

1、動力學(xué)走律般冋題約束問題引力問題兩體問題非慣性系*般i可題力力來自相互作用;力是運(yùn)動狀態(tài)變化的原因.萬有引力- 77? 17722 , 7771/772 一r 2 = G打2 = Cj打2取決于變形程度，電磁力 定律）彈性力或回復(fù)力引力質(zhì)量與遇性質(zhì)量F = kx （摩擦力（靜摩擦力和滑動摩擦力）與相對滑動趨勢的指向相反 正上匕于正壓力質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)問題央型問題：I：已知作用于物體（質(zhì)點(diǎn)）上的力，由力學(xué)規(guī)律來決定該 物體的運(yùn)動情況或平衡狀態(tài)；H：已知物體（質(zhì)點(diǎn)）的運(yùn)動情況或平衡狀態(tài)，由力學(xué)規(guī) 律來推出作用于物體上的力。解題十六字訣J隔離物體，具體分析，選定坐標(biāo)，運(yùn)動方程。中心問題在于正確地列出代數(shù)方

2、程組；關(guān)鍵問題有在于正確地進(jìn)行具體分析（F,ma）.仮Ij 一升降機(jī)內(nèi)有一光滑斜而。斜而固定在升降機(jī)的底版卜其傾角 為0。當(dāng)升降機(jī)以勻加速ao上升時，物體m從斜面的頂點(diǎn)沿斜面卜滑。 求物體m相對于斜面的加速度以及相對于地面的加速度。加速度分析: a= a+ao僻心受力分析:X方向：丫力向：ay = 5 a sin 0a列方桿耳 N sin O = ntclcosON cos。= /n(a) a9sin O)ao解得：可=(g+ao)sino , N= m(g+ao)cosoai（ + x方向）a=ai+a2列方程：ax = aya2 cosOa、. = a2 sin O練習(xí):m jsin 6?

3、cos6?M 十 m sin2 &(,十 AZ )# sin OM + 力 sin - &N sin 3ci2 cos6)m N cos& m “ = m ch sin OM : TVsin & = Ma、R Mg 2 cosO = O IPhO4-1 (1970)在質(zhì)量M=lkg的木板上冇質(zhì)量m=0.1 kg的小雪橇。 雪橇上的馬達(dá)牽引著一根繩子，使雪橇具有速度 vo=O.Im/s。忽略桌面與木板Z間的摩擦。木板與雪橇之間的摩擦系數(shù)= 0.02。把住木板,起動馬達(dá)。當(dāng)雪橇達(dá)到速度V。時，放開木板。在此瞬間，雪橇 與木板端面的距離L=05m。繩子拴在(a)遠(yuǎn)處的柱子，(b)木板的端面上。試描述

4、兩種悄形下木板與雪橇的運(yùn)動。雪橇何時 達(dá)到木板端面？解：(a)木板速度達(dá)到v0之前勻加速，轡 M雪橇在木板上經(jīng)過的距離為er”s = 0.25 如2aL-5 = 0.5-0.255 =0.245/7?此后柄者沒有和對運(yùn)動，馬達(dá)空轉(zhuǎn)，雪橇不能達(dá)到端面。(b)系統(tǒng)動量守恒，設(shè)放開后木板的速度為V,雪橇為V+v，= MV + ni(V + v0)V=0o所以木板不動，雪橇以原有速度繼續(xù)前進(jìn)。t=L/v0受力分析?運(yùn)動學(xué)的約束：質(zhì)點(diǎn)被限制于某個曲面或 某個曲線上運(yùn)動。陸著約束的法向約束反力：約束對質(zhì)點(diǎn)的反作下。試問滑到何處，質(zhì)點(diǎn)就會脫離球面飛出。mg切直例2 (P143):質(zhì)點(diǎn)從光滑的靜止大球的頂端滑

5、mRO = mg sin 0切向 mRO = N mgcosB法向3dO = sin OdO e1 =(l-cos6)求解及分析(初始條件)N = 3nig cos 6 一 2mg當(dāng)e=cos(2/3), N=0 標(biāo)志質(zhì)點(diǎn)開始離開球宜例題：質(zhì)點(diǎn)沿光滑拋物線y2=2x無初速的下滑，質(zhì)點(diǎn)的初始坐標(biāo)為（2, 2），冋質(zhì)點(diǎn)在何處脫離拋物線。提示：曲率半徑1+（如如r_ d2y/dx2 I -解： 0mv1 / R = mg cos 6 _ Nv2 =2g（_.y）= W = 1 / y, cos 6? = yV + yR =1-/（1 4-1/y2 嚴(yán) |= （ + y2 嚴(yán)2( - y)(1 + b

6、嚴(yán)(y l)(y2 + y + 4) =(X 取 y = l,x = / 2解2：質(zhì)點(diǎn)受力mg,N,當(dāng)N = 0時，水平方向受 力為零，故ax=0,即j （或v?）有極大值v2 = 2(/2-y)cos 3=-y- 屮+ y.y2叮=2g(h-y)-j-1 + y得至I：y4 +3y2 -4y = 0引力問題球殼的萬有引力GMm rE3(rR)r = 廠 r0(r /?)地球內(nèi)部物體受到的萬有引力蘭色部分：不貢獻(xiàn)引力紅色部分：貢獻(xiàn)引力，恰 如位于球心的一個質(zhì)點(diǎn)M、,M是紅色部分的總質(zhì)量Mr= Vf = M VR廠 GMm GMm r卜=r2R3球體的萬有引力F =R)(rR)CrR)卄b線性恢

7、復(fù)力，做振I隔為A的簡諧振動co2 = k / m = g / R A = ylR2-h2彈性碰撞.注意：止負(fù)號,用恢復(fù)系數(shù)（寫能量守恒式子）Mil m u = m v+ MVv V = 2u3M mv =uM + tn簡諧振動，能量守恒(不要把VM HI “ M心n叮+冬= 為成發(fā)射速度）3M -加M 4-mmM +/n6宀丄病+丄“囲+丄加2 2 2002決賽第五題假設(shè)銀河系的物質(zhì)在宇宙中呈球?qū)ΨQ分布，其球心稱為銀心。距離銀心相等處 的銀河系頂呈分布相刈。乂假龍麗.銀心麗離為r處的物頂受到銀河系的刀仃W力 和將以r為半徑的球【併內(nèi)所有銀河系物質(zhì)集中于銀心時所產(chǎn)生的萬右引力相同。 呂知地球到

8、太陽中心的距離為Ro,太陽到銀心的距離1.75x1吹 太陽繞銀心做勻速圓周運(yùn)動，周期7= 24x1（/年。太陽質(zhì)星為Ms,銀河系中 發(fā)亮的物質(zhì)僅分布在r 1.5a的范偉I內(nèi)。冃前可能測得繞銀心運(yùn)動的物休即 銀心的距離不大丁&八n住廠S6a范圍內(nèi).物體繞保心運(yùn)動的速率是一恒 lo按上述條件解答： 論證銀河系物質(zhì)能否均勻分布2. 計(jì)算銀河系中發(fā)光物碩丿頁量最多有多少3. 計(jì)算幣個銀河系物質(zhì)質(zhì)最至少有多少4計(jì)算銀河系中不發(fā)光物質(zhì)（暗物質(zhì)）質(zhì)雖至少有多少上述計(jì)算結(jié)果均用太陽質(zhì)吊Ms表示。 2 2 1 2宇宙速度3M mM + m = 0925&)解:(GM(C如果均勻分布，M(r)-r v不可能是fl

9、!量亠如JRv=consi,必須M(r)-rM (r)oc 幾即Af (r) = M(a)為了確定M(a)發(fā)光物質(zhì)質(zhì) fi 6M(d)1.5M(a)兩體冋題Ri _ .質(zhì)點(diǎn)組動力學(xué)的一個特殊問題兩個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組彼此以內(nèi)力相互作用,不受外力作用mr = Fz miri F iF2 =mass 1 mass 2 riK2Fl2F 2= Fi2+ F2I = 0 dfz、d+門(m. +()=0dtmi + m質(zhì)心的運(yùn)動.、d truTx + miTi(加.+ m：)(dt mx + mi7710 = mi + m2mxfx + mfzr =m+miXm() WoE = 0即系統(tǒng)動量守恒WiXi

10、 + niiXi質(zhì)心坐標(biāo)系 CM frame 實(shí)驗(yàn)室系 lab frame質(zhì)心系長慣性系嗎Sun CMEarthCo,mmimmi或1 1 1 -；=+ m m mim + m2X、=9mi + in z直角坐標(biāo)系：小、mx + nii/ 、_ /Hi2 = +mi）相對運(yùn)動以質(zhì)點(diǎn)2作為平動參考系（非慣性）研究質(zhì)點(diǎn)1相對運(yùn)動mrfn =戸 n mr2 廠12 =廠I 廠2二 戶 m - F m - m + im 戶mr 2 = r 12r 2 = r 12r 丨2 =r 12mim2mim + m2_約化質(zhì)量Reduced mass /0,例(p241)：兩個完全相同的滑塊“和b,其質(zhì)量均為m

11、，用 輕彈簧將它們連接，彈簧的原長為1,勁度系數(shù)為k。將整 個系統(tǒng)放在光滑桌面上，并保持靜止。在某個時刻(記 t=0),突然給滑塊a個沖量，使它獲得向右的初速度v 求解它們的運(yùn)動。%分析：兩體叵1題噸=-k(xa Xb-從 mxh=+k(xa-xb-l)質(zhì)心運(yùn)動方程記：Xa =兀7 -忑- /相對運(yùn)動方程a與b#目對于質(zhì)，各作簡諧振動，它m的位相正好相反。a與b#目對于質(zhì)，各作簡諧振動，它m的位相正好相反。x： = Acos(er + 0)=嚴(yán)cos(er-/2) = 77sin cot.a與b#目對于質(zhì)，各作簡諧振動，它m的位相正好相反。xa -xh v0 cos a)t.xa =號(1 +

12、 cos 勁), xh =今(1 -cosm).a與b#目對于質(zhì)，各作簡諧振動，它m的位相正好相反。叫2Xy/m2k+ m2Xy/m2kml + m+ m2xJm1kV|W = vc+p/= Vmx + m2兩質(zhì)最分別為ml和m2的物體置于光滑水平面上 由一彈性系 數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連?，F(xiàn)將物體2由平衡位置向左移動個距 離L以后釋放.求：(I)物體1剛剛離開墻壁時兩個物體的速 度：(2)此后物體運(yùn)動過程中物體1和2的最人速度：(3)求 解物體1位置與時間的關(guān)系。I? 1kZPywwyAAOv. .Xylmk= vctsm cot = 2一:+ /w.竺一xsin初CD加+ ZWr2005決賽第

13、六題宀b、c. d是位于光滑水平桌面上的四個小物塊，它 們的質(zhì)量均為嘰 心b間有一自然長度為/,勁度系數(shù) 為如的彈贊聯(lián)接：c, 間有一自然長度為/,勁度系數(shù)為 灼的彈簧聯(lián)接。四個物塊的中心在同一直線上。如果趴 c發(fā)生碰撞，碰撞是完全彈性的，且碰掩時間極短。開 始時，兩個彈簧都處在口然長度狀態(tài)，物塊c、d靜止, 宀於以相同的速度V0向右運(yùn)動。試定量論述若k = k2,四個物塊相對于桌面怎樣運(yùn)動？若如=4灼，四個物塊相對于桌面怎樣運(yùn)動？開普勒 第三定律白勺 修正Fx = mvr2 / 廠=4 兀 2 E廠/ 廠F2 = /772v22 / 廠2 = 4 兀 2 m2r2 / T2.Newtons

14、third law tells us thatF = F2, and so we obtainThe total separation of the two bodies is given by a = g + 廠2 which givesrt = m2a / (m1 + m2)Combining this equation with the equation for & derived above and Newt ons law of gravitation gives Newtons form of Keplers third law:47r2/771r1 /T2 = Gm1m2/a2T

15、2 = 4兀2 a/G(mx + 2)Solution II:m v2 / a = Gm / a2v=2 7ta/Tm,=n71m2 / (mr + m2)T2 = 4 兀 2 3 / G(my + m2).練習(xí)：飛船環(huán)繞地球飛行時，處于失重狀態(tài)，因此不能用常 規(guī)儀器測竜重呈.以導(dǎo)出宇航員的質(zhì)量。太空實(shí)驗(yàn)室2號等飛船 配備有身體質(zhì)量測量裝置，其結(jié)構(gòu)是一根彈簧，一端連接椅子， 另一端連在飛船上的固定點(diǎn)。彈簧的軸線通過飛船的質(zhì)心.彈簧 的倔強(qiáng)系數(shù)為k=605.6N/m.(1) 當(dāng)飛船固定在發(fā)射臺上時，椅子(無人乘坐)的振動周期 #算椅手的質(zhì)量叫(2) 當(dāng)飛船環(huán)繞地球飛行時.宇航員束縛在椅子上，再次

16、測量 椅子的振動周期TJ測得=2.33044$ ,于是宇航員粗略地估算自 己的質(zhì)量。他對結(jié)果感到疑惑。為了得到自己的真實(shí)質(zhì)量，他再 次測量了椅子(無人乘坐)的振動周期.得到劉化問宇航員的真實(shí)質(zhì)量是多少？飛船的質(zhì)量是多少？ 注：彈簧的質(zhì)量可以忽略，而宇航員是飄浮著。(2)M =2001 燈(I)幾=2珂m0 = 25.21 Egf mMm =M加0 _ ( %/n= 83.3kgtn = 8693Egm 一 m) = 86.93-25.21 = 61.12kg例6 （ Pill ）:豎直上拋的物體，最小應(yīng)具有多大的初速度V。才不再回到地球？（第二宇宙速度或 逃逸速度）隔離物體 具體分析（萬有引力

17、）p建立坐標(biāo)運(yùn)動方程（及初始條件）-mg求解及分析分離變厲11 用 x = dv/dt = vdv! dx 得 -mg -dx = mvdv作定積分：一企= f加知左整埋得：+ /nr2 mgt mv mgRx分析：牛店-2外誓0第二宇宙速度或逃逸速度v0 = yf2R Q 展藥而莎i米/秒=112 X10米/秒a. 如果vvg物體上升的最大高度是多少?從某一高度落到地面的速度是多少？例7 （ P113）:光滑桌面上有一物體，質(zhì)量為叫 系于 彈簧的一端。今將彈簧拉長X。，并給物體以初速度V。后 任其運(yùn)動，試求解這物體的運(yùn)動。彈簧的勁度系數(shù)為k區(qū)隔離物體kx = mxdx / dx具體分析（彈性

18、恢復(fù)力） 建立坐標(biāo)（一維，平衡點(diǎn)） 二運(yùn)動方程（及初始條件） kx= nix分離雪* kxdx= inxdx求解及分析作定積分：皿違皿軽1/為輕再積分:牛宀J含蜃霽dx k恢復(fù)力驅(qū)使系統(tǒng)回復(fù)平衡位置，慣性則阻止系統(tǒng)停留在平衡位置。+ 4*占 + 占JCXarcsinarc sin =、記:arcsin亠=甲+ 兀AAA1通解：x = Acos( / + cp) V m諧振動方程 圓頻率：CD y/k / m仮歸 有-密度為 創(chuàng)細(xì)棒.氏度為人其上端用細(xì)線懸著.下端緊 帖著密度為 門的液體衣面?，F(xiàn)將懸線訥斯，求細(xì)棒恰好全部沒 入液體中時的沉降速度。設(shè)液體沒冇粘性。棒在水中作什么運(yùn)動?解： D dv Or B = m, m = psidtplsg-gg=psl &G plsg, B psxg dv式子兩邊乘以dx- Pfgx)djc =