圓錐曲線解題技巧和方法綜合(全)

1、PF1F2 PF2F1 圓錐曲線的解題技巧 、常規(guī)七大題型: (1)(1) 中點(diǎn)弦問題 具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法(點(diǎn)差法) ：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(xyj， (x2,y2)，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式(當(dāng)然在這里也要注意 斜率不存在的請(qǐng)款討論)，消去四個(gè)參數(shù)。 2 2 如：(1)篤 每 1(a b 0)與直線相交于 A、B,設(shè)弦 AB中點(diǎn)為 M(xo,yo)，則有 a b PF1F2 PF2F1 Xo 2 a 匹k b2k 2 x (2) 2 a 2 與 1(a 0,b 0)與直線I相交于 A B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為 M(xo,yo)則有 b xo (3)y2=2px

2、( p0)與直線 l相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(xo,yo),則有2yok=2p,即yok=p. 典型例題 2 給定雙曲線X2七1。過A( 2，“的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)p1及p2， 求線段P1 P2的中點(diǎn)P的軌跡方程。 (2(2)焦點(diǎn)三角形問題 橢圓或雙曲線上一點(diǎn) P，與兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭 橋。 2 2 典型例題 設(shè)P(x,y)為橢圓 x y 2 2 1上任一點(diǎn)， 只(c,o)， F2(c,o)為焦點(diǎn), (2)求|PF PF2I3的最值。 (3)(3) 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判

3、 別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想， 通過圖形的直觀 性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的定義去解。 典型例題 拋物線方程y2 p(x 1) (p 0)，直線x y t與x軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。 (1) 求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn) (2) 設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為 A、B,且0A丄0B,求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。 (4)(4) 圓錐曲線的相關(guān)最值(范圍)問題 圓錐曲線中的有關(guān)最值(范圍)問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。 若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則

4、可建立目標(biāo)函數(shù)(通常利用二次函 數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式)求最值。 (1),可以設(shè)法得到關(guān)于 a的不等式，通過解不等式求出 a的范圍，即：“求范圍，找不 等式”或者將a表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出 a的范圍；對(duì)于(2)首 先要把 NAB的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值 ，即：“最值問題，函數(shù)思 想” 最值問題的處理思路： 1、 建立目標(biāo)函數(shù)。 用坐標(biāo)表示距離， 用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題， 關(guān) 鍵是由方程求x、y的范圍； 2、 數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想； 3、 利用判別式，對(duì)于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值； 4、 借助均

5、值不等式求最值。 典型例題 已知拋物線y2=2px(p0),過M (a,0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn) A、B, |AB| 2p (1)求證離心率e sin( )； : ； sin sin (1)求a的取值范圍；(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求厶N(yùn)AB面積的最大值。 (5)(5) 求曲線的方程問題 1曲線的形狀已知- 這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。 典型例題 已知直線L過原點(diǎn)，拋物線 C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸正半軸上。若點(diǎn) A( -1，0)和 點(diǎn)B( 0，8)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在 C上，求直線L和拋物線C的方程。 2 曲線的形狀未知-求軌跡方程 典型例題 (6)(

6、6) 存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題 在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線， 求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。 (當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來 解決) X2 y2 典型例題 已知橢圓 C的方程 1，試確定 m的取值范圍，使得對(duì)于直線 4 3 y 4x m，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱 (7)(7) 兩線段垂直問題已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn) Q (2, 0)和圓C: 點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù) 求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。 M 2 典型例題 2 2 求經(jīng)過兩已知圓 C1: x y 4x 2y 0 和 C2: x 2 y 2y

7、 4 0 的 x1 x2 運(yùn)算來處理。 典型例題 已知直線l的斜率為k，且過點(diǎn)P（ 2,0），拋物線C:y2 4（x 1），直線I與 拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（如圖）。 （1） 求k的取值范圍； （2） 直線I的傾斜角 為何值時(shí)，A、B與拋物線C的焦點(diǎn)連線互相垂直。 四、解題的技巧方面： 在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計(jì)算量較大。 事實(shí)上，如果我們能夠充分利用 幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量。 下面舉例說明： （1 1）充分利用幾何圖形 解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時(shí)，除了運(yùn)用代 數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件

8、，并結(jié)合平面幾何知識(shí)，這往往能減少計(jì)算量。 典型例題 設(shè)直線3x 4y m 0與圓x2 y2 x 2y 0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為 坐標(biāo)原點(diǎn)，若 OP OQ，求m的值。 （2 2）充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略 我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它， 而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中 點(diǎn)等問題中常常用到。 典型例題 已知中心在原點(diǎn) O,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線 y x 1相交于P、Q兩點(diǎn)， 且OP OQ，|PQ| ，求此橢圓方程。 2 （3 3）充分利用曲線系方程 利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。 圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用 ki k2 yi y2

9、i來處理或用向量的坐標(biāo) 交點(diǎn)，且圓心在直線 丨：2x 4y 1 0上的圓的方程。 (4)(4) 充分利用橢圓的參數(shù)方程 橢圓的參數(shù)方程涉及到正、 也是我們常說的三角代換法。 余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題.這 2 典型例題 P為橢圓篤 a 2 y2 1上一動(dòng)點(diǎn)，A為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，求四 b 邊形OAPB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)。 (5)(5) 線段長(zhǎng)的幾種簡(jiǎn)便計(jì)算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程 則|AB| 1 k2 |xA xB| .1 k2，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算 |a| 過程。 例 求直線x y 1 0被橢圓x2 4y2 1

10、6所截得的線段AB的長(zhǎng)。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算 在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)時(shí)， 由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)， 結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線 的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。 2 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，AB是經(jīng)過F1的弦，若|AB| 8，求值 9 | F2AI |F2B| 禾U用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離 例 點(diǎn)A (3, 2)為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y2 4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y2 4x上 移動(dòng)，若|PA| |PF|取得最小值，求點(diǎn) P的坐標(biāo)。般地，求直線與圓錐曲線相交的弦 AB長(zhǎng)的方法是：把直線方程 y kx b代入圓錐 曲線方程中，得到型如 ax2 bx c 0的方程，方程的兩根設(shè)

11、為 xA， xB，判別式為, 2 片、F2是橢圓 25 圓錐曲線解題方法技巧歸納 第一、知識(shí)儲(chǔ)備: 1.1. 直線方程的形式 (1) 直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、 一般式。 (2) 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容 傾斜角與斜率k tan , 0,) 點(diǎn)到直線的距離d Axo By。羋 夾角公式： VA2 B2 tan Ji 1 k2k1 (3) 弦長(zhǎng)公式 直線y kx b上兩點(diǎn)A(X|, yj, B(x2, y2)間的距離： AB 71 |為x2 J(1 k2)(xi X2)2 4X1X2或 AB 斤1 y2 (4) 兩條直線的位置關(guān)系 l1 l2 k1k2= =- -1 1

12、l1 /12 k1 k2且 b1 b2 2 2、 圓錐曲線方程及性質(zhì) (1)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？(三種形式) 2 2 標(biāo)準(zhǔn)方程：1(m 0, n 0 且 m n) m n 距離式方程：.(x c)2 y2 . (x c)2 y2 2a 參數(shù)方程： x a cos , y bsin (2)(2) 、雙曲線的方程的形式有兩種 2 2 標(biāo)準(zhǔn)方程：-1(m n 0) m n 距離式方程： | ；(x c)2 y2 . (x c)2 y2 | 2a (3)(3) 、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？ 橢圓：近；雙曲線：玄；拋物線：2p a a (4)(4) 、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？ b2 t

13、an 2 P 在雙曲線上時(shí)，S FPF2 b2 cot ,t | PF |2 | PF |2 4c2 uur ujrn uur uimr (其中 F1PF2 ,COS 】1鳥尙，PF?PF2 |PF1|PF2|COS (6)(6) 、 記住焦 半 徑公式： (1 1 ) 橢圓焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)為 a exg；焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)為 a ey ，可簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減” (2) 雙曲線焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)為 e|x01 a (3) 拋物線焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)為| x, | 2,焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)為| % | 2 如: 已知F,、 2 2 F2是橢圓勻七1的兩個(gè)焦點(diǎn), 平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn) M M 足MF

14、! MF2 2則動(dòng)點(diǎn) M M 的軌跡是( A A、雙曲線; B B、雙曲線的一支；C C、兩條射線; D D、一條射線 (5)(5)、焦點(diǎn)三角形面積公式：P 在橢圓上時(shí)，SF1pF2 設(shè) A x, y, 2 仝1的弦AB中點(diǎn)則有 3 (6)(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？ _ 第二、方法儲(chǔ)備 1 1、點(diǎn)差法(中點(diǎn)弦問題) 2 B X2,y2，M a,b 為橢圓 4 2 2 2 2 2222 仝生1,空空1 ;兩式相減得二竺 上上 0 4 3 4 3 4 3 xi X2 捲 X2 yi y2 yi y2 3a 4 3 kAB一不 2 2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類

15、的問題嗎？ 經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦？ 設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到 一個(gè)二次方程，使用判別式 0，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦 長(zhǎng)公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)A(X!, yi), B(X2, y2)，將這兩點(diǎn)代入曲線方 程得到兩個(gè)式子，然后 - -，整體消元 . ,若有兩個(gè) 字母未知數(shù)，貝 S 要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過焦點(diǎn)， 則可以利用三點(diǎn) A A、B B、F F 共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋 找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。 一旦設(shè)直線 為y kx b，就意味著 k k 存在。 例 1 1、已知三角形 ABCABC 的三個(gè)頂點(diǎn)均

16、在橢圓4x2 5y2 80上，且點(diǎn) A A 是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)(點(diǎn) A A 在 y y 軸正半軸上). . (1) 若三角形 ABCABC 的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線 BCBC 的方程； (2) 若角 A A 為900 , ADAD 垂直 BCBC 于 D D，試求點(diǎn) D D 的軌跡方程. . 分析：第一問抓住“重心”，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn) 弦 BCBC 的斜率，從而寫出直線 BCBC 的方程。第二問抓住角 A A 為90可得 出 ABAB 丄 ACAC,從而得X1X2 y”2 14(y1山16 0，然后利用聯(lián)立消元 法及交軌法求出點(diǎn) D D 的軌跡方程； 解：(1 1)設(shè)

17、 B B ( X1, ,y1) ,C(,C(X2, ,y2 ),BC ),BC 中點(diǎn)為( (x。, y。),F(2,0),F(2,0)則有 2 2 2 2 XL XL 1XL Xi 20 16 120 16 F(2,0)F(2,0)為三角形重心，所以由X1 X2 2，得xo 3，由y1 y2 4 0得 3 3 y 2，代入(1 1)得k 6 5 直線 BCBC 的方程為6x 5y 28 0 2)2)由 AB AB 丄 AC AC 得 x1x2 y1 y2 14( y1 y2) 16 0 (2 2) 設(shè)直線 BC BC 方程為 y kx b,代入 4x2 5y2 80 , 得 (4 5k2)x2

18、 10bkx 5b2 80 0 5b2 80 4 y _ 4)，設(shè) D D ( x,yx,y)，則一9 以 1，即 9 x x 2 2 9y 9x 32 y 16 0 所以所求點(diǎn) D D 的軌跡方程是x2 （y 4 4、設(shè)而不求法 例 2 2、如圖，已知梯形 ABCDABCD 中AB 成的比為雙曲線過 C C、D D、E E 三點(diǎn)，且以A、B B 為焦點(diǎn)當(dāng)3 3時(shí), 求雙曲線離心率e的取值范圍。 兩式作差有 (X1 X2)(X1 X2) (y1 y2)(y1 山 20 16 (1)(1) 10kb X1 X2 4 5k2， X1X2 4 5k2 y1 y2 8k 4 5k2 ,y1 y2 4b

19、2 80k2 4 5k2 代入（2 2）式得 2 9b 32b 16 4 5k2 0 ,解得b 4（舍）或b 直線過定點(diǎn)（0 0 , 。曽乎 0 分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念 和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。建 f(a,b,c, ) 0，整理f(e, ) 0，此運(yùn)算量可見是難上加難我們對(duì)h可 米取設(shè)而不求的解題策略， 建立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c, ) 0 ,整理f(e, ) 0, ,化繁為簡(jiǎn). . 解法一：如圖，以 ABAB 為垂直平分線為y軸，直線 ABAB 為x軸, 建立直角坐標(biāo)系xOy ,則 CDCD 丄y軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn) C C、

20、D D，且以 A A、 由點(diǎn) C C、E E 在雙曲線上，將點(diǎn) C C、E E 的坐標(biāo)和e -代入雙曲線方 a 程得 e2 4 h2 1 b2 1， e2 4 2 1 1 1 b2 由式得 h2 b2 2 , 立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，若設(shè) C C2，h ，代入右 1,求得h L， 進(jìn)而求得xE L , yE 2 y b2 建立目標(biāo)函數(shù) B B 為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知 C C、D D 關(guān)于y軸對(duì)稱 a b a 將式代入式，整理得 e2 4 4 1 2 1 3 2 e 1 扌得， 2 1 3 3 3 2 e 2 4 解得 7 e ,10 所以雙曲線的離心率的取值范圍為.7, J0 標(biāo)表示，回

21、避h的計(jì)算，達(dá)到設(shè)而不求的解題策略. 設(shè) 1 1 4 4 得，站 解得 -7 e JO 所以雙曲線的離心率的取值范圍為一 7, JO 5 5、判別式法 例 3 3 已知雙曲線C匸x! 1，直線I過點(diǎn)A ,2,0，斜率為k，當(dāng)0 k 1 2 2 時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn) B B 到直線I的距離為 2，試求k的 值及此時(shí)點(diǎn) B B 的坐標(biāo)。 分析 1 1:解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因 此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. .從“有且僅有” 這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過點(diǎn) B B 作與I平行的直線，必 與雙曲線 C C 相切. .而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)

22、造方程的判別式分析：考慮AE , AC為焦半徑，可用焦半徑公式, , AE ,AC用E,C的橫坐 解法二：建系同解法一, XE c c 2 _ 2_C 1 2 1 AE a exE , AC exC , 斧，由題 2 0. .由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路: 直線 I在 I的上方且到直線 I的距離為.2 l: y kx 2k把直線l的方程代入雙曲線方程，消去 解得 k 的值 解題過程略. . 分析 2 2:如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式 表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn) B B 到直線I的距離為42 ”，相當(dāng)于化歸 的方程有唯一解. .據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路： 問題 I 關(guān)于x的方程

23、- kx J2 x2 V2k d 1 “ 0 k 1有唯一 1 ”轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題 求解 y,令判別式 k(x 0 k 1 簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn)M(x, 2 x2)為雙曲線 C C 上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn) M M 到直 線I的距離為： kx 2 x2 2k 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程. . 由于0 k 1，所以2 x2 x kx，從而有 kx PQ MF,MP FQ k PQ 3x2 2 4mx 2m 兩根之和, 兩根之積 uuir uuir MP ? FQ 0 得出關(guān)于 m的方程 解出m (H)假設(shè)存在直線I交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且F恰為PQM的垂心, 設(shè) P(Xi,yJ,Q(X2, y

24、2)M (0,1),F(1,0)，故 kpQ 1 , 于是設(shè)直線l為 y x m , 由 y 2 X x m 得 2 彳3x2 4mx 2m2 2 0 uur T MP uuu FQ 0 為區(qū)1) y2(% 1) 又y Xi m(i 1,2) 得 X (X 1) (x2 ；m)(x! m 1) 0 即 2為乂2 (為 x2)(m 1) m2 m 0 由韋達(dá)定理得 匚 4 4 解得m 3或m 1 (舍)經(jīng)檢驗(yàn)m 3符合條件. 點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊， 然后轉(zhuǎn)化為兩 向量乘積為零. 例 7 7、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過 A( 2,0)、B(2,0)

25、、C 1,-三點(diǎn). 2 (I)求橢圓E的方程： (H)若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)( 1,0), H (1,0), 當(dāng)厶DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求 DFH內(nèi)心的坐標(biāo)； 思維流程： - 設(shè)方程為mx2 ny2 1 / T 由橢圓經(jīng)過A、B、C三點(diǎn) 得到m, n的方程 (I) 解出m,n 2m2 2 3 4m (m 1) m2 解題過程： (I)設(shè)橢圓方程為 mx2 ny2 1 m 0, n 0 將 A( 2,0)、B(2,0)、C(1,|)代入橢圓E的方程，得 4m 1, 2 2 9 解得m - ,n -. .二橢圓E的方程X 1 . m n 1 4 3 4 3 4 (n) |

26、FH | 2，設(shè)ADFH 邊上的高為 S DFH 1 2 h h 2 當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為-.3，所以S DFH的最大值為G . 設(shè)ADFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)?DFH的周長(zhǎng)為定值 6 6.所以, 所以直線AB的方程為x 3y 1 r內(nèi)切圓 3- DFH面積最大值為J3 S DFH 周長(zhǎng)r內(nèi)切圓 2 1 轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大 D為橢圓短軸端點(diǎn) (H) 由 DFH內(nèi)切圓面積最大 轉(zhuǎn)化為 DFH面積最大 得出D點(diǎn)坐標(biāo)為 0, .3 3 S DFH 1R (k2 1)x1x2 (k2 m)(x1 x2) k2 m2.將代入，整理得 所以R的最大值為呂所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)

27、為(0 點(diǎn)石成金： s的內(nèi)切圓的周長(zhǎng) r的內(nèi)切圓 2 例 8 8 已知定點(diǎn)C( 1,0)及橢圓X2 3y2 5 ,過點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓 相交于A, B兩點(diǎn). . (I)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 -，求直線AB的方程； 2 (H)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使MA MB為常數(shù)？若存在，求出 點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由. . 思維流程: (I)解：依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為 設(shè)人(人，yj，B(X2，y2)， k 3，符合題意。 3 * (H)解：假設(shè)在X軸上存在點(diǎn) M (m,0)，使MA MB為常數(shù). . 36k4 4(3k2 1)(3k2 5) 則 6k2 x X2 3i6

28、T 0, (1) X2 白線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 得 X1 x2 、2 3k2 3k2 1 當(dāng)直線 AB與 x軸 不垂直時(shí) ，由(I )知 X-| x2 6k2 3k2 1 x(x2 3k2 5 3k2 1 所以MA MB以 m)(x2 m) yM (% m)(x2 m) k2(x1 1)(X2 1) y k(x 1)， 將 y k(x 1)代入 x2 3y2 5， 消去y整理得(3k2 1)X2 6k2x 3k2 5 0. 0，或 x、3y 0. . 1 8 2 1 2 14 (2m -)(3k2 1) 2m - 3 3 3k3 4 1 a 2b 則4 1 -2 2 uur uur MA M

29、B (6m 1)k 5 m2 3k2 1 注意到MA MB是與k無關(guān)的常數(shù), uur umr 4 MA MB -. 9 當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為 7時(shí)，亦有MA MB 3 9 綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M 7,0，使MA MB為常數(shù). . 3 例 9 9、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x x 軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 2 倍且經(jīng)過點(diǎn) M M (2 2，1 1)，平行于 OMOM 的直線I在 y y 軸上的截距為 m m (m m 工 0 0)， l交橢圓于 A A、B B 兩個(gè)不同點(diǎn) (I)求橢圓的方程； (H)求 m m 的取值范圍； (皿)求證直線 MAMA、MBM

30、B 與 x x 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形 思維流程： 2 2 解: (1 1)設(shè)橢圓方程為務(wù)占1(a b 0) a bm2 2m 6m 14 3(3k2 1) 點(diǎn)石成金: uuu nur MA MB (6m 1)k2 5 3k2 1 1 2 14 (2m )(3k2 1) 2m - _ 3 3 3k2 1 m2 2m 6m 14 3(3k2 1) 7 7 - - 3 3 m m 7 7 2 1 解得：2 2 橢圓方程 (H)v直線|平行于 OMOM，且在 y y 軸上的截距為 m m 又KOM = =1 l 的方程為：y 1 x m 2 2 y 1 x m 由2 2 2 2 x 2mx 2m2

31、 4 0 x y 1 8 2 V直 線 l l 與 橢圓交 于 A A、 B B 兩個(gè)不同點(diǎn)， (2m)2 4(2m2 4) 0, 解得 2 m 2,且 m 0 (皿)設(shè)直線 MAMA、MBMB 的斜率分別為 k ki, k k2,只需證明 k ki+k+k2=0 =0 即可 設(shè) A(xn yi), B(x2, y2),且治 x? 2m,XiX2 2m2 4 則ki以,k2 Q x1 2 x2 2 由 x2 2mx 2m2 4 0 可得 x1 x2 2m, x1x2 2m 4 而 k1 k2 y1 1 y2 1 (y1 1) (X2 2) (y2 1)(X1 2) x1 2 x2 2 (X1

32、2)(X2 2) 1)(X2 2) (*X2 m 1)(xi 2) (x 2)(X2 2) x1x2 (m 2)( x1 x2) 4(m 1) (X1 2)(X2 2) 2m2 4 (m 2)( 2m) 4(m 1) (X1 2)(X2 2) 2 2 2m 4 2m 4m 4m 4 0 (X1 2)(X2 2) 0 ki k2 0 故直線 MAMA、MBMB 與 x x 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形 點(diǎn)石成金：直線 MAMA、MBMB 與 x x 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形 ki k2 0 例 1010、已知雙曲線 冷 爲(wèi)1的離心率e ，過A(a,0), B(0, b)的直 a b 3 線到原點(diǎn)的距

33、離是. 2 (1 1)求雙曲線的方程； (2(2)已知直線y kx 5(k 0)交雙曲線于不同的點(diǎn) C C， 在以B為圓心的圓上，求k的值. . 思維流程: D D 且C，D都 2 原點(diǎn)到直線AB : 3 ， X 1的距離 b d ab d /a2 b2 b 1, a 、3. ab c .3 2 故所求雙曲線方程為 故所求k= 士 7 .7 .(2 (2 ) 把y kx 5代入 x2 3y2 3中消去 ，整理得 (1 3k2)x2 30 kx 78 0. . 設(shè)C(xi,yi), D(x2, y2),CD 的中點(diǎn)是 E(x0,y。)，則 X1 X2 X。 2 1 k y。 1 k BE X15

34、 k 3k2 y 1 k . kx X。 ky k 0, 即號(hào)需 0,又 k 0, k 2 點(diǎn)石成金：C, D都在以B為圓心的圓上 BC=BD BEBC=BD BE 丄 CD;CD; 例 1111、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，橢圓C上的 點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 3 3,最小值為 1 1. (I) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (II) 若直線i：y=k=kx+ +m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是 左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn).求證: 直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 思維流程： 2 2 解：(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 務(wù)占1(a b 0), a b 由已知得：a c 3, a c 1, (II (II )設(shè) A(x1, yj, B(x2, y2). y kx m, 聯(lián)立x2 y2 1. 4 3 得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3) 0，則 64m2k2 16(3 4k2)(m2 3) 0,即 3 4k2 m2 0, 8mk x! x2 2 , 3 4k 2 4( m 3) X1X2 2 . 3 4k 2 2 (kx1 m)(kx2 m) k x-ix2 mk(x1 x2) m 因?yàn)橐訟B為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0), a 2, c 1, b2 a2 c2 3 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為- 4 3(m2 4k2) 3 4k2 又yy