第五章大數(shù)定律與中心極限定理切貝謝夫不等式

1、第五章第五章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理1 1 切貝謝夫不等式切貝謝夫不等式研究隨機(jī)變量的離差與方差的關(guān)系。ed設(shè)隨機(jī)變量 有期望值與方差。對(duì)任給 0,有2dp(|e |) 2dp(|e |)1 稱為切貝謝夫不等式若 是離散證：型隨機(jī)變量。kkp(x )p kk|xe |p(|e |)p(x ) k2kk2|xe |(xe )p 2kk2k(xe )p 2d若 是連續(xù)型隨機(jī)變量。(x)的概率密度為p(|e |)p(e)p(e) ee(x)dx(x)dx22e22e(xe )(xe )(x)dx(x)dx 22(xe )(x)dx 2d1 設(shè) 是擲一顆骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若給定1

2、，2，實(shí)際計(jì)算p(| -e |),并驗(yàn)證切貝謝夫不例等式成立。1p(k),k1,2,.,66 解：7e2 35d12 72p12371p223235112 d時(shí)，235248 d時(shí)，2313021000設(shè)電站供電網(wǎng)有盞電燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，而假定開、關(guān)事件彼此獨(dú)立，估計(jì)夜晚同時(shí)開著的燈數(shù)在6800與7200之間例的概率。令 表示夜晚同時(shí)開著的燈解：的數(shù)目。b(10000,0.7) 7199kk10000 k10000k 6801p(68007200)c0.7 0.3 用切貝謝夫不等式估計(jì)：enp 7000dnpq 2100p(68007200)p(|7000| 200) 22

3、1001200 0.951nniiii 1,.,n1e,d8,(i1,2,.,n),n3 若是 個(gè)相互獨(dú)立，同分布的隨機(jī)變量，。對(duì)于 寫出 所滿足的切貝謝夫不等式，并估計(jì)例p(| - |0,n充分大時(shí)，必有n+1 且nnnlimp(|0|) n1limpn n1lim 1n=1 n即依概率收斂于0n3設(shè)為例兩點(diǎn)分布 n1aaa nn定義若存在常數(shù) ，使對(duì)于任何 0，有l(wèi)imp(|0nlimpp1n 大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻率接近于概率。若p(a)很小，則a發(fā)生的頻率也很小如p(a)=0.001,約在1000次試驗(yàn)中，a發(fā)生一次在一次試驗(yàn)中認(rèn)為a幾乎不可能發(fā)生。這稱為小概率事件的實(shí)際不可能性

4、原理。12inini 13 (),.a(i1,2,.)1limpa1n 定理辛欽大數(shù)定律 如果是相互獨(dú)立有相同分布的隨機(jī)變量,有e則對(duì)任意給定的 0，有12n,., 即的算術(shù)平均值依概率收斂于a實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)某一量a，在不變條件下重復(fù)測量n次，得到觀察值x1,xnnii 1nxa1當(dāng) 充分大時(shí)，可用作為 的近似值。n3 3 中心極限定理中心極限定理釘板試驗(yàn)研究在什么條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限，這一類定理稱為中心極限定理。一般地，若某項(xiàng)偶然因素對(duì)總和的影響是均勻的、微小的，即沒有一項(xiàng)起特別突出的作用，則這些大量獨(dú)立偶然因素總和的隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布。212iiii,.e

5、a ,d 設(shè)相互獨(dú)立，innii=1若每個(gè) 對(duì)總和 影響不太大，則當(dāng) 很大時(shí)，近似服從正態(tài)分布。nnnn2iiiii 1i 1i 1i 1eea ,dd 由于nn2iii 1i 1na ,nii 1n2ii 1an(0,1)這就是如下的李雅普諾夫定理：212iiiiinii 1nii0ni 1n1.ea ,d,limp(a )x(x) nn2ii=1定理設(shè) ， ，相互獨(dú)立，若某個(gè) 對(duì)總和影響不大，令s 則1s例1 一個(gè)螺絲釘重量是一個(gè)隨機(jī)變量，期望值是1兩，標(biāo)準(zhǔn)差是0.1兩。求一盒(100個(gè))同型號(hào)螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2斤的概率。100iiii1設(shè)第 個(gè)螺絲釘重量為 ，一盒重量為 解：211

6、00ii0.1,d0.1 ,.,相互獨(dú)立，e100ii 1ee100() 兩100ii 1dd1 n(100,1)近似服從正態(tài)分布p(102) 100p211001 p21 01(2) =0.02275例2 對(duì)敵人的防御地段進(jìn)行100次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個(gè)隨機(jī)變量，其期望值為2，方差為1.69。求在100次轟炸中有180顆到220顆炸彈命中目標(biāo)的概率。ii第 次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù)為解：100ii1100次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù) 100ii1ee200 100ii1dd169 d13 2n(200,13 ) p(180220) |200|20p131302(1.54) 10.876

7、4414848ii1.011,483設(shè) ，相互獨(dú)立，都是，上均勻分布。記 求p(例0.4)ii11,d212 法一：e解48ii1e24,d4 記 ,2n(24,2 ) 148因?yàn)?p(0.4) 1p0.448 p(19.2) 2419.224p220( 2.4) 01(2.4) =0.008158解法二：正態(tài)分布的線性函數(shù)也是正態(tài)分布48ii1ee48 1120.548i2i1dd48 11576212421n 0.5,240.50.40.5p(0.4)p112424 0( 2.4) =0.008158例4 某大型商場每天接待顧客10000人，設(shè)某位顧客的消費(fèi)額(元)服從100,1000上的

8、均勻分布，且顧客的消費(fèi)額是獨(dú)立的，試求該商場的銷售額在平均銷售額上、下浮動(dòng)不超過20000元的概率。ii第 位顧客消費(fèi)額位 ，商場銷解售額為：10000ii1ie550 2i1d(1000 100)12 2900122900e5500000,d1000012 550000020000p100 900100 9001212p(550000020000550000020000) 02(0.77) 1 0.56例5 計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法時(shí)，每個(gè)加數(shù)取整數(shù)(四舍五入)，設(shè)所有取整誤差是相互獨(dú)立的，且它們都在-0.5，0.5上服從均勻分布。(1)若將1500個(gè)數(shù)相加，問誤差總和的絕對(duì)值超過15的概率是多少？

9、(2)最少幾個(gè)數(shù)相加在一起可使得誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率不超過90？121500(1). 解：ie0 i1d12 e0 d125 p(| 15) 1 p(| 15) |0|151 p125125 01 (2(1.34) 1) =0.18024(2)設(shè)有n個(gè)數(shù)相加12n.,e0 nd12 |0|10p(| 10)pnn1212 01021n12 0.90100.95n12即101.64n12n446解得二項(xiàng)分布可以看成多個(gè)0-1分布之和當(dāng)n增加時(shí)，它以正態(tài)分布為極限。00ab(b)(a)bnpanpnpqnpq (2)積分極限定理：當(dāng)n時(shí)p()02 ()(1)nknpnpq 定理拉普拉斯定

10、理局部極限定理：當(dāng)時(shí)1p( =k)npq例6 10部機(jī)器獨(dú)立工作，每部停機(jī)的概率為0.2，求3部機(jī)器同時(shí)停機(jī)的概率。設(shè)同時(shí)停機(jī)的數(shù)目為 ，它服從解：二項(xiàng)分布n10,p0.2np2npq1.265(1)直接計(jì)算33710p(3)c 0.2 0.80.2013 (2)用局部極限定理001knp132p(3)1.2651.265npqnpq 01(0.79)0.23081.265相差較大，這是因?yàn)閚較小。n30一般要求例7 每顆炮彈命中飛機(jī)的概率為0.01，求500發(fā)炮彈中命中5發(fā)的概率。500發(fā)炮彈中命中飛機(jī)的數(shù)目 服解：從二項(xiàng)分布n=500 p=0.01np5npq2.225(1)直接計(jì)算554

11、95500p(5)c0.01 0.09 0.1763501knpp(5)npqnpq (2)用局部極限定理01552.2252.22501(0)2.2250.1793(3)由于n很大，p很小，也可用poisson分布計(jì)算np5 查表得p5(5)=0.175467比用正態(tài)分布更精確正態(tài)分布與poisson分布都是二項(xiàng)分布的極限分布。n 用正態(tài)分布要求：poissonn,p0,np 用分布要求：np(q)對(duì) 很大，或很小的二項(xiàng)分布(np5)用poisson分布近似計(jì)算比用正態(tài)分布精確實(shí)際應(yīng)用更多的是積分極限定理廢品數(shù) 服解：從二項(xiàng)分布n=10000p=0.005np50, npq7.0532n(5

12、0,7.053 )近似服從正態(tài)分布507050p(70)p7.0537.053 0(2.84) =0.9977例8 產(chǎn)品為廢品的概率為p=0.005,求10000件產(chǎn)品中廢品數(shù)不大于70的概率。例9 已知一次試驗(yàn)中p(a)=0.75,分別用切貝謝夫不等式與中心極限定理計(jì)算。(1)在1000次試驗(yàn)中，a發(fā)生的次數(shù)在700-800之間的概率。(2)n取多大時(shí)，才能使n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中a出現(xiàn)的頻率在0.740.76間的概率至少為0.9？(1)a發(fā)生的次數(shù) 服從解：二項(xiàng)分布n=1000p=0.75enp750 dnpq187.5 用切貝謝夫不等式計(jì)算p(700800)p(|750| 50) 2187.5150 =0.925用正態(tài)分布計(jì)算p(700800)p(|750| 50) 75050p187.5187.502(3.65) 10.9997378 n(2) 次試驗(yàn)中a發(fā)生的次數(shù) 服從二項(xiàng)分布enp0.75n dnpq0.1875n 0.740.760.9要使pn用切貝謝夫不等式p 0.740.76p(0.74n0.76n)n p(|0.75n | 0.01n)20.1875n1(0.01n) 18751n 0.9n18750故用正態(tài)分布p 0.740.76p(|0.75n | 0.01n)n0.75n0.01np0.1875n0.1875n00.012n10.187