怎樣梯形中的輔助線

1、難點突破：怎樣做梯形中的輔助線梯形是一種特殊的四邊形，它是平行四邊形和三角形知識的綜合，通過適當?shù)靥砑虞o助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形的組合圖形，再運用三角形、平行四邊形的知識去解決梯形的有關問題。下面列舉數(shù)例，以說明梯形中常見輔助線的作法一、平移一腰法例1如圖1,梯形ABCD中，AB /CD，以AC、AD為邊作 ACED . DC的延長線交 BE 于 F.求證：EF=FB.簡析：在梯形 ABFD中，過C作CG/ BF交AB于G,由 GBFC得CG=FB， 再證 EDFAA CAG，得 EF=CG=FB .例 2 如圖 2,梯形 ABCD 中,AB/CD , ?d =80 c =50。求

2、證：AD = CD - AB o證明：過點A作AE/BC交DC于E,所以.AED = . C =50因為.匕D =80所以.DAE =50所以.AED 二.DAE所以AD =DE易證AB = EC ,所以 AD 二 CDAB二、平移對角線法過梯形上底的一個端點作某一條對角線的平行線，構造平行四邊形和三角形，從而引出證題思路。如：例3.女口圖2，梯形 ABCD中,AB/CD,中位線EF=7cm,對角線AC _BD,. BDC =30，求梯形的高。G C HD2圖2證明：過點B作BG/AC交DC的延長線于 G因為ac _bd , 所以 BG _BD , AB =CG因為.BDC =3011所以 B

3、G GD AB 亠 CD22因為 AB - CD =2EF ， 所以 BG 二 EF =7 因為 / BDC 二.GBH =30所以 GH = BG =3.5 ，2所以 BH = 72 -3.5 2例4.如圖2,等腰梯形 ABC沖，AD/ BC，AB=CD ACL BD 于O點.假設中位線長為匹求梯形ABC皿勺潮積S.簡析：由Tag丄BD, AC=BD,因此，過D作DE “AC交EC延長線于E爲可得 KDH為等腰直角三角形.又由6CED可得CE-AD, -BE=BC +AI )=2mp于是帀 沁DB瓦三、延長雙腰法延長兩腰相交于一點，可構造兩個三角形，利用這兩個三角形的有關條件和性質(zhì)進行證明，

4、也是常用的方法之一。如：例5.如圖5,梯形 ABCD中AB/CD, Na+NB =90 ° M N分別是AB CD的中點。、 1求證：MN (AB -CD ) 02圖5證明：延長AD BC相交于E, 因為.A心/B =90所以,:DEC和.AEB都是直角三角形 連結EM EN可知E、M N三點共線，在Rt.AAEB中，M是AB的中點， 所以EM =!AB21 同理可證：EN =_CD2例6如圖3,梯形ABCD中，AD /BC, E 為 AB 上一點，EF / AD 交 DC 于假設AD=2，BC=3,梯形AEFD的面積為5,梯形BCFE的面積為求EF的長.A簡析：延長BA與CD交于點

5、由AD0EF可得需，由0消SgS * BC,可得-WRC2 - AD51詮詈A代值得班詁越四、作高法個矩形，可過梯形上底的端點作梯形的兩條高，把梯形分割為兩個直角三角形和一 使證明的思路明朗化。如：例7.如圖4,梯形ABCD 中, AD/BC ,兩條對角線相交于 E, ab_ac，且AB=ACBD=BC求證：CD=CE證明：分別過點 A、D作AM _ BC于M DN _BC于N。 因為AB二AC , 所以 AM = 1 BC。2因為 BD =BC 且 DN =AM ,1所以 DN 二_ BD ,2所以 £DBN =30,易得 /BDC =75。因為.DEC 二.DBC 心/ ACB

6、=3045 =75 ,所以.BDC =. DEC ,所以CD=CE例8如圖4,梯形ABCD中AD / BC,AC=BD , AC丄BD于D點.且高為10cm , 求中位線MN的長度.圖4簡析：過 O 點作高 EF,由 AC1BD, AC=BD 可知 OE = AAD, OF = eG/.MN = i(AD + BQ =OE + OF = 10cm.五、作中位線法連結上底的一個端點與腰的中點并延長與下底的延長線相交， 角形能使證明的思路清晰明朗。如：借助所得的三例9 .如圖9,梯形ABC沖，2O求證：EF = 1 (AD - BC )。圖9證明：連結AF并延長交BC的延長線于點G先證"

7、df二gcf ,有 AD =CG ,AF =FG11易得 EF = BG =_(AD BC ) 022例10如圖5,梯形ABCD中，AD /BC, M、N分別是兩腰AB、CD的中點,ME / AN，交下底BC于E.求證：NE=AM簡析：連結 MN，先證 AMN MBE，可得 AMEN，于是AM=NE .六、作對角線法根據(jù)圖形中的條件，連結兩腰中點或過一腰的中點作平行線構成梯形的中位線，利用中位線的性質(zhì)來尋求解題思路，也是解梯形題目常見的方法之一。如：例11 .求證：直角梯形如圖 11,:ARCD . AD/7RC. -= =BE的兩個直角頂點到對腰中點的距離相等求證：CE = DE 0證明：過

8、E點作EF/BC交DC于F因為ae be且EF/AD/BC， 所以DF=CF 因為.C 二 Rt ?，所以 BC _DC， 所以 EF _DC 0所以CE =DE。例12如圖6,梯形ABCD中，兩底 AD、BC的中點為 M、N，貝U MN與AB、CD的關系是、AB + CD(A) MN> 了一AB + CD(B) MN< -、丫 AB + CD(QMn =(D)不能確定.簡析：連結ED,并連結其中點F與M、N,由三角形中位線可得PM=AAB, PN JcD,在ZXFMN中，MNvPM + PN = (AB 4 - CD),應選(B).W£七、三角形割補法即連結梯形一底端點

9、與腰(或?qū)蔷€)的中點，并延長與另一底相交構造全等三角形.這就相當于將梯形的一角割下，補在恰當位置構成三角形或平行四邊形.例 13 如圖 7,梯形 ABCD 中，AD / BC，Z C=90 ° , E 是 AB 中點， 求證：DE=CE .S7簡析：連結DE并延長，交CB延長線于F,由厶ADE凹ZXBFE得E為DF中點，又由于/XCDF 為 RtZ,于是 CE = fDF 二 DE.例14如圖8,梯形ABCD中.AD / BC，E、F是對角線BD、AC的中點,求證：EF = -(BC-AD).簡祈：連結DF并延長交BC于G.由三角形中位線定理得 EF=|BG,又由/XADF CGF 得 GC=AD ,BG = (BCAD),二EF=；BG,(BC-AD) 當然在梯形的證明和計算中，作的輔助線并不一定是單一的，有時可同時作兩種或兩 把梯形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形的有關知識來解決。種以上，目的是一致的，練習題1 .如圖 9,梯形 ABFD 中，AD / CE /BF, AC : CB=m : n, AD=a,BF=b,求CE的長