焦半徑公式的證明

1、焦半徑公式的證明【尋根】 橢圓的根在哪里？自然想到橢圓的定義：到兩定點(diǎn)Fi,K（| FiR|=2c）距離之和為定值 2a（2a>2c）的動(dòng)點(diǎn)軌跡（圖形）.這里，從橢圓的"根上”找到了兩個(gè)參數(shù)c和a.第一個(gè)參數(shù)c，就確定了橢圓的位置； 再加上另一個(gè)參數(shù) a,就確定了橢圓的形狀和大小.比較它們的“身 份”來，c比a更“顯貴”.2 J遺憾的是，在橢圓的方程二 ?里，卻看不到c的蹤影，故有人開玩笑地說：橢圓方程有“忘本”之嫌為了“正本”，我們回到橢圓的焦點(diǎn)處，尋找C，并尋找關(guān)于c的“題根” 一、用橢圓方程求橢圓的焦點(diǎn)半徑公式數(shù)學(xué)題的題根不等同數(shù)學(xué)教學(xué)的根基，數(shù)學(xué)教學(xué)的根基是數(shù)學(xué)概念，如

2、橢圓教學(xué)的根基是橢圓的定義 但是在具體數(shù)學(xué)解題時(shí)，不一定每次都是從定義出發(fā)，而是從由數(shù)學(xué)定義引出來的某些已知結(jié)論（定理或公 式）出發(fā)，如解答橢圓問題時(shí)，經(jīng)常從橢圓的方程出發(fā)【例1】 已知點(diǎn)P（X，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)l（-c,0 ）和F2（c,0）是橢圓的兩個(gè)焦CC-X-X點(diǎn).求證：|PF|=a+U ； | PF2|= a - d：.【分析】可用距離公式先將| PF|和| PR|分別表示出來.然后利用橢圓的方程“消y”即可.【解答】由兩點(diǎn)間距離公式，可知| PF|= J（斜詁+"（1）從橢圓方程一:. 解出二（）盤（2）代（2）于（1）并化簡，得c| PF|= 住(-aw xw

3、a)同理有 | PF2|=Lf (- aw xw a)【說明】通過例i,得出了橢圓的焦半徑公式ri=a+ex2=a-ex(ep )從公式看到，橢圓的焦半徑的長度是點(diǎn)P （x,y ）橫坐標(biāo)的一次函數(shù).ri是x的增函數(shù)，r2是x的減函數(shù)，它們都有最大值a+c,最小值a-c.從焦半徑公式，還可得橢圓的對稱性質(zhì) （關(guān)于x,y軸，關(guān)于原點(diǎn)）.二、用橢圓的定義求橢圓的焦點(diǎn)半徑用橢圓方程推導(dǎo)焦半徑公式，雖然過程簡便，但容易使人誤解，以為焦半徑公式的成立是以橢圓方程為其依賴的為了看清焦半徑公式的基礎(chǔ)性，我們考慮從橢圓定義直接導(dǎo)出公式來橢圓的焦半徑公式，是橢圓“坐標(biāo)化”后的產(chǎn)物，按橢圓定義，對焦半徑直接用距離公

4、式即可(a>c>0).試用【例2】P （x,y ）是平面上的一點(diǎn)，P到兩定點(diǎn)Fi（-c，0），F(xiàn)2（ c，0）的距離的和為2aX,y的解析式來表示 ri=| PF|和2=| PB|.【分析】問題是求ri=f （x）和2=g（x）.先可視x為參數(shù)列出關(guān)于 ri和2的方程組,然后從中得出2#ri 和2.【解答】依題意，有方程組#q + 乜=* q2 = (x+c)2 + y = u-c)2 + r-得.J -2c代于并整理得ri-r2=.聯(lián)立，得【說明】橢圓的焦半徑公式可由橢圓的定義直接導(dǎo)出,對橢圓的方程有自己的獨(dú)立性.由于公式中含c而無b其基礎(chǔ)性顯然.三、焦半徑公式與準(zhǔn)線的關(guān)系x=

5、為準(zhǔn)線的橢圓上任意一點(diǎn) PDL l 1于D.按橢圓的第二定義，則有二| FF |=總 | RD 卜 ©（畫 + 乞）=即 ri=a+ex,同理有2=a-ex.對中學(xué)生來講，橢圓的這個(gè)第二定義有很大的“人為性”因此，把橢圓的第二定義視作橢圓的一條性質(zhì)定理更符合邏輯性x=±.準(zhǔn)線 .缺乏定義的“客觀性”【例3】P（ x，y）是以F（ -c，0）, F2（c，0）為焦點(diǎn)，以距離之和為 2a的橢圓上任意一點(diǎn).直線l為x=- ：, PD丄 I 交 I 于 D.求證： '1.【解答】由橢圓的焦半徑公式| PF|=a+ex.PD|= x-=x+對| PD|用距離公式I【說明】 此

6、性質(zhì)即是：該橢圓上任意一點(diǎn)，到定點(diǎn)F（-c,0） （ F2（c,0 ）與定直線li：x=- : （l2：x=）的距離之比為定值 e （0<e<1）四、用橢圓的焦半徑公式證明橢圓的方程現(xiàn)行教材在橢圓部分，只完成了“從曲線到方程”的單向推導(dǎo)，實(shí)際上這只完成了任務(wù)的一半而另一半，從“方程到曲線”，卻留給了學(xué)生（關(guān)于這一點(diǎn)，被許多學(xué)生所忽略了可逆推導(dǎo)過程并不簡單，特別是逆過程中的兩次求平方根） 其實(shí)，有了焦半徑公式，“證明橢圓方程為所求”的過程顯得很簡明f+£=i【例4】設(shè)點(diǎn)P（x,y）適合方程-'.求證：點(diǎn)P（x,y）到兩定點(diǎn)Fi（ -c,0）和Fa（c，0）的距離之和為 2a（ c2=a2-b2）.【分析】 這題目是為了完成“從方程到曲線”的這一逆向過程利用例2導(dǎo)出的焦點(diǎn)半徑公式，很快可推出結(jié)果.【解答】 P（x，y）到Fi（-c,0 ）的距離設(shè)作ri=| PF|.由橢圓的焦點(diǎn)半徑公式可知ri=a+ex同理還有r2=a-ex+得ri+2=2a即1PF|+| PB|=2a.即P（x