厚板哈密頓求解體系及其變分原理與正交關(guān)系

1、厚板哈密頓求解體系及其變分原理與正交關(guān)系    核心提示：中文摘要：將哈密頓求解體系推廣應(yīng)用于Reissner-Mindlin厚板問題。首先導(dǎo)出了厚板哈密頓對偶微分方程，然后采用換元乘子法導(dǎo)出了厚板哈密頓變分原理的泛函表示式，最后提出并證明了厚板理論的兩個正交關(guān)系。厚板哈密頓體系的理論成果將為研究厚板解析解和有限元解提供新的有效工具。 2004年4月 EN.中文摘要：將哈密頓求解體系推廣應(yīng)用于Reissner-Mindlin厚板問題。首先導(dǎo)出了厚板哈密頓對偶微分方程，然后采用換元乘子法導(dǎo)出了厚板哈密頓變分原理的泛函表示式，最后提出并證明了厚板理論的兩個正

2、交關(guān)系。厚板哈密頓體系的理論成果將為研究厚板解析解和有限元解提供新的有效工具。     2004年 4 月 ENGINEERING MECHANICS April 2004基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(10272063)，高等學(xué)校全國優(yōu)秀博士論文作者專項基金資助項目(200242)，高等學(xué)校博士點基金資助項目 (20020003044)，清華大學(xué)基礎(chǔ)研究基金資助項目(JC2002003) 作者簡介：羅建輝(1957)，男，湖南桃源人，副教授，博士，從事計算力學(xué)及結(jié)構(gòu)工程研究；岑 松(1972)，男，福建福州人，副教授，博士，從事計算力學(xué)研究(E-m

3、ail: censong)；龍志飛(1957)，男，湖南安化人，教授，碩士，從事結(jié)構(gòu)工程研究；龍馭球(1926)，男，湖南安化人，教授，中國工程院院士，從事結(jié)構(gòu)工程研究厚板哈密頓求解體系及其變分原理與正交關(guān)系羅建輝1，岑 松2，龍志飛3，龍馭球4 (1. 湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410082；2. 清華大學(xué)工程力學(xué)系，北京 100084 3. 中國礦業(yè)大學(xué)(北京校區(qū))力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083；4. 清華大學(xué)土木工程系，北京 100084) 摘 要：將哈密頓求解體系推廣應(yīng)用于 Reissner-Mindlin 厚板問題。首先導(dǎo)出了厚板哈密頓對偶微分方程，然后 采用換元乘子

4、法導(dǎo)出了厚板哈密頓變分原理的泛函表示式，最后提出并證明了厚板理論的兩個正交關(guān)系。厚板哈密頓體系的理論成果將為研究厚板解析解和有限元解提供新的有效工具。 關(guān)鍵詞：哈密頓求解體系；Reissner-Mindlin厚板理論；對偶方程；變分原理；正交關(guān)系 中圖分類號：O34    文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A (1. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China; 2. Department of Engineering Mechanics, Tsinghua University

5、, Beijing 100084, China; 3. School of Mechanics, Architecture & Civil Engineering, China University of Mining and Technology (Beijing), Beijing 100083, China; 4. Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China) 轉(zhuǎn)載 厚板哈密頓求解體系及其變分原理與正交關(guān)系 35 1 引言 文1-3將彈性力學(xué)問題導(dǎo)向哈密頓體系作了 系統(tǒng)的論

6、述，被錢令希教授譽(yù)為彈性力學(xué)新開篇， 文4,5分別研究了共軛辛正交關(guān)系和薄板彎曲的 求解新體系。 文6在1的基礎(chǔ)上將對偶向量進(jìn)行重新排序， 提出一種新的向量形式及其對偶微分矩陣。對于各向同性材料，發(fā)現(xiàn)文1的正交關(guān)系可以分解為兩個子正交關(guān)系。新的正交關(guān)系包含文1的正交關(guān)系。 文7將文6的新正交關(guān)系推廣到有一個方向正交 的各向異性材料三維彈性力學(xué)問題。本 文 將 哈 密 頓 求 解 體 系 推 廣 應(yīng) 用 于用了厚板的對偶變量，導(dǎo)出了厚板哈密頓對偶方程。然后，從厚板勢能原理出發(fā)，采用換元乘子法 8導(dǎo)出厚板哈密頓變分原理的能量泛函。最后提出 并證明了厚板理論的兩個正交關(guān)系。 2 厚板混合方程 厚板理

7、論的概述可參看文獻(xiàn)9,10，本文沿用其中的符號。厚板的位移有三個獨(dú)立分量厚板的內(nèi)力有五個獨(dú)立分量這里 w是撓度，yx和yy是在 xz和 yz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角，取以上八個位移和內(nèi)力分量作為混合變量，相應(yīng)的混合方程由三個平衡微分方程和五個內(nèi)力位移關(guān)系所組成:平衡微分方程為?+?+? (2b) ?+? qy這里mx和my是 xz和 yz平面內(nèi)的力偶荷載，q是沿內(nèi)力位移關(guān)系為÷÷?è?+?-= yxDM÷÷?è?+?-= xyDM÷÷?è?+?-= xyDM÷?è? -?= xx x÷&

8、#247;?è? -?= yy y這里D和 C分別為板的抗彎剛度和抗剪剛度：)1(12 2= EhD    2.1比。式(3)的逆變換式為)()1(-=?    (4a)()1(-=? (4b) -=?+?     (4c)? y     (4d)? y     (4e)幾種典型的邊界條件為 (在自由邊S3上)    (5d) 這里 n和 s分別表

9、示邊界上的法向和切向。其中 l和m表示邊界點向外法線的方向余弦?，F(xiàn)將厚板理論按哈密頓體系來表述。首先，在坐標(biāo) x和 y中選取 x坐標(biāo)來模擬“時間”坐標(biāo)，稱為縱向坐標(biāo)。其次，在八個位移和內(nèi)力變量中，選取六個對偶變量，即三個位移yx，yy，w 和三個內(nèi)力 Mx，Mxy，Qx，它們是互為對偶的變量。這六個變量按照文獻(xiàn)6,7的原則排列，組成向量v如下：或?qū)懗煞謮K形式：其中在式(1a, b)中原有 8個變量，其中 6個變量是組成v的基本變量，其余兩個變量Qy和My可用基本變量表示如下：÷÷?è? -?= yy y?-=可以看出，式(10)和(11)分別由式(3e)和(4b)

10、導(dǎo)出。在哈密頓體系中，關(guān)于求解對偶變量v的微分方程組通常寫成如下形式： fvLv +=&     (12)式(12)稱為哈密頓對偶方程。這里?/?x用“?”表示，是與荷載有關(guān)的非齊次項。對于縱向坐標(biāo) x來說這里只出現(xiàn)一階導(dǎo)數(shù)。 關(guān)于厚板問題的哈密頓對偶方程，可由式(2)、 (3)、(4)配合式(10)、(11)導(dǎo)出。為此，由式(3a)、(2b)、 (2c)、(2a)、(3c)、(4d)，可依次得到下式 ?-=? ymy     (13a)+÷÷?è? -?+?-+?-=+?-=

11、? (13b) ?è?-?-=-?-=? y (13 (13d) -?-=? (13e) ?     (13f)如寫成矩陣形式，即為厚板哈密頓對偶方程(12)： fvLv +=&其中ú?ùê?é= úúúú?ùêêêê?é-=?)1(úúú?ùêêê?é-= -?)1(厚板哈密頓變分原理是以v為泛函變量的混合能量變分原理

12、：=)(vHP 駐值    (18)這里能量泛函 )(vHP 由面積分 IA和邊界積分 IS兩項組成：÷?è? -?+÷÷?è?+?-÷÷?è?+?-÷÷?è? -?+÷÷?è?-+-?íì -= òò)1(22)1(2òòòò+?+?+-+-=òò -?+ 3221其中yn和ys分別由式(6a)和(6b)給出，厚板哈

13、密頓求解體系及其變分原理與正交關(guān)系 37÷÷?è? -?+=úú?ùêê?é?-+-+-=úú?ùêê?é?-+=?)1()(?)1( (22) 現(xiàn)從厚板勢能原理=),( yxP w yyP 駐值    (23)出發(fā)，應(yīng)用乘子法和換元乘子法8，導(dǎo)出厚板哈密頓混合能量原理。厚板勢能泛函PP由兩項組成：其中 IAP是面積分：òò +-=úú?ùê

14、34;?é÷÷?è? -?+÷?è? -?+úú?ù÷÷?è?+?-+êê?é?+÷÷?è?+÷÷?è?= (26) òòò -+=+?+?+ 332322在勢能原理中，泛函變量 w，yx，yy必須事先滿足下列強(qiáng)制條件：在哈密頓原理的泛函PH中，除含w，yx，yy外，還含三個新變量Qx，Mxy，Mx。為了將變量Qx，Mxy，此，將與Qx，Mxy，Mx相關(guān)的關(guān)

15、系式? y     (29a)-=?+?    (29b)?+? ymy    (29c)代入原泛函PP(w, yx, yy)中，得出新泛函 *PP 如下：其中d)(),( *+-= òò (31) úú?ùêê?é-+÷÷?è?-+÷÷?è?= 22*)1(÷÷?è? -?+ yx y對于泛函 *PP 來說

16、，一方面泛函變量由 3個增加為 6個，另一方面強(qiáng)制條件也由 3個增為 6個，即式(28)和式(29)中的 6個條件。為了將 6個強(qiáng)制條件加以放松，引入 6個乘子òòòòò?+-+-+-+úú?ù÷÷?è?+?+÷÷?è?+?+-+ê?é÷÷?è? +?-+=)d()d()d()1(* (33) 根據(jù) 0* =Pd 的自然條件，可對6個乘子進(jìn)行識別：)(?)(?),(?)(,上在上在上在內(nèi)在?+-=+=-=-

17、=-= (34) 最后將式(34)代入 *P ，即得到厚板哈密頓混合能量泛函PH，如式(19)所示。以上是由厚板勢能泛函PP 導(dǎo)出PH 的過程，采用的是換元乘子法。另一種作法是由厚板元法，即將PHR的有關(guān)自然條件代入PHR使變量 My和Qy消去。由駐值條件dPH=0 可導(dǎo)出自然條件，包括歐拉方程和自然邊界條件。歐拉方程即為哈密頓對偶方程(12)，自然邊界條件即為下列 6個邊界條件：úú?ùêê?é?-+= yDMmMlMúú?ùêê?é?-+-= yDMlmlmMM?

18、2;? -?+= y? (在 S3上) 考慮對偶方程(12)的齊次問題 vLv =&     (36)由此得 db vBv =&     (37) bd vDv =&     (38)采用分離變量法求解，設(shè))exp()( xy l?v =    (39)式中l(wèi)是特征值， )( y? 是特征函數(shù)向量：由式(36)，得 ?L l=     (41)對應(yīng)于式(37)和(38)，有

19、 bd ?B l=     (42) db ?D l=     (43) 考慮滿足方程(37)、(38)的兩組解vb、vd和 *bv 、 *dv ，則可導(dǎo)出下列兩個恒等式：*?-?= (44a) )()(*?-?= (44b) 其中úúú?ùêêê?é-= 考慮矩形厚板，在板的兩個縱向邊線y=0和y=b上的 邊界條件為對式(44a, b)積分，得*-ò vBJvvBJv (47a) *-ò vDJvvDJv (47b

20、) 如果兩組解均滿足邊界條件(46)，則由上式(47a, b)得, *2T2T* bdbd vJvvJv && =    (48a), *2T2T* dbdb vJvvJv && =    (48b)其中采用了下列記號ò=由式(39)，得,*=&&&& (50) 將上式代入式(48a, b)，得, *2T*2T* bdbd vJvvJv ll = (51a), *2T2T* dbdb vJvvJv *= ll (51b)對于兩個特征根l和 *l 來說，如果 02*2 ?- ll ，則由上式得設(shè))exp( xbb l?v =