正余弦定理知識點+經(jīng)典題(有答案)

1、.正余弦定理1. 定理內(nèi)容：（ 1）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即abc2Rsin Asin Bsin C（ 2）余弦定理：三角形中任意一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍。即：a2b2c22bc cos Ab2a 2c22ac cos Bc2a2b22ab cosC（ 3）面積定理： S ABC1 ab sin C1 bc sin A1 ac sin B2222. 利用正余弦定理解三角形：（ 1）已知一邊和兩角：（ 2）已知兩邊和其中一邊的對角：（ 3）已知兩邊和它們所夾的角：（ 4）已知三邊：正弦定理1在 ABC 中， A 45

2、76;， B 60°， a2，則 b 等于 ()A. 6B. 2C.3D 262在 ABC 中，已知 a 8， B 60°， C 75°，則 b 等于 ()32A4 2B4 3C4 6D. 33在 ABC 中，角A、 B、 C 的對邊分別為a、 b、 c， A 60°，a 43， b 4 2，則角 B 為()A 45°或 135 °B135 °C 45° D 以上答案都不對4在 ABC 中， ab c 1 5 6，則 sinAsinB sinC 等于 ()A 1 56B 6 51C615D 不確定解析：選 A. 由

3、正弦定理知 sinA sinBsinC a bc 1 56.5在 ABC 中， a，b， c 分別是角 A，B， C 所對的邊，若A 105 °， B45°， b 2，則 c ()11A 1B.2C 2D. 4cos A b6在 ABC 中，若 cos B a，則 ABC 是 ()A 等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D 等腰三角形或直角三角形7已知 ABC 中， AB 3， AC 1， B30°，則 ABC 的面積為 ();.33333A. 2B. 4C.2或 3D.4或28 ABC 的內(nèi)角 A、 B、C 的對邊分別為a、 b、 c.若 c 2， b6， B 1

4、20 °，則 a 等于 ()A. 6B 2C.3D.29在 ABC 中，角 A、 B、 C 所對的邊分別為 a、 b、 c，若 a 1， c3， C 3，則 A _.10在 ABC 中，已知 a433， b 4， A30°，則 sinB _.11在 ABC 中，已知 A 30°， B 120 °，b 12，則 a c _.12在 ABC 中， a2bcosC，則 ABC 的形狀為 _13在 ABC 中， A 60°，a 6 3，b 12，S ABC 183，則a b c _，c _.sinA sinB sinCa2b c _.14已知 ABC

5、中， A B C 12 3， a1，則 sin A 2sin B sin C15在 ABC 中，已知 a 32， cosC1， S ABC 4 3，則 b _.316在 ABC 中， b4 3， C 30°，c 2，則此三角形有 _組解17如圖所示，貨輪在海上以40 km/h 的速度沿著方位角(指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角 )為 140°的方向航行， 為了確定船位， 船在 B 點觀測燈塔 A 的方位角為 110°，航行半小時后船到達(dá)C 點，觀測燈塔 A 的方位角是65°，則貨輪到達(dá) C 點時，與燈塔 A 的距離是多少？CC12A，求 A、1

6、8在 ABC 中， a、b、c 分別為角 A、B、C 的對邊，若 a2 3，sin2cos ，sin Bsin Ccos242B 及 b、 c.19 (2009 年高考四川卷 )在 ABC 中， A、 B 為銳角，角 A、 B、C 所對應(yīng)的邊分別為a、 b、 c，且 cos 2A 3， sin B 10求 A B 的值； (2)若 a b21，求 a，b， c 的值510 .(1)20 ABC 中， ab603， sin B sin C， ABC 的面積為153，求邊 b 的長;.余弦定理源網(wǎng)1，那么 AC 等于 ()1在 ABC 中，如果 BC 6， AB 4， cosB 3A 6B2 6C

7、3 6D4 62在 ABC 中， a2， b3 1， C 30°，則 c 等于 ()A. 3B.2C. 5D 23在 ABC 中， a2 b2 c23bc，則 A 等于 ()A 60°B 45°C 120 °D 150 °4在 ABC 中， A、 B、 C 的對邊分別為a、b、 c，若 (a2 c2 b2)tanB 3ac，則 B 的值為 ()A.B. 5 263C. 或D. 或36635在 ABC 中， a、b、 c 分別是 A、 B、 C 的對邊，則 acosB bcosA 等于 ()A aB bC cD以上均不對6如果把直角三角形的三邊都

8、增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為()A 銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D由增加的長度決定7已知銳角三角形ABC 中， |AB| 4， |AC|1， ABC的面積為 3，則 AB·AC的值為A 2B 2C 4D 48在 ABC 中， b 3， c3， B30°，則 a 為 ()A. 3B2 3C. 3或2 3D 29已知 ABC 的三個內(nèi)角滿足2B A C，且 AB 1，BC 4，則邊 BC 上的中線 AD10 ABC 中， sinA sinB sinC (31)( 3 1)10，求最大角的度數(shù)11已知 a、b、c 是 ABC 的三邊， S 是 ABC 的面積，

9、若 a4，b 5，S 53，則邊12在 ABC 中， sin A sin B sin C 23 4，則 cos A cos B cos C _.13在 ABC 中， a32， cos C1，S ABC 43，則 b _.3()的長為 _c 的值為 _14已知 ABC 的三邊長分別為 AB 7， BC 5，AC6，則 AB·BC的值為 _15已知 ABC 的三邊長分別是a、 b、 c，且面積 Sa2 b2 c2，則角 C _.416 (2011 年廣州調(diào)研 )三角形的三邊為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角為鈍角，則最小角的余弦值為_17在 ABC 中， BC a，AC b， a，b 是方程 x2

10、 23x 2 0 的兩根，且 2cos(AB) 1，求 AB 的長;.118已知 ABC 的周長為2 1，且 sin A sin B2sin C.(1)求邊 AB 的長； (2)若 ABC 的面積為 6sin C，求角 C 的度數(shù)19在 ABC 中， BC5， AC 3，sin C 2sin A.(1)求 AB 的值； (2)求 sin(2A 4)的值20在 ABC 中，已知 ( a b c)(a b c) 3ab，且 2cos Asin B sinC，確定 ABC 的形狀;.正弦定理1在 ABC 中， A 45°， B 60°， a2，則 b 等于 ()A.6B. 2C.

11、3D 26解析：選 A. 應(yīng)用正弦定理得：a b，求得 b asinB 6.sinAsinBsinA2在 ABC 中，已知 a 8， B 60°， C 75°，則 b 等于 ()A4 2B4 3C4 6D.323解析：選 C.A 45°，由正弦定理得b asinB 46.sinA3在 ABC 中，角 A、 B、 C 的對邊分別為a、 b、 c， A 60°，a 4 3， b 4 2，則角 B 為()A 45°或 135 °B135 °C 45° D 以上答案都不對解析：選 C.由正弦定理a b得： sinBbsin

12、A2，又 a>b， B<60°， B 45°.sinAsinBa24在 ABC 中， ab c 1 5 6，則 sinAsinB sinC 等于 ()A 1 56B651C6 1 5D不確定解析：選 A. 由正弦定理知sinA sinBsinC a bc 1 56.5在 ABC 中， a，b， c 分別是角 A，B， C 所對的邊，若A 105 °， B45°， b 2，則 c ()11A 1B.2C 2D. 4解析：選 A. C 180° 105° 45° 30°，由bc得 c2×sin 3

13、0°sin45 ° 1.cos A b，則 ABC 是 (sinBsinC)6在 ABC 中，若 cos B aA 等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D 等腰三角形或直角三角形解析：選 D. b sin B， cos Asin B，asin Acos Bsin AsinAcosA sinBcosB， sin2Asin2B即 2A 2B 或 2A2B ，即 AB，或AB .27已知 ABC 中， AB 3， AC 1， B30°，則 ABC 的面積為 ()A.3B.3243或 3D.3或 3C. 242解析：選 D. AB AC ，求出 sinC3， ABAC ，s

14、inCsinB2 C 有兩解，即 C 60°或 120°， A 90°或 30°.再由 S ABC 1AB·ACsinA 可求面積28 ABC 的內(nèi)角 A、 B、C 的對邊分別為a、 b、 c.若 c2， b6， B 120 °，則 a 等于 ()A.6B 2C.3D.2解析：選 D.由正弦定理得62， sinC1.sin120°sinC2又 C 為銳角，則C 30°， A 30°，;. _. ABC 為等腰三角形， ac 2.9在 ABC 中，角 A、 B、 C 所對的邊分別為a、 b、 c，若 a 1

15、， c3， C，則 A _.3解析：由正弦定理得：ac ，sinAsinC所以 sinAa·sinC 1.c2又 a c， A C ， A.36答案： 64 3， b 4， A30°，則 sinB _.10在 ABC 中，已知 a 3解析：由正弦定理得ab1sinAsinB4×? sinB bsinA2 3a432 .3答案：3211在 ABC 中，已知 A 30°， B 120 °，b 12，則 a c _.解析： C 180° 120° 30° 30°， a c，由ab得， a12×sin3

16、0°sinAsin1204 3，sinB° a c 8 3.答案：8312在 ABC 中， a2bcosC，則 ABC 的形狀為 _解析：由正弦定理，得a 2R·sinA， b2R·sinB，代入式子a 2bcosC，得2RsinA2·2R·sinB·cosC，所以 sinA2sinB·cosC，即 sinB·cosCcosB·sinC 2sinB·cosC，化簡，整理，得sin(BC) 0. 0° B 180°， 0° C 180°， 180&

17、#176; B C 180°， B C0°，B C.答案：等腰三角形a b c _，c _.13在 ABC 中， A 60°， a 6 3， b12， C=30 °則 sinA sinB sinC解析：由正弦定理得a bca6 311×sin60×°c 183，sinA sinB sinC12，又 S ABCbcsinA， ×12sinAsin60 °22 c 6.答案： 126a2b c14已知 ABC 中， A B C 12 3， a1，則 sin A 2sin B sin C解析：由 A B C 1

18、 2 3 得， A 30°， B 60°， C 90°， 2R a 1 2， sinA sin30 °又 a 2Rsin A，b 2Rsin B，c 2Rsin C，a2b c 2RA 2sinBsin C 2R 2.sin A 2sin B sin Csin A 2sin B sin C答案： 2;.15在 ABC 中，已知 a 32， cosC 1， S ABC 43，則 b _.3解析：依題意， sinC 22， S ABC1absinC 43，32解得 b 2 3.答案：2 316在 ABC 中， b43， C 30°，c2，則此三角形

19、有 _組解解析： bsinC 413× 2 3且 c 2，2 c<bsinC，此三角形無解答案： 017如圖所示， 貨輪在海上以 40 km/h 的速度沿著方位角( 指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角)為 140°的方向航行，為了確定船位，船在B 點觀測燈塔A 的方位角為 110°，航行半小時后船到達(dá)C 點，觀測燈塔 A 的方位角是 65°，則貨輪到達(dá)C 點時，與燈塔A 的距離是多少？1，解：在 ABC 中， BC 40× 202 ABC140° 110° 30°， ACB(180 ° 14

20、0°) 65° 105°，所以 A 180° (30 °105°) 45°，由正弦定理得AC BC·sin ABC20sin30sinA°2(km) sin45 10°即貨輪到達(dá) C 點時，與燈塔A 的距離是 10 2 km.18在 ABC 中， a、b、c 分別為角 A、B、C 的對邊，若 a 23，sinCC12A，求 A、2cos，sin Bsin C cos242B 及 b、 c.CC11解：由 sincos，得 sinC ，22425又 C (0， )，所以C6或 C 6 .由 sin

21、 Bsin Ccos2A，得 21sin Bsin C21 cos(B C) ，即 2sin Bsin C 1 cos(BC)，即 2sin Bsin C cos(B C) 1，變形得cos Bcos C sin Bsin C1，5即 cos(BC) 1，所以 B C ， B C6 (舍去 )，26A (B C) 3 .由正弦定理a b c ，得sin Asin Bsin C1sin B 223× 2.b casin A322故 A 3 ， B 6， bc 2.19 (2009 年高考四川卷 )在 ABC 中， A、 B 為銳角，角 A、 B、C 所對應(yīng)的邊分別為a、 b、 c，且

22、cos 2A;.3105， sin B10 .(1)求 A B 的值； (2) 若 a b21，求 a，b， c 的值解： (1) A、 B 為銳角， sin B 1010，2 3 10 cos B 1sin B 10 .又 cos 2A 1 2sin2A35， sinA 55， cos A 25 5， cos(AB) cos Acos B sin Asin B253105102 5 ×10 5×102.又 0A B ， A B.432(2)由 (1) 知， C 4， sin C2 .由正弦定理：a bc得sin Asin Bsin C5a10b2c，即 a2b， c5b.

23、 a b 2 1， 2bb 2 1， b 1. a 2， c 5.20 ABC 中， ab603， sin B sin C， ABC 的面積為 153，求邊 b 的長1absin C 得， 1513×sin C，解：由 S3 ×6022 sin C1， C 30°或 150°. 2又 sin Bsin C，故 B C.當(dāng) C 30°時， B 30°， A 120°.又 ab 60 3，ab， b 215.sin Asin B當(dāng) C 150°時， B150°(舍去 )故邊 b 的長為 215.;.余弦定理源

24、網(wǎng)11在 ABC 中，如果 BC 6，AB4， cosB3，那么 AC 等于 ()A 6B 26C36D 46解析：選 A. 由余弦定理，得ACAB 2 BC2 2AB·BCcosB2214 62×4×6× 6.32在 ABC 中， a 2， b31， C 30°，則 c 等于 ()A.3B. 2C.5D 2解析：選B. 由余弦定理，得c2 a2 b2 2abcosC 22 ( 3 1)2 2×2×( 3 1)cos30 ° 2， c 2.3在 ABC 中， a2 b2 c23bc，則 A 等于 ()A 60

25、76;B 45°C120 °b2 c2 a2D 150 °解析：選 D.cos A 3bc32bc2bc 2， 0° A 180°， A150°.4在 ABC 中，A、 B、 C 的對邊分別為a、b、c，若 (a2 c2 b2)tanB3ac，則 B 的值為 ()A. 6B.3 5 2C.或D. 或6633解析：選 D.由 (a2 c2 b2)tanB 3ac，聯(lián)想到余弦定理，代入得a2c2b2313 cosBcosB2ac2·2· .tanBsinB3 2顯然 B ， sinB或22 .B33 .5在 ABC 中

26、， a、 b、 c 分別是 A、 B、 C 的對邊，則 acosB bcosA 等于 ()A aB bCcD 以上均不對22222a22解析：選ac bb c2c c.C.a·2acb·2bc2c6如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為()A 銳角三角形B 直角三角形C鈍角三角形D 由增加的長度決定解析：選 A. 設(shè)三邊長分別為a，b， c 且 a2 b2 c2.設(shè)增加的長度為m，則 cm am，c m b m，又 (a m)2 (b m)2 a2 b2 2(ab) m 2m2 c2 2cm m2 (cm)2，三角形各角均為銳角，即新三角形為銳角三

27、角形;.7已知銳角三角形 ABC 中， |AB| 4，|AC| 1， ABC 的面積為3，則 AB·AC的值為 ()A 2B 2C41D4解析：選 A. S ABC 3|AB| ·|AC| sinA·21 2×4×1×sinA， sinA 3，又 ABC 為銳角三角形，2 cosA 1，21 AB·AC 4×1× 2.28在 ABC 中， b3， c 3， B 30°，則 a 為 ()A.3B2 3C.3或2 3D 2解析：選C.在 ABC 中，由余弦定理得b2a2c22accosB，即 3 a

28、2 9 33a， a2 3 3a 6 0，解得 a 3或 2 3.9已知 ABC 的三個內(nèi)角滿足2BA C，且 AB 1，BC4，則邊 BC 上的中線 AD 的長為 _解析： 2BA C， A B C ， B.3在 ABD 中，ADAB2BD 2 2AB ·BDcosB11 4 2×1×2× 3.2答案：310 ABC 中， sinAsinB sinC (3 1) (3 1)10，求最大角的度數(shù)解： sinA sinB sinC(3 1) (3 1)10， a b c ( 3 1) ( 3 1) 10.設(shè) a ( 3 1)k， b ( 31)k，c 10

29、k(k 0)， c 邊最長，即角C 最大由余弦定理，得a2 b2 c21，cosC2ab2又 C (0 °， 180°)， C 120°.11已知 a、b、c 是 ABC 的三邊， S是 ABC 的面積，若 a 4，b 5，S 53，則邊 c 的值為 _解析： S 1absinC， sinC3， C 60°或 120°.221222 cosC ± ，又 c a b 2abcosC，2 c2 21 或 61， c21或 61.答案： 21或 6112在 ABC 中， sin A sin B sin C2 3 4，則 cos A cos

30、B cos C _.解析：由正弦定理a b c sin A sin Bsin C 2 34，設(shè) a2k( k0)，則 b 3k， c 4k，cos Ba2 c2 b2k2 k2k211，2×2k×4k162ac同理可得： cos A 78， cos C 14， cos A cos Bcos C 14 11 ( 4)答案： 14 11 ( 4)13在 ABC 中， a 32， cos C1， SABC 43，則 b _.3;.解析： cos C 13， sin C2 3 2.1又 S ABC 2absinC 4 3，1 2 2即 2·b·3 2·

31、3 4 3， b 2 3.答案：23 14已知 ABC 的三邊長分別為AB 7， BC 5， AC 6，則 AB·BC的值為 _222解析：在 ABC 中， cosBAB BC AC 49 25 362×7×5 1935， AB·BC |AB| ·|BC| · cos(B) 7×5×(19)35 19.答案： 19a2 b2 c215已知 ABC 的三邊長分別是a、b、 c，且面積 S，則角 C _.a2 b2 c2a2 b2 c2 ab4解析：1absinC S·242ab21 2abcosC， sinC cosC， tanC 1， C 45°.答案： 45°16(2011 年廣州調(diào)研 )三角形的三邊為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角為鈍角， 則最小角的余弦值為 _解析：設(shè)三邊長為k 1，k， k 1(k2，k N) ，k2 k2 k2 0? 2 k4，則kk 1 k1 k 3，故三邊長分別為2,3,4，最小角的余弦值為32 42 227 .2×3×4