初一數(shù)學競賽講座(一)自然數(shù)的有關性質(zhì)

1、膈聿莈蚈肄肈蒀薁羀肇薃螇袆肆節(jié)蕿螂肆蒞螅肀肅蕆薈羆膄蕿螃袂膃艿薆螈膂蒁螂螄膁薃蚄肅膀芃袀罿膀蒞蚃裊腿蒈袈螁羋薀蟻肀芇芀蒄羆芆莂蠆袂芅薄蒂袈芅芄螈螄芄莆薀肂芃葿螆羈節(jié)薁蕿襖莁芁螄螀莀莃薇聿荿蒅螂羅荿蚇薅羈莈莇袁袇羄葿蚃螃羃薂衿肁羂芁螞羇羂莄袇袃肁蒆蝕蝿肀薈蒃膈聿莈蚈肄肈蒀薁羀肇薃螇袆肆節(jié)蕿螂肆蒞螅肀肅蕆薈羆膄蕿螃袂膃艿薆螈膂蒁螂螄膁薃蚄肅膀芃袀罿膀蒞蚃裊腿蒈袈螁羋薀蟻肀芇芀蒄羆芆莂蠆袂芅薄蒂袈芅芄螈螄芄莆薀肂芃葿螆羈節(jié)薁蕿襖莁芁螄螀莀莃薇聿荿蒅螂羅荿蚇薅羈莈莇袁袇羄葿蚃螃羃薂衿肁羂芁螞羇羂莄袇袃肁蒆蝕蝿肀薈蒃膈聿莈蚈肄肈蒀薁羀肇薃螇袆肆節(jié)蕿螂肆蒞螅肀肅蕆薈羆膄蕿螃袂膃艿薆螈膂蒁螂螄膁薃蚄肅膀芃袀

2、罿膀蒞蚃裊腿蒈袈螁羋薀蟻肀芇芀蒄羆芆莂蠆袂芅薄蒂袈芅芄螈螄芄莆薀肂芃葿螆羈節(jié)薁蕿襖莁芁螄螀莀莃薇聿荿蒅螂羅荿蚇薅羈莈莇袁袇羄葿蚃螃羃薂衿肁羂芁螞羇羂莄袇袃肁蒆蝕蝿肀薈蒃膈聿莈蚈肄肈蒀薁羀肇薃螇袆肆節(jié)蕿螂肆蒞螅肀肅蕆薈羆膄蕿螃袂膃艿薆螈膂蒁 初一數(shù)學競賽講座(一)自然數(shù)的有關性質(zhì) 一、知識要點 1、 1、 最大公約數(shù) 定義1如果a1,a2,an和d都是正整數(shù)，且da1,da2, dan ，那么d叫做a1,a2,an的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的叫做a1,a2,an的最大公約數(shù)，記作(a1,a2,an). 如對于4、8、12這一組數(shù)，顯然1、2、4都是它們的公約數(shù)，但4是這些公約數(shù)中最大的，所以4是它們

3、的最大公約數(shù)，記作(4,8,12)=4. 2、 2、 最小公倍數(shù) 定義2如果a1,a2,an和m都是正整數(shù)，且a1m, a2m, anm，那么m叫做a1,a2,an的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的數(shù)叫做a1,a2,an的最小公倍數(shù)，記作a1,a2,an. 如對于4、8、12這一組數(shù)，顯然24、48、96都是它們的公倍數(shù)，但24是這些公倍數(shù)中最小的，所以24是它們的最小公倍數(shù)，記作4,8,12=24. 3、 3、 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)1 若ab,則(a,b)=a. 性質(zhì)2 若(a,b)=d,且n為正整數(shù)，則(na,nb)=nd. 性質(zhì)3 若na, nb,則 . 性質(zhì)4 若a=bq+r (0

4、r<b), 則(a,b)= (b,r) . 性質(zhì)4 實質(zhì)上是求最大公約數(shù)的一種方法，這種方法叫做輾轉相除法。 性質(zhì)5若 ba,則a,b=a. 性質(zhì)6若a,b=m,且n為正整數(shù)，則na,nb=nm. 性質(zhì)7若na, nb,則 . 4、 4、 數(shù)的整除性 定義3對于整數(shù)a和不為零的整數(shù)b，如果存在整數(shù)q，使得a=bq 成立，則就稱b整除a或a被b整除，記作ba，若ba，我們也稱a是b倍數(shù)；若b不能整除a，記作ba 5、 5、 數(shù)的整除性的性質(zhì) 性質(zhì)1 若ab，bc，則ac 性質(zhì)2 若ca，cb，則c(a±b) 性質(zhì)3 若ba, n為整數(shù)，則bna 6、 6、 同余 定義4 設m是大

5、于1的整數(shù)，如果整數(shù)a，b的差被m整除，我們就說a，b關于模m同余，記作 ab(mod m) 7、 7、 同余的性質(zhì) 性質(zhì)1 如果ab(mod m)，cd(mod m)，那么a±cb±d(mod m)，acbd(mod m) 性質(zhì)2 如果ab(mod m)，那么對任意整數(shù)k有kakb(mod m) 性質(zhì)3 如果ab(mod m)，那么對任意正整數(shù)k有akbk(mod m) 性質(zhì)4如果ab(mod m)，d是a，b的公約數(shù)，那么 二、例題精講 例1 設m和n為大于0的整數(shù)，且3m+2n=225. 如果m和n的最大公約數(shù)為15，求m+n的值 (第11屆“希望杯”初一試題) 解：

6、(1) 因為 (m,n)=15,故可設m=15a，n=15b，且(a,b)=1 因為 3m+2n=225，所以3a+2b=15 因為 a,b是正整數(shù)，所以可得a=1,b=6或a=b=3，但(a,b)=1，所以a=1,b=6 從而m+n=15(a+b)=15 7=105 評注：1、遇到這類問題常設m=15a，n=15b，且(a,b)=1，這樣可把問題轉化為兩個互質(zhì)數(shù)的求值問題。這是一種常用方法。 2、思考一下，如果將m和n的最大公約數(shù)為15，改成m和n的最小公倍數(shù)為45，問題如何解決？ 例2有若干蘋果，兩個一堆多一個，3個一堆多一個，4個一堆多一個，5個一堆多一個，6個一堆多一個，問這堆蘋果最少

7、有多少個？ 分析：將問題轉化為最小公倍數(shù)來解決。 解設這堆蘋果最少有x個，依題意得 由此可見，x-1是2，3，4，5，6的最小公倍數(shù) 因為2,3,4,5,6=60，所以x-1=60，即x=61 答：這堆蘋果最少有61個。 例3自然數(shù)a1，a2，a3，a9，a10的和1001等于，設d為a1，a2，a3，a9，a10的最大公約數(shù)，試求d的最大值。 解由于d為a1，a2，a3，a9，a10的最大公約數(shù)，所以和a1+a2+a3+a9+a101001能被d整除，即d是10017 11 13的約數(shù)。 因為d½ak，所以akd，k1，2，3，10從而1001a1+a2+a3+a9+a1010d

8、所以 由d能整除1001得，d僅可能取值1，7，11，13，77，91。 因為1001能寫成10個數(shù)的和：91+91+91+91+91+91+91+91+91+182 其中每一個數(shù)都能被91整除，所以d能達到最大值91 例4 某商場向顧客發(fā)放9999張購物券，每張購物券上印有四位數(shù)碼，從0001到9999號，如果號碼的前兩位之和等于后前兩位之和，則這張購物券為幸運券，如號碼0734，因0+7=3+4，所以這個號碼的購物券為幸運券。證明：這個商場所發(fā)購物券中，所有幸運券的號碼之和能被101整除。(第7屆初中“祖沖之杯”數(shù)學邀請賽試題) 證明：顯然，9999的購物券為幸運券，除這張外，若號碼為n的

9、購物券為幸運券，則號碼為m=9999-n的購物券也為幸運券。由于9999是奇數(shù)，所以m，n的奇偶性不同，即mn，由于m+n=9999，相加時不出現(xiàn)進位。就是說，除號碼為9999的幸運券外，其余所有的幸運券可兩兩配對，且每對號碼之和為9999，從而可知所有的幸運券的號碼之和為9999的倍數(shù)。由1019999，所以所有幸運券的號碼之和能被101整除。 評注：本題是通過將數(shù)兩兩配對的方法來解決。 例5 在1，2，3，1995這1995個數(shù)中，找出所有滿足條件的數(shù)來：(1995+a)能整除1995 a (第五屆華杯賽決賽試題) 分析： 分子、分母都含有a，對a的討論帶來不便，因此可以將 化成 ，這樣只

10、有分母中含有a，就容易對a進行討論。 解 因為(1995+a)能整除1995 a，所以 是整數(shù)，從而 是整數(shù) 因為1995 1995=32 52 72 192，所以它的因數(shù)1995+a可以通過檢驗的方法定出。注意到1a1995，所以 1995<1995+a3990 如果1995+a 不被19整除，那么它的值只能是以下兩種： 3 52 72=3675，32 5 72=2205 如果1995+a 能被19整除，但不被192整除，那么它的值只能是以下兩種： 3 72 19=2793，52 7 19=3325 如果1995+a 能被192整除，那么它的值只能是以下兩種： 7 192=252 7，

11、32 192=3249 于是滿足條件的a有6個，即從上面6個值中分別減去1995，得到 1680、210、798、1330、532、1254 評注：本題通過對 的適當變形，便于對a的討論。討論時通過將1995 1995分解質(zhì)因數(shù)，然后將因數(shù)1995+a通過檢驗的方法定出。這種方法在解決數(shù)的整除問題中經(jīng)常使用。 例6 11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余數(shù)是幾？為什么？(第四屆華杯賽復賽試題) 解 顯然111(mod 3)，330(mod 3)，660(mod 3)，990(mod 3) 又 22=41(mod 3)，44141(mod 3)，5525(-1)5(-1)

12、(mod 3)， 77171(mod 3)，88(-1)81(mod 3) 11+22+33+44+55+66+77+88+991+1+0+1-1+0+1+1+041(mod 3) 即所求余數(shù)是1 評注：用同余式求余數(shù)非常方便。 例7 已知： ，問a除以13，所得余數(shù)是幾？(第三屆華杯賽決賽試題) 分析：將a用十進制表示成 ，1991除以13，所得余數(shù)是顯然的，主要研究 除以13的余數(shù)規(guī)律。 解 mod 13，103(-3)3=-27-1， 1+104+1081-10+102=910，19912 a =-188，即a除以13，所得余數(shù)是8 例8 n是正偶數(shù)，a1,a2,an除以n，所得的余數(shù)互

13、不相同；b1,b2,bn除以n，所得的余數(shù)也互不相同。證明a1+b1，a2+b2，an+bn除以n，所得的余數(shù)必有相同的。 證明 n是正偶數(shù)，所以n-1為奇數(shù)， 不是n的倍數(shù)， a1,a2,an除以n，所得的余數(shù)互不相同，所以這n個余數(shù)恰好是0，1，n-1.從而a1+a2+an0+1+(n-1)= 0(mod n) 同樣b1+b2+bn 0(mod n) 但 (a1+b1)+(a2+b2)+(an+bn)= (a1+a2+an)+( b1+b2+bn) 0(mod n) 所以a1+b1，a2+b2，an+bn除以n，所得的余數(shù)必有相同的。 例9 十進制中，44444444的數(shù)字和為A，A的數(shù)字

14、和為B，B的數(shù)字和為C，求C 分析：由于101(mod 9)，所以對整數(shù)a0，a1，a2，an有 它表明十進制中，一個數(shù)與它的各位數(shù)字和模9同余。 根據(jù)上述結論有 CBA44444444(mod 9).所以只要估計出C的大小，就不難確定C 解：44447 (mod 9)，而73(-2)3=-81(mod 9)， 所以 4444444474444=73´1481+17(mod 9)， 所以 CBA444444447(mod 9)， 另一方面，44444444<(105)4444=1022220，所以44444444的位數(shù)不多于22220 從而A<9´22220=1

15、99980，即A至多是6位數(shù)。所以B<9´6=54 在1到53的整數(shù)中，數(shù)字和最大的是49，所以C4+9=13 在小于13的自然數(shù)中，只有7模9同余于7，所以C=7 評注：本題用了十進制中，一個數(shù)與它的各位數(shù)字和模9同余這個結論。根據(jù)這個結論逐步估計出C的大小，然后定出C。 三、鞏固練習 選擇題 1、兩個二位數(shù)，它們的最大公約數(shù)是8，最小公倍數(shù)是96，這兩個數(shù)的和是( ) A、56 B、78 C、84 D、96 2、三角形的三邊長a、b、c均為整數(shù)，且a、b、c的最小公倍數(shù)為60，a、b的最大公約數(shù)是4，b、c的最大公約數(shù)是3，則a+b+c的最小值是（） A、30 B、31 C

16、、32 D、33 3、在自然數(shù)1，2，3，100中，能被2整除但不能被3整除的數(shù)的個數(shù)是( ) A、33 B、34 C、35 D、37 4、任意改變七位數(shù)7175624的末四位數(shù)字的順序得到的所有七位數(shù)中，能被3整除的數(shù)的個數(shù)是( ) A、24 B、12 C、6 D、0 5、若正整數(shù)a和1995對于模6同余，則a的值可以是( ) A、25 B、26 C、27 D、28 6、設n為自然數(shù)，若19n+1410n+3 (mod 83)，則n的最小值是( ) A、4 B、8 C、16 D、32 填空題 7、自然數(shù)n被3除余2，被4除余3，被5除余4，則n的最小值是 8、滿足x,y=6，y,z=15的正

17、整數(shù)組(x,y,z)共有 組 9、一個四位數(shù)能被9整除，去掉末位數(shù)后得到的三位數(shù)是4的倍數(shù)，則這樣的四位數(shù)中最大的一個，它的末位數(shù)是 10、有一個11位數(shù)，從左到右，前k位數(shù)能被k整除(k=1,2,3,11)，這樣的最小11位數(shù)是 11、設n為自然數(shù)，則3 2 n+8被8除的余數(shù)是 12、14+24+34+44+19944+19954的末位數(shù)是 解答題 13、求兩個自然數(shù)，它們的和是667，它們的最小公倍數(shù)除以最大公約數(shù)所得的商是120。 14、已知兩個數(shù)的和是40，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和是56，求這兩個數(shù)。 15、五位數(shù) 能被12整除，它的最末兩位數(shù)字所成的數(shù) 能被6整除，求出這個

18、五位數(shù)。 16、若a,b,c,d是互不相等的整數(shù)，且整數(shù)x滿足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9 求證：4(a+b+c+d) 17、一個數(shù)是5個2，3個3，2個5，1個7的連乘積，這個數(shù)當然有許多約數(shù)是兩位數(shù)，這些兩位約數(shù)中，最大的是多少？ 18、求2400被11除，所得的余數(shù)。 19、證明31980+41981被5整除。 螂螄膁薃蚄肅膀芃袀罿膀蒞蚃裊腿蒈袈螁羋薀蟻肀芇芀蒄羆芆莂蠆袂芅薄蒂袈芅芄螈螄芄莆薀肂芃葿螆羈節(jié)薁蕿襖莁芁螄螀莀莃薇聿荿蒅螂羅荿蚇薅羈莈莇袁袇羄葿蚃螃羃薂衿肁羂芁螞羇羂莄袇袃肁蒆蝕蝿肀薈蒃膈聿莈蚈肄肈蒀薁羀肇薃螇袆肆節(jié)蕿螂肆蒞螅肀肅蕆薈羆膄蕿螃袂膃艿薆螈膂蒁螂螄膁薃蚄肅膀