幾何證明的幾點(diǎn)建議(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上關(guān)于幾何證明的幾點(diǎn)建議廣平縣第二中學(xué) 馬俊鋒“天呀，又要開始學(xué)幾何證明了”，“幾何的證明太難學(xué)”每次在上幾何課的時(shí)候，總是可以聽到幾何證明學(xué)習(xí)困難的學(xué)生的聲音學(xué)生的這種情緒與抱怨很容易助長學(xué)習(xí)幾何證明消極的心理，增加逃避學(xué)幾何證明的可能性鑒于這種實(shí)際，作為初中的一名數(shù)學(xué)老師陷入思考-是否是平常在教書的過程中對(duì)幾何證明教學(xué)認(rèn)識(shí)不足、重視不夠，還是對(duì)幾何證明教學(xué)方式方法運(yùn)用不當(dāng)，影響了課堂教學(xué)效果，制約了學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展，影響了學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)為了更好地落實(shí)新課程的目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)幾何證明的能力，筆者對(duì)幾何證明的現(xiàn)狀，學(xué)習(xí)幾何證明困難的原因以

2、及如何進(jìn)行幾何證明教學(xué)進(jìn)行研究與思考 一、初中幾何證明的現(xiàn)狀 初中幾何證明不但是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，而且是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)很多同學(xué)對(duì)幾何證明，不知從何著手，一部分學(xué)生雖然知道答案，但敘述不清楚，說不出理由，對(duì)邏輯推理的證明過程幾乎不會(huì)寫這樣，導(dǎo)致大部分的學(xué)生失去了幾何證明學(xué)習(xí)的信心 新課程中對(duì)幾何證明的內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整、難度要求降低、證明技巧淡化，但對(duì)幾何證明教學(xué)的最基本能力要求其實(shí)并沒有降低，課標(biāo)中已明確指出：在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力雖然新的課程理念要求，推理過程不能過繁，一切從簡(jiǎn)但證明的過程要求做到事實(shí)準(zhǔn)確、道理嚴(yán)密，證明過程方能完整 二、幾何證明

3、學(xué)習(xí)困難的原因分析 初中學(xué)生的幾何證明學(xué)習(xí)在內(nèi)容上正在經(jīng)歷從“直觀”到“論證”的轉(zhuǎn)軌在思維方式上需要解決從“形象思維”到“演繹思維”的過渡學(xué)生學(xué)習(xí)幾何證明從直觀到論證之間存在著一個(gè)思維要求上的跳躍學(xué)生來不及適應(yīng)這種高一級(jí)的思維方式這是幾何證明學(xué)習(xí)的認(rèn)知障礙因此，我個(gè)人覺得初中幾何證明難，主要還難在“轉(zhuǎn)軌”與“過渡”上在事物發(fā)展的過程中，經(jīng)歷一種“轉(zhuǎn)變”的時(shí)節(jié)，正是良好的機(jī)遇所在有必要提醒學(xué)生把握機(jī)遇，適應(yīng)轉(zhuǎn)變 學(xué)生開始學(xué)習(xí)幾何證明，沒有適應(yīng)論證數(shù)理的答題模式，語言表達(dá)方面的特別要求，作業(yè)練習(xí)常被判為錯(cuò)誤，幾次碰壁后就覺得“幾何證明確實(shí)難學(xué)”面對(duì)著這種學(xué)習(xí)的失敗，幾何證明學(xué)習(xí)困難的學(xué)生在討論發(fā)言

4、、回答問題和動(dòng)手練習(xí)等方面與普通同學(xué)存在著差異他們幾乎一直處在旁聽陪讀的地位，作業(yè)又無法獨(dú)立完成，只得抄襲，更失去了參與學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì) 三、幾何證明的幾點(diǎn)建議 怎樣才能把幾何證明的求解過程敘述清楚呢？下面我就這方面的問題與大家探討 （一）幾何題證明的前提-幾何語言幾何教學(xué)有三種不同形式的語言即圖形語言、文字語言及符號(hào)語言教學(xué)中不僅要讓學(xué)生建立三種幾何語言，還要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)三種語言相互轉(zhuǎn)化的能力由于三種語言的特點(diǎn)不同，在幾何教學(xué)中各自發(fā)揮的作用也不同圖形語言形象、直觀，能幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)問題和理解問題；文字語言抽象、概括，對(duì)圖形本身及圖形中所蘊(yùn)含的結(jié)論能精確地予以的描述、解釋，對(duì)幾何的定義、公理、定理、命

5、題等內(nèi)容能精確地予以表達(dá)，而符號(hào)語言則是對(duì)文字語言的簡(jiǎn)化和再次抽象，具有更強(qiáng)的抽象性，在三種語言中符號(hào)語言是幾何初學(xué)者最難掌握的一種，也是邏輯推理必備的能力基礎(chǔ)因此教師在教學(xué)過程中應(yīng)不失時(shí)機(jī)地訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生對(duì)這三種語言相互轉(zhuǎn)化的意識(shí)和能力當(dāng)你到了一個(gè)新的國家，最使你頭痛的也許就是語言不通。每個(gè)國家都有自己的語言。如果你不能使用這個(gè)國家可能接受的語言，不能看懂當(dāng)?shù)氐恼Z言文字，那是一件十分苦惱的事，會(huì)使你寸步難行?！皫缀瓮鯂币灿凶约旱恼Z言。幾何中的概念；定理的敘述；作圖方法的敘述，都需使用準(zhǔn)確的幾何語言。幾何語言按敘述的方式分有文字語言、符號(hào)語言和圖形語言；按用途分有描述語言、作圖語言、推理語言

6、。 (1)正確掌握幾何語言是學(xué)好幾何知識(shí)的必備條件。 幾何是一門邏輯性十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，它的嚴(yán)謹(jǐn)性突出表現(xiàn)在語言表述上。掌握幾何語言，對(duì)理解幾何概念，識(shí)別幾何圖形，學(xué)會(huì)推理論證有著重要的作用。初中幾何入門教學(xué)，首先就遇到幾何語言和幾何符號(hào)，正確掌握幾何語言是學(xué)好幾何的必備條件，也是進(jìn)行正確的數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵。比如平行四邊形的概念，它是這樣定義的：“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。”它強(qiáng)調(diào)“兩組對(duì)邊”因?yàn)橐唤M對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形，它不是平行四邊形。它強(qiáng)調(diào)“四邊形”若是其他邊形（五邊形、六邊形）那就根本不可能是平行四邊形。這個(gè)定義可以作為判斷圖形是不是平行四邊形的判定定理。要

7、判斷一個(gè)圖形是不是平行四邊形，就要看它是否滿足：是四邊形一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊也平行。這三個(gè)條件缺一不可。條件排除其它邊形。條件排除了沒有一邊平行的任意四邊形，條件排除了梯形。因此，我們說，學(xué)習(xí)幾何語言“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”是了解和判斷平行四邊形這樣一個(gè)幾何事實(shí)的必備條件。 學(xué)懂了幾何語言，才有可能畫出相應(yīng)的圖形并會(huì)使用符號(hào)表示。相反，當(dāng)圖形已知時(shí)，要能用幾何語言，符號(hào)表達(dá)圖形的形狀、大小和位置關(guān)系。這是學(xué)幾何應(yīng)具備的雙重能力，即能把幾何語言轉(zhuǎn)化為幾何圖形，也能把幾何圖形轉(zhuǎn)化為幾何語言。如：任意取一個(gè)三角形ABC（用符號(hào)表示為ABC），這就表示ABC的形狀、大小和位置都是任意

8、的（它包括一切三角形）。我們就不能把它畫成特殊的形狀，如等腰三角形，等邊三角形或直角三角形等。在論證時(shí)，也只能應(yīng)用任意三角形的性質(zhì)，而不能將特殊三角的性質(zhì)在論證或解題時(shí)作為已知條件而應(yīng)用進(jìn)去。這說明按文字要求畫出相應(yīng)幾何圖形時(shí)，對(duì)幾何語言要準(zhǔn)確理解才能畫出正確的圖形。 (2)、學(xué)習(xí)幾何語言的困難分析 幾何語言訓(xùn)練是幾何教學(xué)的重要組成部分。因?yàn)閹缀握Z言和日常生活語言不盡相同，幾何語言具有簡(jiǎn)潔明了，概念性強(qiáng)、邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)，所以很多學(xué)生感到難以掌握。常有學(xué)生感到“意思懂，但不知如何說，如何落筆”。如“兩點(diǎn)確定一條直線”指的是“過兩點(diǎn)有一條直線，而且只有一條直線?！睅缀握Z言比日常使用的語言意義更確定

9、，且只有一種特定的解釋。 錯(cuò)誤地理解或使用幾何語言都會(huì)造成概念的模糊和思維的混亂。比如“有公共端點(diǎn)的兩條射線叫做角”。這個(gè)說法是錯(cuò)誤的。因?yàn)榻请m然是由公共端點(diǎn)的兩條射線所形成，但角并不就是這兩條射線組成的圖形，在這個(gè)圖形中不僅包括邊和頂點(diǎn)，還有角的內(nèi)部。又比如“平角是一條直線”也是錯(cuò)誤的。因?yàn)橐粭l直線和平角不是相同的概念，角必須有頂點(diǎn)，有從頂點(diǎn)出發(fā)的兩條邊。當(dāng)這兩條邊互為反方向時(shí)成平角。平角和直線只有位置上的相同，但不是同一圖形。產(chǎn)生以上錯(cuò)誤的最主要的原因是把一些表面相似，但不屬于同一范疇的概念混為一談。 幾何以作圖語言，告訴了畫幾何圖形的方法，不同的幾何語言，有不同的作圖的方法，畫出的圖形也

10、不相同。作圖語句不能用錯(cuò)，不能說出無法完成的作圖語句。例如，“延長直線”直線本來就是向兩方無限延伸著的，還要怎么延長。至于推理語言，還是有它的規(guī)矩，不僅要正確敘述，而且整個(gè)過程中，不能犯邏輯上的錯(cuò)誤。 幾何語言大量表述出平面圖形的位置、形狀和大小的關(guān)系，不僅有靜態(tài)描述，更有動(dòng)態(tài)描述，而且由于思路的不同，也可有不同的表達(dá)方式。讓學(xué)生學(xué)會(huì)結(jié)合圖形去學(xué)習(xí)和理解定義、定理，而且也能用定義、定理去解釋圖形?？上Ш芏鄬W(xué)生只能用背誦語言文字的方法去記憶定義、定理，這是一種多慢差費(fèi)的辦法。教師應(yīng)重視學(xué)生學(xué)會(huì)并運(yùn)用幾何語言的能力的培養(yǎng)。 (3)、怎樣學(xué)習(xí)幾何語言 首先要重視閱讀課本，對(duì)幾何語言需要咬文嚼字地學(xué)，

11、但學(xué)生恰恰在這一條上很難做到，因?yàn)閷W(xué)生原來的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法是很不重視閱讀數(shù)學(xué)課本的，咬文嚼字地閱讀數(shù)學(xué)課本更是不耐煩，但是對(duì)于幾何語言的學(xué)習(xí)來說這一條尤其重要，它能幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)幾何語言的簡(jiǎn)潔、清晰，從中理解和掌握幾何的定義、定理、公理，學(xué)會(huì)應(yīng)用幾何語言去敘述幾何定義、定理、公理，從而提高幾何語言的應(yīng)用能力，進(jìn)而可以模仿課本上的幾何語言，解答幾何的計(jì)算題或證明題。比如：“連接兩點(diǎn)的線段的長度叫這兩點(diǎn)間的距離?！币⒁狻熬€段”和“長度”，因連結(jié)兩點(diǎn)的線有任意的曲線折線，但這里只能是線段，不能是其它的線，而且是線段的長度，只就說明兩點(diǎn)間的距離 比如： 等腰三角形的性質(zhì)1-等腰三角形的兩個(gè)底角相等

12、，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生 畫出圖形，結(jié)合圖形，將文字語言符號(hào)化（如圖1-1）： 在中 AB=AC圖（1-1）? C=B 等腰三角形的性質(zhì)2-等腰三角形“三線合一” 到底是哪三線重合呢？非常容易出錯(cuò)，而且在將其進(jìn)行符號(hào)化的時(shí)候，往往會(huì)把等腰三角形“三線”中的已知身份忽視因此應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生畫出圖形，結(jié)合圖形對(duì)其進(jìn)行符號(hào)化，其表達(dá)形式為（如圖1-2）： （1）AB=AC，BAD=CADBD=CD，ADBC （2）AB=AC，BD=CDBAD=CAD，ADBC （3）AB=AC，ADBCBD=CD，BAD=CAD 將文字語言圖形化，符號(hào)化的意識(shí)應(yīng)貫穿幾何教學(xué)的始終，只有這樣才能為學(xué)生幾何證明的學(xué)習(xí)建

13、立良好的基礎(chǔ)(二)證明幾何題的技巧幾何證明題入門難，證明題難做，是許多初中生在學(xué)習(xí)中的共識(shí)，這里面有很多因素，有主觀的、也有客觀的，學(xué)習(xí)不得法，沒有適當(dāng)?shù)慕忸}思路則是其中的一個(gè)重要原因。掌握證明題的一般思路、探討證題過程中的數(shù)學(xué)思維、總結(jié)證題的基本規(guī)律是求解幾何證明題的關(guān)鍵。在這里結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)勛约旱囊恍┓椒ㄅc大家一起分享。1要審題。很多學(xué)生在把一個(gè)題目讀完后，還沒有弄清楚題目講的是什么意思，題目讓你求證的是什么都不知道，這非常不可取。我們應(yīng)該逐個(gè)條件的讀，給的條件有什么用，在腦海中打個(gè)問號(hào)，再對(duì)應(yīng)圖形來對(duì)號(hào)入座，結(jié)論從什么地方入手去尋找，也在圖中找到位置。2要記。這里的記有兩層意思

14、。第一層意思是要標(biāo)記，在讀題的時(shí)候每個(gè)條件，你要在所給的圖形中標(biāo)記出來。如給出對(duì)邊相等，就用邊相等的符號(hào)來表示。第二層意思是要牢記，題目給出的條件不僅要標(biāo)記，還要記在腦海中，做到不看題，就可以把題目復(fù)述出來。3要引申。難度大一點(diǎn)的題目往往把一些條件隱藏起來，所以我們要會(huì)引申，那么這里的引申就需要平時(shí)的積累，平時(shí)在課堂上學(xué)的基本知識(shí)點(diǎn)掌握牢固，平時(shí)訓(xùn)練的一些特殊圖形要熟記，在審題與記的時(shí)候要想到由這些條件你還可以得到哪些結(jié)論（就像電腦一下，你一點(diǎn)擊開始立刻彈出對(duì)應(yīng)的菜單），然后在圖形旁邊標(biāo)注，雖然有些條件在證明時(shí)可能用不上，但是這樣長期的積累，便于以后難題的學(xué)習(xí)。4要分析綜合法。（1）分析法定義

15、：要證明一個(gè)命題正確，為了尋找正確的證題方法或途徑，我們可以先設(shè)想它的結(jié)論是正確的，然后追究它成立的原因，再就這些原因分別研究，看它們的成立又各需具備什么條件，如此逐步往上逆求，直至達(dá)到已知的事實(shí)，這樣一種思維方法就叫做分析法。可簡(jiǎn)單地概括為：“執(zhí)果索因”。意思就是：“拿著結(jié)果去尋找原因”。思路：舉例說明其證明命題正確的思路：若要證明如下命題：“若A成立，則D成立?！庇梅治龇ㄋ伎紩r(shí)，其思路可如下圖所示：（應(yīng)從下往上看）從結(jié)論開始，即從D開始往上尋求其成立的條件，假設(shè)C、C1、C2都能使D成立，再尋求其成立的條件什么能使C、C1、C2成立，設(shè)B、B1能使C成立，B2能使C1成立，B3、B4能使C

16、2成立，這一切原因，固然都可使D成立，但究竟哪個(gè)是題設(shè)A的結(jié)果呢？檢查之后，設(shè)發(fā)現(xiàn)B是，這樣就由未知的D上溯到已知的A，因而就獲得了證明的思路：DCBA，即D可由C得出，C又可由B得出，B又可由已知的A得出，至此顯然命題得證。 （2）綜合法：定義：證明一個(gè)命題的正確時(shí)，我們先從已知的條件出發(fā)，通過一系列已確立的命題（如定義、定理等），逐步向前推演，最后推得要證明的結(jié)果，這種思維方法，就叫做綜合法?？珊?jiǎn)單地概括為：“由因?qū)Ч保础坝稍蛉ネ茖?dǎo)結(jié)果”。思路：要證明定理“若A成立，則D成立”，用綜合法思考時(shí)，其思路可由下圖所示：從已知條件開始，故從A開始推演，尋找可以到達(dá)D的思路，但由A所得的結(jié)果

17、往往不止一個(gè)，可能有好多個(gè)。設(shè)B、B1、B2都是A的結(jié)果，同樣由B、B1、B2又可得好多結(jié)果，設(shè)由B可得C、C1，B1可得C2，B2可得C3、C4，在這些C中，只要有一個(gè)能得出D即可，思考至此便可得到：ABCD這個(gè)證明的思路了。若C中還沒有一個(gè)能得出D的，可如上一樣，再往下尋求，直至能得出D為止。分析法與綜合法的特點(diǎn)：分析法的特點(diǎn)是從要證明的結(jié)論開始一步步地尋求其成立的條件，直至尋求到已知條件上。綜合法的特點(diǎn)是從已知條件開始推演，一步步地推導(dǎo)結(jié)果，最后推出要證明的結(jié)果。分析法與綜合法的優(yōu)缺點(diǎn)：證幾何題時(shí)，在思索上，分析法優(yōu)于綜合法，在表達(dá)上分析法不如綜合法。分析法利于思考，綜合法宜于表述，在解

18、決問題中，最好合并使用。對(duì)于一個(gè)新問題，我們一般先用分析法尋求解決，然后用綜合法有條理地表述出來。  （3）. “兩頭湊”的證題方法。對(duì)于一些較復(fù)雜的幾何問題，我們可以采用“兩頭湊”的方法去尋求證明的途徑。“兩頭湊”即先從已知條件出發(fā)，看可以得出什么結(jié)果，再從要證明的結(jié)論開始尋求，看它的成立需具備哪些條件，最后看它們的差距在哪里，從而找出正確的證題途徑。5要?dú)w納總結(jié)。很多同學(xué)把一個(gè)題做出來，長長的松了一口氣，接下來去做其他的，這個(gè)也是不可取的，應(yīng)該花上幾分鐘的時(shí)間，回過頭來找找所用的定理、公理、定義，重新審視這個(gè)題，總結(jié)這個(gè)題的解題思路，往后出現(xiàn)同樣類型的題該怎樣入手。以上是常見證明題的解題思路，當(dāng)然有一些的題設(shè)計(jì)的很巧妙，往往需要我們?cè)谔罴虞o助線，下面我們?cè)僬務(wù)撘幌鲁Ｒ娞罴虞o助線的方法和思路。（三）輔助線的添加人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。角平分線平行線，等腰三角形來添。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線加一倍。 梯形里面作高線