專題20矩形存在性問題知識(shí)精講-沖刺中考數(shù)學(xué)幾何壓軸專項(xiàng)復(fù)習(xí)

1、矩形存在性問題知識(shí)精講、關(guān)于矩形的基礎(chǔ)知識(shí)1、什么是矩形？矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形矩形就是在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加一個(gè)角是直角這個(gè)比較特殊的條件2、矩形具有哪些性質(zhì)？矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；矩形的對(duì)角線相等；矩形的四個(gè)角都是直角；矩形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸注：矩形是特殊的平行四邊形，也是中心對(duì)稱圖形過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分；矩形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（分別通過對(duì)邊中點(diǎn)的直線）對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn)（即對(duì)稱中心）（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對(duì)邊平行且相

2、等；從角看，矩形四個(gè)角都是直角；從對(duì)角線看，矩形的對(duì)角線互相平分 且相等3、矩形的判定方法有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 二、矩形存在性問題的解題策略1. 在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”都能判定平行四邊形是矩形，因此，在坐標(biāo)系中，若 AC為矩形ABCD的對(duì)角線，則此矩形應(yīng)滿足如下的等式：a ÷ =忑母 T霜Q=+ ；（4 j:C） 12 + （yA- ye）7 = （j 少D）了 + （如一血）復(fù)2. 矩形除了可以由平行四邊形得到之外，還可以看成是由兩個(gè)直角三角形組成的，如圖所示：在此基礎(chǔ)上，

3、要善于利用直角三角形的性質(zhì): 兩個(gè)銳角互余； 三邊平方的等量關(guān)系（勾股定理）； 斜邊上的中線等于斜邊的一半三、經(jīng)典例題例1 :如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 H=I-二：'". I與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)A的直線；.=t 丿）與“軸負(fù)半軸交于點(diǎn) C,與拋物線另一個(gè)交點(diǎn)為 D ,且i _ =.（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出直線J的函數(shù)表達(dá)式（其中，k、b用含門的式子表示）；（2）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以 A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成矩形?【解析】（1） ”一二 一 + ' 1 - 令 P = U ,解得 = 一 1

4、_，= X直線經(jīng)過點(diǎn)A ,” H = -L ,即=卜，.'，V =令一.一：=十.;；，整理得 ；- A=OTfJ=J:, 點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4,直線的函數(shù)表達(dá)式為“：；a(2)令,一：；=：+ 打，即，.：【-. =O ,解得. = -'I . = 1 ,： ；/；IJ = I 一；：=.： 一 I J 一：，拋物線的對(duì)稱軸為.r = 1，設(shè)、沖J若 AD 是矩形的一條邊，則 i .'.= j I ='_ ：；.，則-Vf. 2'I, i四邊形ADPQ是矩形，_' = 二 T + .- /=/ 即 ¼= ： J - . S.- >若

5、AD是矩形的一條對(duì)角線，則線段AD的中點(diǎn)坐標(biāo)為, m = 5 (-3fl) = 8 , /. P(I J 8),四邊形 APDQ 是矩形，= l i /. 十一' =；. - i' I + I、 '' I.' + f - ： ' = .''' I1 ',即 二 f/ <j < O1 .a= -.-4）綜上，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為I 、-l或時(shí)，以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為一個(gè)矩形例2:如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線一與軸、"軸分別交于點(diǎn) 八J7八，點(diǎn)C的坐標(biāo)為:，過點(diǎn)C作廠F丄一 LJ于點(diǎn)E,點(diǎn)D為軸正半軸的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足 c. ' = k ',連接DE,以DE、DA為邊作平行四邊形 DEFA ,若平行四邊形 DEFA為矩形，求的值;53【解析】（1）在' 中，在Jic中，IJJ AE = AB BE = 516，當(dāng)四邊形DEFA是矩形時(shí)，在IWJ土 中,ADE如圖 1，當(dāng)點(diǎn) C 在 軸上方時(shí)， Jr= > =L ? '=> = I .可得方程4 2m