有理數(shù)基本概念講義學(xué)生版

1、有理數(shù)基本概念及運算中考要求內(nèi)容基本要求略高要求較高要求有理數(shù)理解有理數(shù)的意義會比較有理數(shù)的大小數(shù)軸能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)；知道實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系會借助數(shù)軸比較有理數(shù)的大小相反數(shù)會用有理數(shù)表示具有相反意義的量，借助數(shù)軸理解相反數(shù)的意義，會求實數(shù)的相反數(shù)掌握相反數(shù)的性質(zhì)絕對值借助數(shù)軸理解絕對值的意義，會求實數(shù)的絕對值會利用絕對值的知識解決簡單的化簡問題例題精講板塊一、正數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)隨著同學(xué)們視野的拓展，小學(xué)學(xué)過的自然數(shù)、分數(shù)和小數(shù)已經(jīng)不能滿足認知需要了.譬如一些具有相反意義的量，收入300元和支出200元，向東50米和向西30米，零上和零下等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數(shù)量

2、，怎么表示它們呢？我們把一種意義的量規(guī)定為正的，把另一種和它意義相反的量規(guī)定為負的，這樣就產(chǎn)生了正數(shù)和負數(shù).正數(shù)：像、等的數(shù)，叫做正數(shù).在小學(xué)學(xué)過的數(shù)，除外都是正數(shù).正數(shù)都大于.負數(shù)：像、等在正數(shù)前加上“”（讀作負）號的數(shù)，叫做負數(shù).負數(shù)都小于.既不是正數(shù)，也不是負數(shù).一個數(shù)字前面的“”，“”號叫做它的符號.正數(shù)前面的“”可以省略，注意與表示是同一個正數(shù).用正、負數(shù)表示相反意義的量：如果正數(shù)表示某種意義，那么負數(shù)表示它的相反的意義，反之亦然.譬如：用正數(shù)表示向南，那么向北可以用負數(shù)表示為.“相反意義的量”包括兩個方面的含意：一是相反意義；二是相反意義的基礎(chǔ)上要有量.有理數(shù):按定義整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱

3、有理數(shù).注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)；負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負整數(shù)；負整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù).【例1】 如果收入2000元，可以記作元，那么支出5000元，記為 .高于海平面300米的高度記為海拔米，則海拔高度為米表示 .某地區(qū)5月平均溫度為，記錄表上有5月份5天的記錄分別為，那么這5項記錄表示的實際溫度分別是 .向南走米，表示 .【鞏固】 珠穆朗瑪峰海拔高度為米，吐魯番盆地海拔高度為米，則海平面為 【例2】 下列說法正確的是（ ）A一定是負數(shù) B一個數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)C是負數(shù) D在正數(shù)前面加“-”號，就成了負數(shù)【鞏固】 下列個數(shù)中：中負分數(shù)有 個；負整數(shù)有 個；自然數(shù)有 個【例

4、3】 檢查籃球的質(zhì)量，把超過標準質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標準質(zhì)量的克數(shù)記為負數(shù)，檢查的結(jié)果如下表：籃球編號12345與標準質(zhì)量的差（克）最接近標準質(zhì)量的是號籃球；質(zhì)量最大的籃球比質(zhì)量最小的籃球重克.【鞏固】 若是負數(shù)，則 【例4】 在下列各數(shù)：，中，負數(shù)的個數(shù)為 個；一定是負數(shù)的是 （填序號）【鞏固】 下列說法正確的是（ ）A表示負有理數(shù) B一個數(shù)的絕對值一定不是負數(shù)C兩個數(shù)的和一定大于每個加數(shù) D絕對值相等的兩個有理數(shù)相等兩數(shù)相加，其和小于其中一個加數(shù)而大于另一個加數(shù)，那么（ ）A這兩個加數(shù)的符號都是正的 B這兩個加數(shù)的符號都是負的C這兩個加數(shù)的符號不能相同 D這兩個加數(shù)的符號不能確定板塊二

5、、倒數(shù)【例5】 （2010朝陽二模）的倒數(shù)是（ ） A B C D （2010東城二模）的倒數(shù)是（ ）A-5 B5 C D （2010房山二模）的倒數(shù)是（ ） A. 4 B. -4 C. D. 4 (2010宣武二模)的倒數(shù)為（ ）A. B. C. D.5 （2010順義二模）5的倒數(shù)是（ ）A B C D（2010西城二模）的倒數(shù)是（ ） A. 2010 B. C. D. 2010【鞏固】 有理數(shù)等于它的倒數(shù)，有理數(shù)等于它的相反數(shù)，則 【鞏固】 若，和互為倒數(shù)，的絕對值為，求代數(shù)式的值【例6】 在一列數(shù)中，已知，從第二個數(shù)起，每個數(shù)都等于“與它前面的那個數(shù)的差的倒數(shù)” 求的值 根據(jù)以上計算結(jié)

6、果，求的值板塊三 數(shù)軸數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線.注意：原點、正方向、單位長度稱為數(shù)軸的三要素，三者缺一不可.單位長度和長度單位是兩個不同的概念，前者指所取度量單位的長度，后者指所取度量單位的名稱，即單位長度是一條人為規(guī)定的代表“1的線段，這條線段可長可短，按實際情況來規(guī)定，同一數(shù)軸上的單位長度一旦確定，則不能再改變.數(shù)軸的畫法及常見錯誤分析畫一條水平的直線；在這條直線上適當位置取一實心點作為原點：確定向右的方向為正方向，用箭頭表示；選取適當?shù)拈L度作單位長度，用細短線畫出，并對應(yīng)標注各數(shù)，同時要注意同一數(shù)軸的單位長度要一致.數(shù)軸畫法的常見錯誤舉例：錯例原因無原點沒有正方向單位長度

7、不統(tǒng)一沒有單位長度有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來.在數(shù)軸上，右邊的點所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點所對應(yīng)的數(shù)大.正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù).注意：數(shù)軸上的點不都代表有理數(shù)，如.利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。簲?shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù).因此，正數(shù)總大于零，負數(shù)總小于零，正數(shù)大于負數(shù).【例7】 數(shù)軸上有一點它表示的有理數(shù)是，將點向左移動個單位得到點，再向右移動個單位，得到點，則點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是【鞏固】 如右圖所示，數(shù)軸上的點和分別對應(yīng)有理數(shù)、，那么以下結(jié)論正確的是( )A.， B.，C.， D.， 【例8】 數(shù)所對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么與的大

8、小關(guān)系為（ ） A. B. C. D.不確定的【鞏固】 如圖，數(shù)軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距個單位，點對應(yīng)的數(shù)分別為整數(shù)，并且，那么數(shù)軸的原點對應(yīng)點為（ ）AA點 BB點 CC點 DD點【鞏固】 在數(shù)軸上，下面說法中不正確的是(     ) A兩個正數(shù)，小的離原點B兩個有理數(shù)，大數(shù)對應(yīng)的點在右邊 C兩個負數(shù)，較大的數(shù)對應(yīng)的點離原點近D兩個有理數(shù)，大的離原點較遠【例9】 數(shù)軸上點對應(yīng)的數(shù)為，那么與相距個長度的點所對應(yīng)的數(shù)是_.數(shù)軸上的點、分別表示數(shù)和，點是、的中點，則點所表示的數(shù)是_.一個點從數(shù)軸的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長

9、度，則終點表示的數(shù)是_.【鞏固】 數(shù)軸上有一點到原點的距離是，那么這個點表示的數(shù)是 _.【鞏固】 數(shù)軸上的一個點表示一個數(shù)，當這個點表示的是整數(shù)時，我們稱它是整數(shù)點如果有一條數(shù)軸的單位長度是1厘米時，有一條2米長的線段放在數(shù)軸上它可以蓋住多少個整數(shù)點？【鞏固】 已知數(shù)軸上有兩點，之間的距離為，點與原點的距離為，那么點所對應(yīng)的數(shù)為 【例10】 一輛貨車從超市出發(fā)，向東走了到達小彬家，繼續(xù)向前走了到達小穎家，然后向西走了到達小明家，最后回到超市以超市為原點，向東作為正方向，用個單位長度表示，在數(shù)軸上表示出小明，小彬，小穎家的位置小明家距離小彬家多遠？貨車一共行駛了多少千米？【例11】 初一（4）班

10、在一次聯(lián)歡活動中，把全班分成5個隊參加活動，游戲結(jié)束后，5個隊的得分如下： 隊：-50分；隊：150分；隊：-300分；隊：0分；隊：100分 將5個隊按由低分到高分的順序排序； 把每個隊的得分標在數(shù)軸上，并將代表該隊的字母標上；從數(shù)軸上看隊與隊相差多少分？隊與隊呢？【鞏固】 在數(shù)軸上，點和點都在與對應(yīng)的點上，若點以每秒個單位長度的速度向右運動，點以每秒個單位長度的速度向左運動，則秒之后，點和點所處的位置對應(yīng)的數(shù)是什么？這時線段的長度是多少？【例12】 在數(shù)軸上任取一條長度為的線段，則此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點的個數(shù)為 【鞏固】 數(shù)軸上表示整數(shù)的點稱為整點。某數(shù)軸的單位長度是1厘米，

11、若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長為2004厘米的線段，則線段蓋住的整點的個數(shù)是（ ） A. 2002或2003B. 2003或2004 C. 2004或2005D. 2005或2006【例13】 數(shù)軸上坐標是整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這數(shù)軸上隨意畫出一條長為1995厘米的線段，則線段蓋住的整點有( )個A1994或1995 B1994或1996 C1995或1996 D1995或1997板塊四、相反數(shù)相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)特別地，0的相反數(shù)是0.相反數(shù)的性質(zhì)：代數(shù)意義：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，特別地，0的相反數(shù)是0相反數(shù)必須成對出現(xiàn)，不能單獨存在

12、例如和互為相反數(shù)，或者說是的相反數(shù)，是 的相反數(shù)，而單獨的一個數(shù)不能說是相反數(shù)另外，定義中的“只有”指除符號以外，兩個數(shù)完全相同，注意應(yīng)與“只要符號不同”區(qū)分開例如與互為相反數(shù)，而與雖然符號不同，但它們不是相反數(shù)幾何意義：一對相反數(shù)在數(shù)軸上應(yīng)分別位于原點兩側(cè)，并且到原點的距離相等這兩點是關(guān)于原點對稱的求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“”號即可一般地，數(shù)的相反數(shù)是；這里以表示任意一個數(shù)，可以為正數(shù)、0、負數(shù)，也可以是任意一個代數(shù)式注意不一定是負數(shù)當時，；當時，；當時，.互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為零，即若與互為相反數(shù)，則，反之，若，則與互為相反數(shù)多重符號的化簡：一個正數(shù)前面不管有多少個“

13、”號，都可以全部去掉；一個正數(shù)前面有偶數(shù)個“”號，也可以把“”號全部去掉；一個正數(shù)前面有奇數(shù)個“”號，則化簡后只保留一個“”號，既“奇負偶正”（其中“奇偶”是指正數(shù)前面的“”號的個數(shù)的奇偶數(shù)，“負正”是指化簡的最后結(jié)果的符號）.【例14】 下面各量具有相反意義的是( )A向北走3千米，向東走3千米 B七年級班男生有25人，女生有15人C上午氣溫零上，下午氣溫零上 D上升200米，下降15米【例15】 （2010年豐臺二模）的相反數(shù)是（ ）A B C D 的相反數(shù)是 A 3 B 3 C ±3 D 【例16】 如果，那么，兩個實數(shù)一定是（ ）A都等于 B一正一負 C互為相反數(shù) D互為倒數(shù)

14、【鞏固】 的相反數(shù)是 ，的相反數(shù)是 ，的相反數(shù)是 .【鞏固】 若，且，則( ).A.與相等 B.與互為相反數(shù) C. 與相等 D.與相等【鞏固】 若，且，那么，.【例17】 a 、b 、c 、m 都是有理數(shù)，且a+2b+3c=m ，a+b+2c=m ，那么b 與c (     ) A互為相反數(shù)B互為倒數(shù)C互為負倒數(shù) D相等【例18】 如果，化簡下列各數(shù)的符號，并說出是正數(shù)還是負數(shù)；【鞏固】 下列說法錯誤的是( )A.與互為相反數(shù) B.與互為相反數(shù)C.與互為相反數(shù) D.與互為相反數(shù)【例19】 已知與互為相反數(shù)，求【例20】 和之和的次方等于，與的相反數(shù)之和的

15、次方等于，則的值為多少？板塊五、科學(xué)計數(shù)法、有效數(shù)字科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中，是整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法例如：就是科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的形式也是科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的形式有效數(shù)字： 從一個數(shù)的左邊第一個非0數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字如：有兩個有效數(shù)字：2，7 ；有5個有效數(shù)字：1，2，0，2，7注意：萬，億?？键c及易錯點：科學(xué)計數(shù)法中的單位轉(zhuǎn)換，精確到什么位與保留有效數(shù)字的差別記憶方法：移動幾位小數(shù)點問題比如：要科學(xué)記數(shù)法，實際就是小數(shù)點向左移動到和之間，移動了位，故記為 【例21】 2008年5月10日北京奧運會火炬接力傳遞活動在美麗的海濱城市汕

16、頭舉行，整個火炬?zhèn)鬟f路線全長約米，用科學(xué)記數(shù)法表示火炬?zhèn)鬟f路程是（ ）A米 B米 C米 D米 【例22】 上海世博會的開幕式中，煙花的燃放是美景之一，而我們是先看到煙花，再聽見聲音，其原因是 光的傳播速度大于聲音的傳播速度. 在常溫下光的傳播速度約為300 000 000m/s，聲音的傳播速度約為340m/s. 將300 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）A BCD【鞏固】 全球可被人類利用的淡水總量僅占地球上總水量的0.00003，因此珍惜水、保護水，是我們每一位 公民義不容辭的責任其中數(shù)字0.00003用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）A B C D 【鞏固】 2010年北京市高考人數(shù)約8萬人，

17、其中統(tǒng)考生僅7.4萬人，創(chuàng)六年來人數(shù)最低. 請將74 000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ） A B C D【鞏固】 某種感冒病毒的直徑為0.0000000031米，將0.0000000031用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ） A3.1×109 B0.31×10-8 C3.1×109 D3.1×10-9【鞏固】 某種流感病毒的直徑是0.00000008m，用科學(xué)記數(shù)法表示0.00000008為（ ）ABCD【鞏固】 據(jù)上海世博會旅游推廣工作領(lǐng)導(dǎo)小組透露， 2010年上海世博會參觀人數(shù)有望突破7000萬人次，把7000萬用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ） A B C D 【鞏固】

18、據(jù)統(tǒng)計，到目前為止，北京市的常住人口和外來人口的總和已經(jīng)超過22 000 000人.將22 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）A. B. C. D. 【鞏固】 我國最長的河流長江全長約為6300千米將6300用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ） A B C D【鞏固】 在商品零售場所塑料購物袋有償使用管理辦法實施以后，某家超市一周內(nèi)塑料袋的使用量約減少了57000個將57000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）A B C D 【例23】 （2級）（2004年泰州中考題）2003年10月15日9時10分，我國神舟五號載人飛船準確進入預(yù)定軌道，16日5時59分，返回倉與推進倉分離，返回地面，其間飛船繞地球飛行了圈

19、，飛行的路程約萬千米，則神舟五號飛船繞地球平均每圈飛行了 （用科學(xué)記數(shù)法表示，結(jié)果保留三個有效數(shù)字）【例24】 指出下列各近似值精確到哪一位： ； ； ； 萬； ； 【例25】 下列說法正確的是（ ）A 近似數(shù)與近似數(shù)的精確度相同B 近似數(shù)與近似數(shù)中都有三個有效數(shù)字C 近似數(shù)與近似數(shù)中有效數(shù)字的個數(shù)相同D 四舍五入精確到個位，所得近似數(shù)有一個有效數(shù)字【鞏固】 今年秋季，廣西有一百三十余萬名義務(wù)教育階段的貧困學(xué)生享受到國家免費教科書政策，預(yù)計免費教科書發(fā)放總量為1500萬冊，發(fā)放總量用科學(xué)記數(shù)法記為_冊（保留2個有效數(shù)字）【鞏固】 用四舍五入法，對，保留四位有效數(shù)字 ；保留兩位有效數(shù)字 【例26】 用四舍五入法，按括號內(nèi)的要求求出下列各數(shù)的近似值： （精確到百分位） ； （精確到） ； （精確到百位） ； （精確到萬分