概率教材習題選解

1、概率統(tǒng)計第二章教材習題選解習題21，21下列表中所列出的是否是某個隨機變量的分布律？（1） （2）（3）解：若，則應滿足條件：，且.（1）滿足上述條件，是某個隨機變量的分布律.（2）中概率之和相加不等于1，則不上某個隨機變量的分布律.（3）中概率均滿足，且，故表中所列出的是某個隨機變量的分布律.2設隨機變量的分布律為,試確定常數(shù).解：當時，有，于是，故.3一批產(chǎn)品共100個，其中有10個次品，求任意取出的5個產(chǎn)品中次品數(shù)的分布律.解：設表示“任意取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)”，則的取值為：.以下求取上述值時對應的概率.，.故，.或者寫成公式的形式：.4一大樓裝有5個同類型的供水設備，調(diào)查表明在任意

2、時刻每個設備被使用的概率為0.1，問在同一時刻（1）恰有2個設備被使用的概率是多少？（2）至少有3個設備被使用的概率是多少？（3）至多有3個設備被使用的概率是多少？解：設為“同一時刻被使用的設備數(shù)”，則.（1）；（2）；（3）.5對某一目標進行射擊，直至擊中為止，如果每次射擊命中率為，求射擊次數(shù)的分布律.解：設為“射擊的次數(shù)”，則由題意.6從學校乘車到火車站的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是，設為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機變量的分布律.解：顯然的取值為：； .即.或者寫成公式的形式：.7設某城市在一周內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)服從參數(shù)為0.3的泊松分布，試問

3、（1）在一周內(nèi)恰好發(fā)生2次交通事故的概率是多少？（2）在一周內(nèi)至少發(fā)生1次交通事故的概率是多少？解：設表示“某城市在一周內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)”，則.（1）；（2）.8設服從泊松分布，其分布律為問當為何值時，最大？解：設為最大，則有下面不等式組：.解這個不等式組，由.由.即，. 綜合以上：.習題231下列函數(shù)是否是某個隨機變量的分布函數(shù)？（1） （2）.解：由定義，且；單調(diào)不減，右連續(xù)；，.（1）中函數(shù)滿足以上條件，故是某個隨機變量的分布函數(shù).（2）中的函數(shù)，不滿足條件，故不是某個隨機變量的分布函數(shù).2設的分布函數(shù)為求常數(shù)及.解：因為，所以.3設服從分布，其分布律為求的分布函數(shù)，并作出圖形.解：

4、因為的分布律為且，所以的分布函數(shù)為：.其圖象為：4設隨機變量的分布律為,（1）求的分布函數(shù)，并畫出的圖形；（2）求.解：因為當時，有.故，.5一個靶子是半徑為2米的圓盤，設擊中靶上任意同心圓盤上的概率與圓盤的面積成正比，并射擊都能中靶，以表示彈著點與圓心的距離，試求隨機變量的分布函數(shù).解：，其中：.當時，；當時，；當時，.綜合以上：.習題241設隨機變量的概率密度為求的分布函數(shù).解：因為，而密度函數(shù)又是分段函數(shù)，所以要以分段點為界進行討論.當時，；當時，；當時，.綜上：.2設隨機變量的概率密度為，試求：（1） 系數(shù); （2）; （3）的分布函數(shù).解：因為，所以.當時，；當時，.綜上：.3設隨機

5、變量的概率密度為試求（1）系數(shù); （2）的分布函數(shù)；（3）.解：因為，所以.當時，；當時，；當時，.綜上：.4設隨機變量的分布函數(shù)為求：（1），； （2）求的概率密度.解：； .（注意：在處不可導.）5在服從均勻分布，求方程有實根的概率.解：由題意，.方程有實根的充要條件是：.故.6設顧客在某銀行等待服務的時間（以分計）服從指數(shù)分布，其概率密度為，某顧客在某銀行等待服務，若超過10分鐘他就離開，他一個月要到銀行5次，以表示他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，試寫出的分布律，并求.解：顧客未等到服務的概率為，則，即.7設,（1）求，;（2）確定，使得；（3）設滿足，問至多為多少？解：.，而，故，.因為

6、是增函數(shù)，故，.即至多取.8某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）分布近似于正態(tài)分布96分以上的占考生總數(shù)的2.3，試求考生的外語成績在6084分之間的概率.解：由題意，即.于是，.從而.習題251設隨機變量的分布律為試求（1）；（2）的分布律.解：（1）的取值為：，.；.即，.（2）的取值為：，.；.即，.2隨機變量，求的分布律.解：因為，則的取值為：，所以的取值為：.；.故，.3隨機變量在服從均勻分布，（1）求的概率密度；（2）求的概率密度.解：由題意，.（1）因為滿足，所以是增函數(shù).于是，.（2）因為滿足，所以是單調(diào)減少的函數(shù).于是，.4隨機變量的概率密度為，求的概率密度.解：因

7、為滿足，所以單增.于是，.5設隨機變量概率密度為,求的概率密度.解：因為，所以.又因為在上單減，在上單增，所以.其中：和分別是在和上的概率密度函數(shù).當時，的反函數(shù)為，則；當時，的反函數(shù)為，則.于是，.6設隨機變量的概率密度為，求的概率密度.解：因為在上單增，在單減，所以.當時，有反函數(shù)，則；當時，有反函數(shù)，則；故，.7設是在上取值的連續(xù)型隨機變量，且,如果,試決定使得.解：因為，所以.于是，故，從而.第二章總習題1袋中有5只同樣大小的球，編號為1，2，3，4，5. 從袋中同時取3只球，以表示取出的球的最大號碼，求得分布律.解：取值為：.；.故，.2甲、乙兩名籃球隊員輪流投籃，直至某人投中為至.

8、如果甲投中的概率為0.4，乙投中的概率為0.6，并假設甲先投，試分別求出投籃中止時甲、乙投籃次數(shù)的分布律.解：設分別表示甲、乙投籃的次數(shù)，則的可能取值為：而；以此類推，可得到的分布律為：.的可能取值為：；以此類推，可得到的分布律為：，.3已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求（1）乙箱中次品件數(shù)的分布律；（2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.解：（1）的取值為：.；.故，.（2）設表示“甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品”，表示“甲箱中任取的3件產(chǎn)品中有個次品”，則由全概率公式得：.；

9、.；.故，.4有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯，如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是成功一次.（1）某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒，他連續(xù)試驗十次，成功三次.試推斷他是猜對的，還是他確有區(qū)分能力（設各次試驗是相互獨立的）.解：設表示“某人成功一次”，表示“他連續(xù)試驗十次，成功三次”，則.令，那么.由于非常小，照常理推斷，他確有區(qū)分能力.5設隨機變量的概率密度為，以表示對的三次獨立重復觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，試求.解：設，則由題意可知：.其中：.故，.6某儀器裝有3只獨立工作的同型號的電子元件，其壽命都服從參數(shù)為（單位：小時）的

10、指數(shù)分布.試求在儀器使用的最初200小時內(nèi)，至少有一只電子元件損壞的概率.解：設表示“電子元件的壽命”，則.再設表示“200小時內(nèi)電子元件損壞的個數(shù)”，則.于是，.7已知隨機變量的概率密度為，試確定常數(shù).解：因為，所以.而，故.8設隨機變量服從正態(tài)分布且，求.解：由，即.而.9在電源電壓不超過200伏，在200240伏和超過240伏三種情況下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001，0.2。假設電源電壓服從試求：（1）電子元件損壞的概率；（2）該電子元件損壞時，電源電壓在200240伏的概率.解：設表示“電子元件損壞”，構(gòu)成一個完備群，且；由全概率公式得：.10假設隨機變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，證明在區(qū)間上服從均勻分布.證明：因為滿足，所以單增.故，.11設隨機變量的概率密度為是的分布函數(shù).求隨機變量的分布