對(duì)氣體等溫氣壓公式的修正doc

1、對(duì)氣體等溫氣壓公式的修正 魏國(guó)柱，顧永偉，杜安在 << 大學(xué)物理>> 和一些熱學(xué)教材中，都給出了氣體等溫氣壓公式，其推導(dǎo)步 驟如下：設(shè)N和N 0分別是離地面高度z和地面z =0處的氣體分子數(shù)密度，卩是氣體 分子的摩爾質(zhì)量，g是重力加速度，R是氣體常數(shù)，T是絕對(duì)溫度，則氣體分子在 重力場(chǎng)中按高度的分布公式是N =N 0e -卩 gz /RT,(1)再利用理想氣體狀態(tài)方程p =Nk B T，(2)其中kB是玻爾茲曼常數(shù)，和等溫平衡過(guò)程方程(3) T =c，得到氣體等溫氣壓公式p =p 0e -卩 gz /RT . (4)式(4)表明，在溫度均勻情形下，大氣壓強(qiáng)隨高度增加按指

2、數(shù)衰減.由式(4)可得z =RT p 0 . (5)In 卩 g p由于實(shí)際上大氣的溫度是隨離地面的高度而變化的，因此在爬山和航空中，由 式(5)根據(jù)所測(cè)定的大氣壓強(qiáng)隨高度的變化來(lái)計(jì)算上升的高度時(shí)，得到的只是近 似結(jié)果.為了得到比較接近實(shí)際的結(jié)果，必須把式(4)和式(5)進(jìn)行修正.在熱力學(xué)中，表示實(shí)際過(guò)程中理想氣體的壓強(qiáng)和體積關(guān)系的是多方過(guò)程顯然,考慮到大氣溫度隨高度的變化，當(dāng)同樣把大氣作為理想氣體，用多方平衡過(guò)程方程取代等溫平衡過(guò)程方程，推導(dǎo)出相應(yīng)的氣壓公式會(huì)比較接近實(shí)際 1氣體多方平衡過(guò)程的氣壓公式的推導(dǎo)取坐標(biāo)如圖1所示，在氣體中沿Z方向隔離一個(gè)圓柱形體積微元，這一體積微元的力學(xué)平衡條件為

3、(6) pS =(p +dp S + P gSdz其中S是圓柱形體積微元的底面積，P是離地面 高度z處的氣體密度，dp是在高度z +dz和z處之間的壓強(qiáng)差.容易得到dp =- p gdz .(7)理想氣體的多方平衡過(guò)程方程是m 1沿乂方向隔離的圓柱形休枳微元.pV n =c，(8)其中n是多方指數(shù)，顯然當(dāng)n =1時(shí)對(duì)應(yīng)的是等溫平衡過(guò)程.對(duì)一定質(zhì)量的氣體，體積 V和密度p成反比，多方平衡過(guò)程方程可改寫(xiě)為p -n =c '. (9)式(8)和式(9)中的c和c '是常數(shù).如果大氣在地面壓強(qiáng)為p 0，在高度為 z =0的密度為p 0z時(shí)的密度為p,壓強(qiáng)為p，則有：p -n =p 0

4、p-n)，(10)得1P nP =（ P 011）P 0把式（11）代入式（7）得圖I沿z方向隔離的圓柱形體積微元.p dp =-p 0 p Ogdz (12)完成自地面z =0到離地面的高度z的積分有n -1n -11 n -n n(p -p 0 =-p On p Ogz (13) n -11n1n整理后得-1nRT Op n nz =1-( ,(14)(n -1 卩 g p 0其中T 0是地面z =0處的絕對(duì)溫度.在得到式(14)時(shí)我們用到了理想氣體的狀態(tài)方程式(2).由此得到氣體多方過(guò)程的氣壓公式：(n -1 卩 gz n n p =p 哪1 . (15)nRT 0有意思的是，若令(n -1 卩 gz(16)nRT 0則式(15)可寫(xiě)成p =p 0(1+x 1-u gzRT 0x當(dāng)n -1,即等溫平衡過(guò)程，x -0,利用lim (1+x =e ,x 01x有p =p 0e卩g