分部積分專題

1、分部積分公式：udv二uv 一 vdu公式的實(shí)質(zhì)：乘積導(dǎo)數(shù)公式的逆用。應(yīng)用公式的原則；積分 vdu要比積分udv簡(jiǎn)單易求。解題時(shí)通常有兩種方案：例1 求積分xexdx方案 1 u=x, du =1 dx dv 二 exdx, v 二 exxex dx = xdex = xex 一 exdx = xex 一 ex C右邊的積分比左邊簡(jiǎn)單。2 方案 2 u =ex， dv=xdx， v =一22 2 2 貝Uxexdx = exd = e x exdx2 2 2顯然右邊的積分比左邊難。更進(jìn)一步地，對(duì)于積分 x 2 2 x xx 1貝Uxln x d x= In xdIn xdx22L 2 xexd

2、x選u = x2，則du二2xdx，積分.vdu二2xexdx，這樣用一次分部積分， 幕函數(shù)的幕就降低一次。這里，不要追求用一次就解決問題，只要解題的大方向 正確，就要勇往直前。經(jīng)驗(yàn)1對(duì)于積分.xnexdx，通常選u = xn上面的經(jīng)驗(yàn)并不是所有場(chǎng)合都適用，對(duì)于下面的積分就不適合 例 2 xln xdx那么V二？ v求不出2xv = 一2女口果選 u=x dv=l nxdx必須選 u = l n x， dv 二 xdx2a22x ,1, XxIn x xdx In xC2224注意：求導(dǎo)后，吆消失了，22與1為同一類函數(shù)。經(jīng)驗(yàn)2對(duì)于積分 xn I nxdx，通常選u=l nx。與此具有相同性質(zhì)

3、的還有反三角函數(shù)例 3求 2x arctanxdx解 令 u = arctanx， dv = 2xdx，22xa r c ta d x= arctan xdx=x2 arctan x -1 +x=x2 arctanx -匚Jdx1 x2=x arctanx x arctanx C2=(x1)arctan x - x C注意：求導(dǎo)后，arctanx消失了，更為理想的是(arctanx) = , 1 2與x2為同類函數(shù)。經(jīng)驗(yàn)3對(duì)于 xn In xdx ；xn arctanxdx;通常選u經(jīng)驗(yàn)4=In x 或 u = arctanx例3中，又可設(shè)V = X2 1，運(yùn)算起來(lái)會(huì)更簡(jiǎn)單，省去了最后的合并步

4、驟,解法22 21 x22x arcta nxdx = arcta nxd(x 1)=(x 1) arcta nx-2=(x 1) arctan x - x C用同樣的方法可解下題求.(2x-1)l n(x 1)dx設(shè)-In(x 1) du=*2dv=(2x_1)dx v=x _ x _ 2 = (x _2)(x1)(2x -1)ln(x 1)dx= ln(x 1)d(x2 x 一2)2 1 = (x2 _x _2)ln(x 1)(x-2)(x 1)dxx + 1= (x2 x2)ln(x 1) 一(x 2)dx2= (x2 x 2)l n(x 1) (x 2) C2經(jīng)驗(yàn)5例 5 求arcsx

5、dx對(duì)于這種只有一項(xiàng)，而沒有兩項(xiàng)的積分，采用的方法是把dx看成是分部積分的-部分，即設(shè) dv 二 dx， u = arcsinx解arc s)ridx=xarcsi n x -x dx21 -X.+1d(1-X2) =x arcs inx2' J1_x2=x arcsinx -1- x2 C經(jīng)驗(yàn)6下面兩個(gè)積分類似，都是循環(huán)型積分例6ex sin xdx ，ex c o x d x解法1設(shè) u 二 ex， dv 二 cosxdx，v 二 s i rxex c o s d x= exd sin x = ex sin x - ''ex sin xdx=ex sin x 亠 i

6、 exd cosxxxx=e sinx e cosx - e cosxdxx1 xex c o xd)= ex(sin x cosx) C解法2ex cosxdx = exd sin x 二 ex sin x: ex sin xdx( 1)ex c o s d x= cosxdex 二ex cosx ex sin xdx(2)(1) + (2 得(1)-例7解X1 Xe1丄小2 arcta nx C 2(1 x2)2 c o s d x= ex(sin x cosx) C(2)得1exs i rxd x ex (sin- cox) C 2求seC3xdxs eCx d = secxd tanx

7、=secxtanx- tanxdsecx=secxtanx - secxtan_ 1d(1 x2) =J 2 2 (1 x2)2 xdx3=secxtanx- sec xdx 亠 isecxdxsec xdx =secx ta nx2secx + ta nx +Cdxdv 二dxv(1 x2)2(1 - x2)(1 x )x2(1 x2)2*2(1 x2)i2 dx2(1 x2)經(jīng)驗(yàn)7例9解法1使用分部積分法時(shí)，注意把分部積分法與換元積分法結(jié)合使用 通常的經(jīng)驗(yàn)是先換元后分部。arctanx ,3dx2(1 x )設(shè) u = arctanx ，dv 二dx3(1 x2) 2x -tant解法2(

8、1 x ) 2x1 x2arcta nxx arcta nxdx =(1 x2)2 Tx2xarcta nx.1 x2xarcta nx.1 x2sec2 tdt3 cot tdt = sin t C sec txx(1 x2) 2d(1+x2)2 (1 x2)'2-1、C可直接作換元x=tant&nt rtsec2 tdt2 tdt t i t3t costdt = t sin t -sec tarctan x .dx(1 x2)2sin tdt=ts int cost C= xarctanx _i_ c£1 + x2J x2又如In x=tsin(ln x) dx si nt etdt3 t芻亍Jedx = J3t2etdt經(jīng)驗(yàn)8注意那種可抵消的積分例10X xxe e .求rdx(x 2)X 丄 X xe e , rdx (x 2)2=(x 2)e=(x 2)2x廠dx(x 2)xe(x 2)xe +x 2 (x 2)xe * (x 2)對(duì)于類似例10的積分，技巧是只作其中一個(gè)積分，保留另一個(gè)積分，最后抵消 所保留的積分。經(jīng)驗(yàn)9 注意到,（只針對(duì)高水平的學(xué)生或準(zhǔn)備考研的學(xué)生） 如果被積函數(shù)具有形式(u v uv )dx 二 (uv) dx 二 uv C例11exSdx1 +COSX解注意到:112 x