第14講三角形與全等三角形（含答案點(diǎn)撥）

1、第14講三角形與全等三角形考綱要求命題趨勢(shì)1了解三角形和全等三角形有關(guān)的概念，知道三角形的穩(wěn)定性，掌握三角形的三邊關(guān)系2理解三角形內(nèi)角和定理及推論3理解三角形的角平分線、中線、高的概念及畫法和性質(zhì)4掌握三角形全等的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角形全等的證明.中考中多以填空題、選擇題的形式考查三角形的邊角關(guān)系，通過(guò)解答題來(lái)考查全等三角形的性質(zhì)及判定全等三角形在中考中常與平行四邊形、二次函數(shù)、圓等知識(shí)相結(jié)合，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.知識(shí)梳理一、三角形的概念及性質(zhì)1概念(1)由三條線段_順次相接組成的圖形，叫做三角形(2)三角形按邊可分為：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分為：銳角三角形、鈍角三角形和

2、直角三角形2性質(zhì)(1)三角形的內(nèi)角和是_；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的_；三角形的一個(gè)外角大于與它_的任何一個(gè)內(nèi)角(2)三角形的任意兩邊之和_第三邊；三角形任意兩邊之差_第三邊二、三角形中的重要線段1三角形的角平分線三角形一個(gè)角的平分線和這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線特性：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的_2三角形的高線從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作_，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱高特性：三角形的三條高線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的_3三角形的中線在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊_的線段叫做三角形的中線特性：三角

3、形的三條中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的_4三角形的中位線連接三角形兩邊_的線段叫做三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于它的_三、全等三角形的性質(zhì)與判定1概念能夠_的兩個(gè)三角形叫做全等三角形2性質(zhì)全等三角形的_、_分別相等3判定(1)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為(SSS)；(2)有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為(SAS)；(3)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為(ASA)；(4)有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為(AAS)；(5)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)記為(HL)四、定義、命題、定理、

4、公理1定義對(duì)一個(gè)概念的特征、性質(zhì)的描述叫做這個(gè)概念的定義2命題判斷一件事情的語(yǔ)句(1)命題由_和_兩部分組成命題通常寫成“如果，那么”的形式，“如果”后面是題設(shè)，“那么”后面是結(jié)論(2)命題的真假：正確的命題稱為_；錯(cuò)誤的命題稱為_(3)互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的_，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的_，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題每一個(gè)命題都有逆命題3定理經(jīng)過(guò)證明的真命題叫做定理因?yàn)槎ɡ淼哪婷}不一定都是真命題所以不是所有的定理都有逆定理4公理有一類命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它們作為判斷其他命題真?zhèn)蔚脑家罁?jù)，這樣的真命題叫做公理五、證明1證

5、明從一個(gè)命題的條件出發(fā)，根據(jù)定義、公理及定理，經(jīng)過(guò)_，得出它的結(jié)論成立，從而判斷該命題為真，這個(gè)過(guò)程叫做證明2證明的一般步驟(1)審題，找出命題的題設(shè)和結(jié)論；(2)由題意畫出圖形，具有一般性；(3)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫出已知、求證；(4)分析證明的思路；(5)寫出證明過(guò)程，每一步應(yīng)有根據(jù)，要推理嚴(yán)密3反證法先假設(shè)命題中結(jié)論的反面成立，推出與已知條件或是定義、定理等相矛盾，從而結(jié)論的反面不可能成立，借此證明原命題結(jié)論是成立的這種證明的方法叫做反證法自主測(cè)試1ABC的內(nèi)角和為()A180° B360°C540° D720°2下列長(zhǎng)度的三條線段，不能組成三角形的是()

6、A3,8,4 B4,9,6C15,20,8 D9,15,83如圖，已知12，則不一定能使ABDACD的條件是()AABAC BBDCDCBC DBDACDA4下面的命題中，真命題是()A有一條斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等B有兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C有一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等D有一條高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等5如圖，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且ABAC，ADAE.求證：BC.考點(diǎn)一、三角形的邊角關(guān)系【例1】若某三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則下列長(zhǎng)度的線段能作為其第三邊的是()A1 B5 C7 D9解析：設(shè)第三邊為x，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得43x34，即1x

7、7.答案：B方法總結(jié) 1在具體判斷時(shí)，可用較小的兩條線段的和與最長(zhǎng)的線段進(jìn)行比較若這兩條線段的和大于最長(zhǎng)的那條線段，則這三條線段能組成三角形否則就不能組成三角形2三角形邊的關(guān)系的應(yīng)用：(1)判定三條線段是否構(gòu)成三角形；(2)已知兩邊的長(zhǎng)，確定第三邊的取值范圍；(3)可證明線段之間的不等關(guān)系觸類旁通1 已知三角形三邊長(zhǎng)分別為2，x,13，若x為正整數(shù)，則這樣的三角形個(gè)數(shù)為()A2 B3 C5 D13考點(diǎn)二、全等三角形的性質(zhì)與判定【例2】如圖，在RtABC中，BAC90°，AC2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板AED如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A

8、，D重合，連接BE，EC.試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想解：BEEC，BEEC.證明如下：AC2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，ABADCD.EADEDA45°，EABEDC135°.又EAED，EABEDC.AEBDEC，EBEC.BECAED90°.BEEC，BEEC.方法總結(jié) 1判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，常用下面的思路：有兩角對(duì)應(yīng)相等時(shí)找夾邊或任一邊對(duì)應(yīng)相等；有兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)找夾角或另一邊對(duì)應(yīng)相等在具體的證明中，要根據(jù)已知條件靈活選擇證明方法2全等三角形的性質(zhì)主要是指全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線、周長(zhǎng)、面積等之間的等量

9、關(guān)系觸類旁通2 如圖，在ABC中，ACB90°，ACBC，BECE于點(diǎn)E，ADCE于點(diǎn)D.求證：BECCDA.考點(diǎn)三、真假命題的判斷【例3】下列命題，正確的是()A如果|a|b|，那么abB等腰梯形的對(duì)角線互相垂直C順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是平行四邊形D相等的圓周角所對(duì)的弧相等解析：A項(xiàng)錯(cuò)誤，例如：|2|2|，但22；B項(xiàng)錯(cuò)誤，等腰梯形的對(duì)角線可能垂直，但并不是所有的等腰梯形對(duì)角線都垂直；C項(xiàng)正確，可以根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的判定得到；D項(xiàng)錯(cuò)誤，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，必須是在同圓或等圓中答案：C方法總結(jié) 對(duì)命題的正確性理解一定要準(zhǔn)確，判定命題不成立時(shí)，有時(shí)可

10、以舉反例說(shuō)明道理；命題有正、誤，錯(cuò)誤的命題也是命題觸類旁通3 已知三條不同的直線a，b，c在同一平面內(nèi)，下列四個(gè)命題：如果ab，ac，那么bc；如果ba，ca，那么bc；如果ba，ca，那么bc；如果ba，ca，那么bc.其中為真命題的是_(填寫所有真命題的序號(hào))考點(diǎn)四、證明的方法【例4】如圖，已知在梯形ABCD中，ADBC，BCDC，CF平分BCD，DFAB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E.求證：(1)BFCDFC；(2)ADDE.證明：(1)CF平分BCD，BCFDCF.在BFC和DFC中，BFCDFC.(2)如圖，連接BD.BFCDFC，BFDF.FBDFDB.DFAB，ABDFDB.ABDF

11、BD.ADBC，BDADBC.BCDC，DBCBDC.BDABDC.又BD是公共邊，BADBED.ADDE.方法總結(jié) 1證明問(wèn)題時(shí)，首先要理清證明的思路，做到證明過(guò)程的每一步都有理有據(jù)，推理嚴(yán)密要證明線段、角相等時(shí)，證全等是常用的方法2證明的基本方法：(1)綜合法，從已知條件入手，探索解題途徑的方法；(2)分析法，從結(jié)論出發(fā)，用倒推來(lái)尋求證題思路的方法；(3)兩頭“湊”的方法，綜合應(yīng)用以上兩種方法找證明思路的方法觸類旁通4 如圖，在ABC中，AD是中線，分別過(guò)點(diǎn)B，C作AD及其延長(zhǎng)線的垂線BE，CF，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).求證：BECF.1(2012浙江嘉興)已知ABC中，B是A的2倍，C比A大

12、20°，則A等于()A40° B60° C80° D90°2(2012貴陽(yáng))如圖，已知點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，ABDE，BCEF，要使ABCDEF，還需要添加一個(gè)條件是()ABCAF BBECBCEF DAEDF3(2012四川雅安)在ADB和ADC中，下列條件：BDDC，ABAC；BC，BADCAD；BC，BDDC；ADBADC，BDDC.能得出ADBADC的序號(hào)是_4(2012廣東廣州)如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，ABAC，BC，求證：BECD.5(2012江蘇蘇州)如圖，在梯形ABCD中，已知ADBC，ABCD，延長(zhǎng)線段CB

13、到E，使BEAD，連接AE，AC.(1)求證：ABECDA；(2)若DAC40°，求EAC的度數(shù)1如圖，為估計(jì)池塘兩岸A，B間的距離，楊陽(yáng)在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn)P，測(cè)得PA16 m，PB12 m，那么AB間的距離不可能是()A5 m B15 mC20 m D28 m2如圖，已知ABC中，ABC45°，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，CD4，則線段DF的長(zhǎng)度為()A2 B4C3 D43如圖，在ABC中，A80°，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ACD150°，則B_.4如圖，在ABC中，BC邊不動(dòng)，點(diǎn)A豎直向上運(yùn)動(dòng)，A越來(lái)越小，B，C越來(lái)越大，若A減少度，B增加度，C增加度

14、，則，三者之間的等量關(guān)系是_5如圖所示，三角形紙片ABC中，A65°，B75°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在ABC內(nèi)，若120°，則2的度數(shù)為_6如圖，點(diǎn)B，C，F(xiàn)，E在同一直線上，12，BCFE，1_(填“是”或“不是”)2的對(duì)頂角，要使ABCDEF，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是_(只需寫出一個(gè))7如圖，已知在ABC中，ACB90°，CDAB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，CEBC，過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：ABFC.8如圖，點(diǎn)A，B，D，E在同一直線上，ADEB，BCDF，CF.求證：ACEF.參考答案導(dǎo)學(xué)必備知識(shí)自主測(cè)試1A2A3B

15、4D5證明：在ABE和ACD中，ABAC，AA，AEAD，ABEACD.BC.探究考點(diǎn)方法觸類旁通1B由三角形三邊的關(guān)系可得132x132，即11x15，x為正整數(shù)，x為12,13,14，故選B.觸類旁通2證明：BECF于點(diǎn)E，ADCE于點(diǎn)D，BECCDA90°.在RtBEC中，BCECBE90°，在RtBCA中，BCEACD90°，CBEACD.在BEC和CDA中，BECCDA.觸類旁通3觸類旁通4證明：在ABC中，AD是中線，BDCD.CFAD，BEAE，CFDBED90°.在BED與CFD中，BEDCFD，BDECDF，BDCD，BEDCFD，BE

16、CF.品鑒經(jīng)典考題1A設(shè)Ax，則B2x，Cx20°，則x2xx20°180°，解得x40°，即A40°.2B由已知可得兩個(gè)三角形已有兩組邊對(duì)應(yīng)相等，還需要另一組邊對(duì)應(yīng)相等或夾角對(duì)應(yīng)相等，只有B能滿足條件3由題意知ADAD，條件可組成三邊對(duì)應(yīng)相等，條件可組成兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，條件可組成兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等，這三個(gè)條件都可得出ADBADC，條件組成的是兩邊及其一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，不能得出ADBADC.4證明：在ABE和ACD中，BC，ABAC，AA，ABEACD(ASA)BECD.5(1)證明：在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，ABEBAD，BADCDA.ABECDA.在ABE和CDA中，ABECDA.(2)解：由(1)得AEBCAD，AEAC，AEBACE.DAC40°，AEBACE40°.EAC180°40°40°100°.研習(xí)預(yù)測(cè)試題1D由三角形三邊關(guān)系知1612AB1612，故選D.2B因?yàn)橛梢阎勺C明BDFADC，所以DFCD.370°4560°ABC180°，CDECEDC180°，ABCDECED