排列、組合、二項式定理_1

1、排列、組合、二項式定理排列、組合、二項式定理 -基本原理排列、組合、二項式定理 - 基 本原理教學(xué)目標(biāo)（ 1）正確理解加法原理與乘法原理的意義， 分清它們的條件和 結(jié)論；（2）能結(jié)合樹形圖來幫助理解加法原理與乘法原理；（3）正確區(qū)分加法原理與乘法原理，哪一個原理與分類有關(guān)， 哪一個原理與分步有關(guān)；（4）能應(yīng)用加法原理與乘法原理解決一些簡單的應(yīng)用問題， 提 高學(xué)生理解和運用兩個原理的能力；（5）通過對加法原理與乘法原理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生周密思考、 細(xì)心分析的良好習(xí)慣。教學(xué)建議 一、知識結(jié)構(gòu)二、重點難點分析 本節(jié)的重點是加法原理與乘法原理，難點是準(zhǔn)確區(qū)分加法原理 與乘法原理。加法原理、乘法原理本身是

2、容易理解的，甚至是不言自明的。 這兩個原理是學(xué)習(xí)排列組合內(nèi)容的基礎(chǔ)， 貫穿整個內(nèi)容之中， 一方面 它是推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)的基礎(chǔ)； 另一方面它的結(jié)論與其思想在方法 本身又在解題時有許多直接應(yīng)用。兩個原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法種數(shù)是多少的問題，其區(qū)別在于：運用加法原理的前提條件是， 做一件事有 n 類方案， 選擇任何一類方案中的任何一種方法都可以完成此事， 就是 說，完成這件事的各種方法是相互獨立的； 運用乘法原理的前提條件 是，做一件事有 n 個驟， 只要在每個步驟中任取一種方法， 并依次完 成每一步驟就能完成此事， 就是說， 完成這件事的各個步驟是相互依 存的。簡單的說，如果完成

3、一件事情的所有方法是屬于分類的問題， 每次得到的是最后結(jié)果， 要用加法原理； 如果完成一件事情的方法是 屬于分步的問題，每次得到的該步結(jié)果，就要用乘法原理。三、教法 建議關(guān)于兩個計數(shù)原理的教學(xué)要分三個層次： 第一是對兩個計數(shù)原理的認(rèn)識與理解這里要求學(xué)生理解兩個 計數(shù)原理的意義， 并弄清兩個計數(shù)原理的區(qū)別 知道什么情況下使用 加法計數(shù)原理，什么情況下使用乘法計數(shù)原理 （建議利用一課時） 第二是對兩個計數(shù)原理的使用可以讓學(xué)生做一下習(xí)題（建議 利用兩課時）： 用 0，1，2，9 可以組成多少個 8 位號碼； 用 0， 1，2，9 可以組成多少個 8 位整數(shù)； 用 0，1，2，9 可以組成多少個無重復(fù)

4、數(shù)字的 4 位整數(shù)； 用 0，1，2，9 可以組成多少個有重復(fù)數(shù)字的 4 位整數(shù)； 用 0，1，2，9 可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的 4 位奇數(shù)； 用 0，1，2，9 可以組成多少個有兩個重復(fù)數(shù)字的 4 位整數(shù)等等第三是使學(xué)生掌握兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用，這個過程應(yīng)該貫 徹整個教學(xué)中， 每個排列數(shù)、 組合數(shù)公式及性質(zhì)的推導(dǎo)都要用兩個計 數(shù)原理，每一道排列、組合問題都可以直接利用兩個原理求解，另外 直接計算法、 間接計算法都是兩個原理的一種體現(xiàn) 教師要引導(dǎo)學(xué)生 認(rèn)真地分析題意，恰當(dāng)?shù)姆诸?、分步，用好、用活兩個基本計數(shù)原理 示 例加法原理和乘法原理教學(xué)目標(biāo) 正確理解和掌握加法原理和乘法原 理，并能準(zhǔn)確

5、地應(yīng)用它們分析和解決一些簡單的問題， 從而發(fā)展學(xué)生 的思維能力， 培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力 教學(xué)重點和難點 重點：加法原理和乘法原理 難點：加法原理和乘法原理的準(zhǔn)確應(yīng) 用教學(xué)用具 投影儀教學(xué)過程設(shè)計 （一）引入新課 從本節(jié)課開始， 我們將要學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)內(nèi)容中一個獨特的部分排列、 組合、二項 式定理它們研究對象獨特，研究問題的方法不同一般雖然份量不 多，但是與舊知識的聯(lián)系很少， 而且它還是我們今后學(xué)習(xí)概率論的基 礎(chǔ)，統(tǒng)計學(xué)、運籌學(xué)以及生物的選種等都與它直接有關(guān)至于在日常 的工作、生活上，只要涉及安排調(diào)配的問題，就離不開它 今天我 們先學(xué)習(xí)兩個基本原理（二）講授新課 1介紹兩個基本原理 先

6、考 慮下面的問題： 問題 1 ：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽 車，還可以乘輪船一天中，火車有 4 個班次，汽車有 2 個班次， 輪船有 3 個班次那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地， 共有 多少種不同的走法？ 因為一天中乘火車有 4 種走法，乘汽車有 2 種 走法，乘輪船有 3 種走法， 每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事 情所以，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有 4+2+3=9 種 不同的走法 這個問題可以總結(jié)為下面的一個基本原理（打出片子 加法原理） ： 加法原理：做一件事，完成它可以有幾類辦法，在 第一類辦法中有 m1 種不同的方法， 在第二類辦法中有 m2 種不同的

7、 方法，在第 n 類辦法中有 mn 種不同的方法那么，完成這件 事共有 N=m1+m2+ +mn 種不同的方法 請大家再來考慮下面 的問題（打出片子問題 2）： 問題 2：由 A 村去 B 村的道路有 3 條，由 B 村去 C村的道路有 2 條（見下圖），從 A 村經(jīng) B村去 C村， 共有多少種不同的走法？ 這里，從 A 村到 B 村，有 3 種不同的走 法，按這 3 種走法中的每一種走法到達(dá) B 村后，再從 B 村到 C 村又 各有 2 種不同的走法，因此，從 A 村經(jīng) B 村去 C 村共有 32=6 種 不同的走法 一般地，有如下基本原理（找出片子乘法原理） ： 乘法原理：做一件事，完成它

8、需要分成 n 個步驟，做第一步有 m1 種不同的方法，做第二步有 m2 種不同的方法，做第 n 步有 mn 種不同的方法那么，完成這件事共有 Nm1 m2 mn 種 不同的方法 2淺釋兩個基本原理 兩個基本原理的用途是計算做一 件事完成它的所有不同的方法種數(shù) 比較兩個基本原理，想一想， 它們有什么區(qū)別？ 兩個基本原理的區(qū)別在于：一個與分類有關(guān)，一 個與分步有關(guān) 看下面的分析是否正確 （打出片子題 1 ，題 2 ）： 題 1：找 1 10 這 10 個數(shù)中的所有合數(shù)第一類辦法是找含因數(shù) 2 的合數(shù)，共有 4 個；第二類辦法是找含因數(shù) 3 的合數(shù)，共有 2 個； 第三類辦法是找含因數(shù) 5 的合數(shù)，

9、共有 1 個 110 中一共有 N=4 21=7 個合數(shù) 題 2：在前面的問題 2 中，步行從 A 村到 B 村 的北路需要 8 時，中路需要 4 時，南路需要 6 時，B 村到 C 村的北 路需要 5 時，南路需要 3 時，要求步行從 A 村到 C 村的總時數(shù)不超 過 12 時，共有多少種不同的走法？ 第一步從 A 村到 B 村有 3 種走 法，第二步從 B 村到 C 村有 2 種走法，共有 N=3 2=6 種不同走 法 題 2 中的合數(shù)是 4，6 ，8 ，9，10 這五個，其中 6 既含有因數(shù) 2，也含有因數(shù) 3；10 既含有因數(shù) 2，也含有因數(shù) 5 題中的分析是 錯誤的 從 A 村到 C

10、 村總時數(shù)不超過 12 時的走法共有 5 種題 2 中從 A 村走北路到 B 村后再到 C 村，只有南路這一種走法 （此時 給出題 1 和題 2 的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用兩個基本原理的注 意事項，這樣安排，不但可以使學(xué)生對兩個基本原理的理解更深刻， 而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力） 進(jìn)行分類時，要求各類辦法彼此 之間是相互排斥的， 不論哪一類辦法中的哪一種方法， 都能單獨完成 這件事只有滿足這個條件， 才能直接用加法原理， 否則不可以 如 果完成一件事需要分成幾個步驟， 各步驟都不可缺少， 需要依次完成 所有步驟才能完成這件事， 而各步要求相互獨立， 即相對于前一步的 每一種方法，下一步都有

11、 m 種不同的方法，那么計算完成這件事的 方法數(shù)時，就可以直接應(yīng)用乘法原理 也就是說：類類互斥，步步 獨立 （在學(xué)生對問題的分析不是很清楚時，教師及時地歸納小結(jié)， 能使學(xué)生在應(yīng)用兩個基本原理時， 思路進(jìn)一步清晰和明確， 不再簡單 地認(rèn)為什么樣的分類都可以直接用加法， 只要分步而不管是否相互聯(lián) 系就用乘法 從而深入理解兩個基本原理中分類、 分步的真正含義和 實質(zhì)）（三）應(yīng)用舉例 現(xiàn)在我們已經(jīng)有了兩個基本原理，我們可以用 它們來解決一些簡單問題了 例 1 書架上放有 3 本不同的數(shù)學(xué)書， 5 本不同的語文書， 6 本不同的英語書 （ 1）若從這些書中任取一 本，有多少種不同的取法？ （2）若從這些

12、書中， 取數(shù)學(xué)書、 語文書、 英語書各一本， 有多少種不同的取法？ （3 ）若從這些書中取不同的 科目的書兩本，有多少種不同的取法？ （讓學(xué)生思考，要求依據(jù)兩 個基本原理寫出這 3 個問題的答案及理由， 教師巡視指導(dǎo)， 并適時口 述解法） （1 ）從書架上任取一本書，可以有 3 類辦法：第一類辦 法是從 3本不同數(shù)學(xué)書中任取 1本，有3 種方法；第二類辦法是從 5 本不同的語文書中任取 1 本，有 5 種方法；第三類辦法是從 6 本不 同的英語書中任取一本， 有 6 種方法 根據(jù)加法原理， 得到的取法種 數(shù)是 Nm1m2m3 35614故從書架上任取一本書的 不同取法有 14 種 （2）從書架

13、上任取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各 1 本，需要分成三個步驟完成，第一步取 1 本數(shù)學(xué)書，有 3 種方法； 第二步取 1 本語文書，有 5 種方法；第三步取 1 本英語書，有 6 種 方法根據(jù)乘法原理， 得到不同的取法種數(shù)是 N=m1 m2 m3=3 56=90 故，從書架上取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各 1 本，有 90 種不同的方法 （ 3）從書架上任取不同科目的書兩本，可以有 3 類辦法：第一類辦法是數(shù)學(xué)書、語文書各取 1 本，需要分兩個步驟， 有 3 5 種方法；第二類辦法是數(shù)學(xué)書、英語書各取 1 本，需要分兩 個步驟，有 36 種方法；第三類辦法是語文書、英語書各取 1 本， 有 56 種方

14、法一共得到不同的取法種數(shù)是 N=3 536 56=63 即，從書架任取不同科目的書兩本的不同取法有 63 種 例 2 由數(shù)字 0 ，1，2，3 ，4 可以組成多少個三位整數(shù)（各位上的數(shù)字 允許重復(fù)）？ 解：要組成一個三位數(shù)，需要分成三個步驟：第一步 確定百位上的數(shù)字，從 14 這 4 個數(shù)字中任選一個數(shù)字，有 4 種選 法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，共有 5 種選法； 第三步確定個位上的數(shù)字， 仍有 5種選法根據(jù)乘法原理， 得到可以 組成的三位整數(shù)的個數(shù)是 N=4 55=100 答：可以組成 100 個 三位整數(shù) 教師的連續(xù)發(fā)問、啟發(fā)、引導(dǎo)，幫助學(xué)生找到正確的解 題思路和計算方

15、法， 使學(xué)生的分析問題能力有所提高 教師在第二個 例題中給出板書示范， 能幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對兩個基本原理實質(zhì)的 理解，周密的考慮，準(zhǔn)確的表達(dá)、規(guī)范的書寫，對于學(xué)生周密思考、 準(zhǔn)確表達(dá)、 規(guī)范書寫良好習(xí)慣的形成有著積極的促進(jìn)作用， 也可以為 學(xué)生后面應(yīng)用兩個基本原理解排列、組合綜合題打下基礎(chǔ).（四）歸納小結(jié) 歸納什么時候用加法原理、 什么時候用乘法原理： 分類時用 加法原理，分步時用乘法原理 應(yīng)用兩個基本原理時需要注意分類 時要求各類辦法彼此之間相互排斥；分步時要求各步是相互獨立 的（五）課堂練習(xí) P222 ：練習(xí) 14 （對于題 4，教師有必要對 三個多項式乘積展開后各項的構(gòu)成給以提示） （六）布置作業(yè) P222 ： 練習(xí) 5，6，7 補(bǔ)充題： 1在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位 數(shù)字的共有多少個？ （提示：按十位上數(shù)字的大小可以分為 9 類， 共有 9 8721=45 個個位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)） 2某學(xué)生填報高考志愿，有 m 個不同的志愿可供選擇， 若只能按第 一、二、三志愿依次填寫 3 個不同的志愿， 求該生填寫志愿的方式的 種數(shù) （提示：需要按三個志愿分成三步，共有 m（m-1）（m-2 ） 種填寫方式） 3 在所有的三位數(shù)中， 有且只有兩個數(shù)字相同的三位 數(shù)共有多少個？ （提示：可以用下面