數(shù)理統(tǒng)計之統(tǒng)計量及其分布(習(xí)題)

1、計算題、證明題1 設(shè)( x 1 , x2， ， xn )及（ u1 ， u2， ， un ）為兩組子樣觀測值，它們有如下關(guān)系ui xia（ b0,a 都為常數(shù)）求子樣平均值u 與 x ，子樣方差 su2與 sx2之間的關(guān)系b解 :u1nui12xia11xiax an2nbbnbi111xia21 22uiu2x aSunnbbb2 sx .2 若子樣觀測值 x1, x2 , , xm 的頻數(shù)分別為 n1 , n2, ， nm ，試寫出計算子樣平均值x 和子樣方差 sn2的公式(這里 n = n1 + n2 + + nm ).解 :x1mmn jx jmf j x jn j xjnn j 1j

2、 1j 1S21nxx 2mn j xx 2fxx 2njjjjjnj 1n其中 f jn j，j1,2, m 是 x j出現(xiàn)的頻率。n3利用契貝曉夫不等式求錢幣需拋多少次才能使子樣均值落在 0.4 到 0.6之間的概率至少為0.9 ? 如何才能更精確的計算使概率接近0.9 所需拋的次數(shù) ?是多少 ?解 :設(shè)需拋錢幣 n 次 ,第 i 次拋錢幣結(jié)果為第次拋出正面i1ii1,2, n ， 則i 獨立同分布 .且有分布 Pix1 , x0,1第i次拋出反面02從而 E i1, Di1。2411 , D1設(shè)i是子樣均值.則E.由契貝曉夫不等式n24nP 0.40.6P0.10.50.1PE0.11D

3、211000.9.0.14nn100250， 即需拋 250 次錢幣可保證 P 0.40.60.90.4為更精確計算n 值 ,可利用中心極限定理最新可編輯word 文檔P 0.40.6P0.40.50.5 0.60.52 0.2n1 0.9.1114n4n4n0.2 n 1.645n 68 .其中x 是 N 0,1的分布函數(shù) .4. 若一母體的方差2是容量為 100 的子樣的均值 . 分別利用契夫曉夫不等式和極限定理=4, 而求出一個界限 ,使得-(為母體的數(shù)學(xué)期望 E) 夾在這界線之間的概率為0.9.解 : 設(shè)此界限為. 由 P1D0.9 由此20.1 224D.0.4 0.6325.n10

4、0由中心極限定理 , PPD210.9.DD0.95.1.645.1.64540.329.D100D5假定 1和 2分別是取自正態(tài)母體N (2) 的容量為 n 的兩個子樣 (11 , 12 , 1n ),和,( 21,22 ,2 n ) 的均值 ,確定 n 使得兩個子樣均值之差超過的概率大約為 0.01.解 :i N,2i 1,2. 且相互獨立 .，所以12 N0,2 2nn于是 PP122 1n12220.01222nnn0.005.n2.582. n14.26設(shè)母體N(,4 )，（ 1, 2, n ）是取自此母體的一個子樣,為子樣均值 ,試問：子樣容量 n應(yīng)取多大 ,才能使(1)E (2)

5、 0.1;(2) E()0.1;(3)P （0.1)0.95.最新可編輯word 文檔240.1. n4解: (1) ED40.n0.1x 212 4(2)Exendx22n224=e 6 du0.1.n255.2 n2 n(3)P0.1Pn0.1n0.95.220.1n1.96.n1537.27.設(shè)母體 b 1, p(兩點分布 ),（1,2 ,n ）是取自此母體的一個子樣,為子樣均值 ,若 P0.2,子樣容量 n 應(yīng)取多大 ,才能使(1)Pp0.10.75;(2)E ( 丨p 丨 2 )0.01.若 P0.1 為未知數(shù) ,則對每個p ,子樣容量 n 應(yīng)取多大才能使E ( 丨p 丨 2)0.0

6、1.解:(1) 要P0.20.1P 0.10.30.75.n當(dāng) n10時,i服從二項項分布b k,10,0.2 . 查二項分布表知i110P 0.10.3P 1i30.87910.10740.77170.75.i 1所以 n 應(yīng)取 10.(2)EP. Dp 1pp0.2 時n當(dāng)E2D0.160.01.n16.pnp 1p(3)當(dāng) P未知時 ,E2D0.01pn由此知 ,n 100 p 1p ,要對一切 p0,1此時均成立 .只要求 p 值使 p 1p最大 ,顯然當(dāng) p1, p 1p1最大 ,.所以當(dāng) n 100125時 ,對一切 p 的不等式均能成立 .2448的 k 階原點矩和中心矩分別為v

7、k =Ek,k = Ek設(shè)母體，最新可編輯word 文檔k , ,，k和 mk 分別為容量 n 的子樣 k 階原點矩和中心矩 ,求證 :134332(1) E3;(2)242.11n2n2n 3解:31n31n32EEE31 +1i11i1jn i1n3i1ij+Ei1j1k1注意到1 ,2 ,n獨立 ,且 Ei1110i1,2, n.所以 E313.1n 2414 44322EE43E i1i1i1j11j1ni 1ijij6 E i2E i1j1k11j1k1l1i jkij kl1n n1323232242.=4n2nn3n349.設(shè)母體N,2, 子樣方差 Sn2=1n們分別為2124+

8、1+n和n.nn222, 求 E Sn,D Sn并證明當(dāng) n 增大時 , 它ii 1解 :由于 nSn222 n 1 .所以 E 2 n 1n1.DX 2 n 1 2 n 122n 1 212EnSn20ESnn2nn 2DSn24nSn 22 n 14241n2 D2n2n0n2 .10.設(shè)1 , 2為取自正態(tài)母體N,2的一個子樣 ,試證:1+ 2,1-2 是相互獨立的 .cov證：E12 , 12E22E 1E121212E12E122E12 .最新可編輯word 文檔由于1,2 N,2， 所以.2E2,E 1E 2E 12即 cov12 ,120又12 N 2,2 2， 12N0.22

9、.所以由兩個變量不相關(guān)就推出它們獨立.11設(shè)母體的分布函數(shù)為Fx, 1 ,2 ,n 是取自此母體的一個子樣, 若 F x的二階矩存在 ,為子樣均值 ,試證 1-j -=1j , i , j1,2, n.與的相關(guān)系數(shù), in1證由于的二階矩存在 ,不妨設(shè) E.D2covi,jEij, ijDDiiDiDi1nnn 121n 12n 1 2 n 1 2 .iD iD jn2i 1n2n 2j inE iE i jE iE jE 222 En22jijnnj12 222E i 22 22222n 1 22nE i E jnnnjin2n1.n1n21n12.設(shè)和 Sn2分別是子樣1 ,2 ,n的子樣

10、均值和子樣方差,現(xiàn)又獲得第 n +1個觀測值 ,試證 :(1)n+1=n+1(n+1-n);n1(2)S2n1=nSn212.n1nn1n11n111證(1)n 1innn 1nn 1nn1 inn 11121n121n12(2)Sn1n 1 iin1n1 iinnn 1111n112n1 i1inn1n 1n最新可編輯word 文檔1 nnn1n2i22n1i 1n1n12n1nn1 2n 1nnSn2n2=n12n 1n.n1ninn 1ni113.從裝有一個白球、兩個黑球的罐子里有放回地取球, 令=0 表示取到白球 ,=1表示取到黑球 .求容量為5 的子樣1 , 5的和的分布 ,并求子樣

11、均值和子樣方差 Sn2的期望值 .b 1;2, Ei =2.2i1,2,5解:i 相互獨立都服從二點分布33Di.9所以 E2 , ESn2n 1 2 8 .3n9452. 其分布列125 服從二項分布 b 5;352k15kpk. k0,1,2,5.k3314.設(shè)母體服從參數(shù)為的普哇松分布 ,1,2 ,n是取自此母體的一個子樣,求：(1)子樣的聯(lián)合概率分布列 :(2)子樣均值的分布列、 E、 D2、和 E Sn。nkixien.ki0,1解 :(1)p1k1, 2k2 ,nknenni1kiki !i1n(2)i服 從參 數(shù)為n的 普 哇松分布 ,所以的 分 布列 為i1pknke n. k

12、0,1,2E,Dn. ESn2n1 .nk!n15.設(shè)子樣1,2 ,n取自自由度為 m 的2m母體 ,試求子樣均值的分布密度函數(shù) .由于 x2ni 服從 x 21解 :m 分布具有可加性,所以nm 分布 .i1nni 的分布密度函數(shù)為:i 1最新可編輯word 文檔1nf xnm 2 2mnnmnx2 1x 2 e 2 , x 00, x016.設(shè)母體服從,分布 ,其密度函數(shù)為fxx1e x, x00,x0,1, 2, nn為大于 0的常數(shù) ,為取自此母體的一個子樣,試求子樣和i 的分布函數(shù) .i1,n解 :利用分布的可加性 ,知i 的分布密度為i 1ny nx1ey , yxp yn0F x

13、p y dy .0, y0017.設(shè)母體服從指數(shù)分布 ,其密度函數(shù)為f xaex , x0 ,a為常數(shù) ，求子樣均值的0,x0分布 .n解 :由于服從指數(shù)分布, 也就是服從1,分布 :由分布的可加性, 知子樣和i 服從i 1nnn,. 因而的分布密度為 Fyy n 1e ny , y0。n1 !0, y0.2k和 vn18. 若 1,2 ,n 是 取 自 正 態(tài) 母 體 N,的 子 樣 , 求 uii ,i 1ir0 k r n 的聯(lián)合分布 .解 :由于1, 2,n 相互獨立 ,又0krn, 所以 u 和 v 相互獨立 , u N k , k2 ,v N n r 1 , n r 12， 所 以

14、u, v的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布N k , n r 1 ,k 2 , n r 12,0 .1 ,N 1,2 ,2,2,1, , n 是取自此母體的一個子樣19.設(shè)母體212 , 求子1樣均值1 , 2nn 11i ,i1nn2i的分布密度函數(shù).i1最新可編輯word 文檔nn解 :二維正態(tài)變量的和1i ,2i 仍為二維正態(tài)變量 ,其五個參數(shù)分別為i 1i1nnE1in 1 ,E2in 2i 1i 1n2n2D1inD2in12i1i1nnnE1in12in 2E 1i12i212i 1i 1i1nn2n2n12n1222因此1,2服從N1, 2,1,2,.nn1 21 21,k=1,2, N.

15、現(xiàn)進行不返回抽樣，為子樣 1, 2, n20. 設(shè)母體的分布列為 P(k )=N的均值,試求 E 和D( 表示成 N 的函數(shù) ).解 : 由于 N 有限 ,而抽樣不返回 ,所以 1 ,2 , ,n 不是簡單隨機子樣 ,i 的分布列與母體相同 ,但不相互獨立 ,NE ik 1k 1N 1. i 1,2 N .N2N22D ik 21N 11NN 12N 1N 1k1N26N41N 21 . i1,2N .12kl2covi ,jE ijE iEjN 1NN 12k l11 kklN1 2.i jN .N Nl4N2N因為kk 2klk 1k 1klklN 12N2NN12N1 NN146N 13

16、N 2.k l12最新可編輯word 文檔cov,NN1N13N2N12N 1j1,2N.ij12N N1412.iE1nE iN1.n i 121n1nDDiD icov i ,jn2n2i1i1kl1nn n 1 N 1N 1 N n .D in2i11212n21.設(shè)母體N0,1,1,2 ,3為取自此母體的一個子樣,在子樣空間中求子樣點到原點距離小于 1的概率 .解:設(shè)1,2 ,3樣本點到原點0,0,0的距離為則222123p1 p22212221123p 123iN0,1.- 所以122232 2 3查2分布表 ,可求得近似值 p0.20.22.設(shè) 1 ,2 ,n 為取自正態(tài)母體N,2

17、2為子樣方差 ,分別求滿足下列各式的最小 n的子樣 , Sn的值 .(1)PSn21.50.95;(2)P22120.8.2Sn2解 :由于nSn22n 1 .2(1)pSn21.5nSn22p21.5n 0.05.2查- 分布表知最小的 n 值為 21.2223nnSn222pSn2p3n(2). p Sn22220.0822而最新可編輯word 文檔p2 n 13 nP2 n 1 n2p2 n 13 n 1 p2 n 1n0.2.2222查- 分布表知 ,最小的 n 值為 13.23. 設(shè)隨機變量2 2n ,求 :(1)的分布密度函數(shù);(2) 求的分布密度函數(shù) ;(3)求隨機變量的數(shù)學(xué)期望

18、 E和方差D .n解: (1)2服從2n分布,稱0 服從2 n分布, 且1y 2n 11y 2f ye2y22yyn122nne . y 0n1n2 22 222(2)n的密度函數(shù)n z2nnz 21n1n2為 f znzn 1e 2 .z 0.n z e2n 1nn 1n2 22 2221 1xn11nx2xnx23 EExx 21e 2 dx2e 2 d2.nn2202 2n0n222n12E 2EnDE 2E2n 22.n224. 設(shè)i 為相互獨立的連續(xù)型隨機變量,i 的分布函數(shù)為Fi xi, i1,2, n.試證 : 隨機變量n2 2n 分布 .2 ln Fii服從i1證 :令 iFii . i1,2n.則i 服從 R 0,1分布 .ni2 ln Fi ii