概率論知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、2典型問(wèn)題事件的概率利用概率定義和運(yùn)算法則計(jì)算利用隨機(jī)變量的概率分布計(jì)算概率的近似計(jì)算隨機(jī)變量及其函數(shù)的分布隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)字特征現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的概率模型3隨 機(jī) 事 件概念樣本點(diǎn)、樣本空間、基本事件、隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件 運(yùn)算及關(guān)系 運(yùn)算性質(zhì)1: AB 包包含含2: AB 相相等等1: AB 和和2: AB 積積3: AB 差差3 互互不不相相容容4 A 對(duì)對(duì)立立相相應(yīng)應(yīng)于于集集合合運(yùn)運(yùn)算算性性質(zhì)質(zhì)均均成成立立* 概率論部分知識(shí)要點(diǎn)小結(jié) *4概 率 定義 性質(zhì)2: 古古典典概概型型中中概概率率的的定定義義1: 公公理理化化定定義義,():AP A對(duì)對(duì)樣樣本本空空間間中中任任意意事事件

2、件定定義義數(shù)數(shù)滿(mǎn)滿(mǎn)足足 ; 0 1 AP 非非負(fù)負(fù)性性 ; 1 2 SP 規(guī)范性規(guī)范性 , 321有有對(duì)對(duì)于于兩兩兩兩互互斥斥事事件件AA 2121 APAPAAP 可列可加性可列可加性( ). P AA則則稱(chēng)稱(chēng)為為事事件件 的的概概率率3: 幾幾何何概概型型中中概概率率的的定定義義4: 概概率率的的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)定定義義 1 , PP S 2,()ABP BA 若若則則3( )P A 4,( )( )ABP AP B 若若則則5()P AB 6()()()P ABP ABP AAB()P AB5條 件 概 率 定義 三個(gè)重要公式 性質(zhì)具具有有無(wú)無(wú)條條件件概概率率的的一一切切性性質(zhì)質(zhì)1:乘乘法法公公

3、式式2:全全概概率率公公式式3:貝貝葉葉斯斯公公式式12,:nB BBS若若是是 的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分 則則獨(dú)立性 定義, A B獨(dú)獨(dú)立立性質(zhì), , , , A BA BA BA B獨(dú)獨(dú)立立獨(dú)獨(dú)立立獨(dú)獨(dú)立立獨(dú)獨(dú)立立 兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立 . ABC獨(dú)獨(dú)立立兩兩兩兩三三事事件件、 、 . ABC 相相互互獨(dú)獨(dú)立立三三事事件件、 、 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型在n重伯努利試驗(yàn)中,事件A(每次試驗(yàn)中發(fā)生概率為p)出現(xiàn)k次的概率為:6隨機(jī)變量及分布函數(shù)隨機(jī)變量的概念 X落在區(qū)間內(nèi)概率.X隨隨機(jī)機(jī)變變量量 為為定定義義在在樣樣本本空空間間上上的的單單值值實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù) 性質(zhì)離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量 分布函數(shù)12121)

4、:,()().xxF xF x 單單調(diào)調(diào)不不減減 若若則則2):0( )1,()0,()1F xFF 有有界界性性P aXb 定義 X落在區(qū)間內(nèi)概率 與分布函數(shù)的關(guān)系 性質(zhì)分布律分布函數(shù) xft dt (1) ( ) =kkxxF xp 1(2)()()kkkpF xF x 2( )( )()f xFx 導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)處處 1( )xF xf t dt P aXb P aXb : P Xb 特特別別3)左連續(xù)7邊緣分布邊緣分布函數(shù)定義( )( ,),( )(, )XYFxF xFyFy 條件分布條件分布函數(shù)|0( | )lim,/X YyFx yP Xx yyYyP yyYy 定義0

5、jpi jjpp P Y = yj | X = xi P X = xi | Y = yj 0ipi jipp ( ) 0|( , )( | )( )YyX YfYf x yfx yfy ( ) 0|( , )( | )( )XxY XfXf x yfy xfx 獨(dú)立性定義,()() ()A BP ABP A P B事事件件獨(dú)獨(dú)立立(,)( )( ) ()XYF x yFx Fy 分分布布函函數(shù)數(shù)ijijppp ,X YP Xx YyP XxP Yy 相相互互獨(dú)獨(dú)立立( ,)( )( )XYf x yfx fy 幾幾乎乎處處處處相相等等: (|)()/()P A BP ABP B 條條件件概概率

6、率8和的分布極值分布利用事件相等則概率相等的概念求函數(shù)的分布律r.v.的函數(shù)的分布用分布函數(shù)法求函數(shù)的分布函數(shù)(或分布密度)二維r.v.的函數(shù)的分布( )ZFzP Zz (,)P g X Yz kkP Zzz 的的所所有有原原像像點(diǎn)點(diǎn)概概率率之之和和(,)ijkijg x yzp ( )( ) (,)ZZdfzFzdzdP g X Yzdz ()在在該該導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)處處( )(, )Zzy y dyfzf ( )( ,)Zzfzfdxxx ,( )()( )X YZXYf zfzy fy dy 獨(dú)獨(dú)立立,( )( )()X YZXYfzfx f zx dx 獨(dú)獨(dú)立立:()特特別別 卷卷

7、積積公公式式,max(,)( )X YX YFz 獨(dú)獨(dú)立立,min(,)( )X YX YFz 獨(dú)獨(dú)立立注:假設(shè)上述積分或級(jí)數(shù)均絕對(duì)收斂,否則期望不存在。r.v.的期望r.v.的函數(shù) 的 期望( ) ()E YE g X ( ) ()E YE g X 1()kkkpExX ()Xfx dxxE X () (,)E ZE g X Y () (,)E ZE g X Y (,)r.v.,()X YE X 是是二二維維則則(,). .,()X Yr vE X 是是二二維維則則期望定義性質(zhì)(1) ()E aXbYc XY(2) ()E XY 相相互互獨(dú)獨(dú)立立或或線(xiàn)線(xiàn)性性不不相相關(guān)關(guān)1( ) ()()kk

8、kg xpE YE g X ( )()()Xg xE Yfx dxE g X 1()kkkpExX ()Xfx dxxE X ( , ) ( )(, )f x y dxdyg x yE ZE g X Y 11(),(,iijjjiE ZE g X Ypg xy 11(,)r.v.,()ijjiipXxYE X 是是二二維維則則(, ), ). .,()f x y dxdX Yr vE Xyx 是是二二維維則則期望XY(5) ()E XY 相相互互獨(dú)獨(dú)立立或或線(xiàn)線(xiàn)性性不不相相關(guān)關(guān)2()()D XE XEX 方方差差：(,)()()Cov X YEXEXYEY 協(xié)協(xié)方方差差：*(,)(,)XYCo

9、v X YCov XYDXDY 相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)：0,()XYX Y 線(xiàn)線(xiàn)性性 不不相相關(guān)關(guān)其它(2) ()E aXbYc (1) ()D XY ()E XYEX EY 性質(zhì),(3)()X YD aXbYc 相相互互獨(dú)獨(dú)立立或或線(xiàn)線(xiàn)性性不不相相關(guān)關(guān)(4)(,)Cov aXbYc Z (6),X YX Y相相互互獨(dú)獨(dú)立立線(xiàn)線(xiàn)性性不不相相關(guān)關(guān)22()(,)EXEXCov X X 伯伯努努利利大大數(shù)數(shù)定定律律辛辛欽欽大大數(shù)數(shù)定定律律切切比比雪雪夫夫不不等等式式條條件件結(jié)結(jié)論論獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布中中心心極極限限定定理理棣莫佛拉普拉斯中心極限定理馬爾可夫不等式12/0 1()(1),0,1(1)( ,

10、 )()(1),0,1,(1)( )(),0,1,!1,()( , )( )2120,1,0( )0,kkkkn knkx P XkppkpppB n pP XkC ppknnpnppP Xkekkaxbabb aU a bf xb aexf x 分分布布分分二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布泊泊松松分分布布均均勻勻分分布布其其它它指指數(shù)數(shù)分分布布概概率率分分布布期期望望布布其其它它方方差差222()2221( ,)( )2x N f xe 正正態(tài)態(tài)分分布布 常見(jiàn)分布的方差和期望2( ,)XN 22()21( ),2xf xex * 一維正態(tài)分布的性質(zhì) 2,0,1 .XXN ZN 若若則則222(,),(,)X

11、N YaXbN ab a 若若則則221212221122(,) (, ),(,), (,)X YN XN Y若若則則,0X Y 且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立212,(,),niiiXXXXN 若若相相互互獨(dú)獨(dú)立立 且且2200111(,).nnniiiiiiiiiZCC XN CC C 則則結(jié)論1結(jié)論2結(jié)論3結(jié)論4n元正態(tài)分布的重要性質(zhì):1. n元正態(tài)變量(X1,X2, ,Xn)的每一個(gè)分量Xi 均是正態(tài)變量;若Xi 均是正態(tài)變量,且相互獨(dú)立,則(X1,X2, ,Xn)為正態(tài)變量.2. n元變量(X1,X2, ,Xn)為正態(tài)變量的充要條件是X1,X2, ,Xn 的任意線(xiàn)性組合(非零)均服從一維正態(tài)分

12、布.3. n元變量(X1,X2, ,Xn)為正態(tài)變量,Y1,Y2, ,Yk是X1,X2, ,Xn 的線(xiàn)性函數(shù),則(Y1,Y2, ,Yk) 服從k維正態(tài)分布. 此性質(zhì)稱(chēng)為正態(tài)變量的線(xiàn)性變換不變性.4. n元變量(X1,X2, ,Xn)服從正態(tài)分布, 則“X1,X2, ,Xn相互獨(dú)立”等價(jià)于“X1,X2, ,Xn.兩兩不相關(guān)”.)()(21exp|)2(1),(121221 XCXCxxxfnn利用古典概型與加法定理計(jì)算利用條件概率與乘法公式計(jì)算利用全概公式和貝葉斯公式計(jì)算A( )ANP AN 所所包包含含的的基基本本事事件件數(shù)數(shù)所所有有基基本本事事件件數(shù)數(shù)()( )( )()P ABP AP B

13、P AB ()()()( )()P A BP ABP AABP AP AB () 0()(|)( )P BP ABP A BP B ( ) 0()( )( | )P BP ABP B P A B 11:( )() (|)niiiP AP B P A B 全全概概率率公公式式()2:(|)( )iiP ABP B AP A 貝貝葉葉斯斯公公式式() ( |)( )iiP B P A BP A 12,:nB BBS若若是是 的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分 則則( )1( )P AP A 典型問(wèn)題一: 事件的概率( 利用概率定義和運(yùn)算法則計(jì)算 )()( )( )BAP ABP AP B * 典 型 問(wèn) 題 *

14、典型問(wèn)題一: 事件的概率( 利用隨機(jī)變量的概率分布計(jì)算 )所求概率已知分布已知分布律已知分布密度P Xb P aXb kP Xx ,P Xb Yd ,P aXb cYd ,ijP Xx Yy (, )PX YG ( )F b( )( )F bF a ()(0)kkF xF x ( , )( , )( , )( , )F b dF a dF b cF a c ( , )F b d( ,)(0,)( ,0)(0,0)ijijijijF x yF xyF x yF xy kkxbp kka xbp kp,ijijxb ydp ,ijija xb c ydp ijp( )bf x dx ( )baf

15、x dx 0( , )bdf x y dxdy ( , )bdacf x y dxdy 0(,)ijijxyGp ( , )( , )x yGf x y dxdy 典型問(wèn)題一: 事件的概率( 概率的近似計(jì)算 )22|()|1PXE X 利利用用切切比比雪雪夫夫不不等等式式2,EXDX 條條件件結(jié)結(jié)論論利利用用中中心心極極限限定定理理122,kkX XEXDX 獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布1(0,1)nkkXnNn 近近似似地地( , ), 1,2,nB n p n (,(1)nN np npp 近近似似地地(1)( , )nnB n pP ab 條條件件(1)(1)(1)nnpanpbnpPnppnp

16、pnpp ()()(1)(1)b npa npnppnpp 1(2),nniiinXXP ab 條條件件獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布 期期望望、方方差差存存在在nnnnnnnaEEbEPDDD ()()nnnnbEaEDD 典型問(wèn)題二: 隨機(jī)變量及其函數(shù)的分布構(gòu)構(gòu)成成分分布布函函數(shù)數(shù)的的充充要要條條件件構(gòu)構(gòu)成成分分布布律律的的充充要要條條件件構(gòu)構(gòu)成成概概率率密密度度的的充充要要條條件件確確定定概概率率分分布布中中的的待待定定參參數(shù)數(shù)求求概概率率分分布布分分布布函函數(shù)數(shù)與與分分布布律律之之間間的的關(guān)關(guān)系系分分布布函函數(shù)數(shù)與與概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)之之間間的的關(guān)關(guān)系系. .()r v Xg X一一維維的

17、的函函數(shù)數(shù)的的分分布布. .(, )(, )r v X YZg X Y 二二維維的的函函數(shù)數(shù)的的分分布布. .(,)r v X Y二二維維的的邊邊緣緣分分布布及及獨(dú)獨(dú)立立性性、相相關(guān)關(guān)性性的的討討論論;ZXY （一一般般的的分分布布 極極值值分分布布）;（分分布布函函數(shù)數(shù)法法 卷卷積積公公式式 極極值值分分布布的的結(jié)結(jié)論論）191() ()()kkkg xpE YE g X ()()()Xg xE Yfx dxE g X 1()kkkpExX ()Xfx dxxE X ( , ) ( )(, )f x y dxdyg x yE ZE g X Y 11(),(,iijjjiE ZE g X Ypg xy 11(,)r.v.,()ijjiipXxYE X 是是二二維維則則(, ),). .,()f x y dxdX Yr vE Xyx 是是二二維維則則期望XY(5) ()E XYEX EY 相相互互獨(dú)獨(dú)立立或或線(xiàn)線(xiàn)性性不不相相關(guān)關(guān)2()()D XE XEX 方方差差：(,)()()Cov X YEXEXYEY 協(xié)協(xié)方方差差：*(,)(,)XYCov X YCov XYDXDY 相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)：