探究圓錐曲線中的存在性問題

1、探究圓錐曲線中的存在性問題圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容，是中學數(shù)學的重點、難點，是高考命題的熱點之一，各種解得到了很好的體現(xiàn)和充分的展示,尤其是在最近幾年的高考試題中,平面向量與解析幾何的融合,提高了解題方法在本章題目的綜合性,形成了題目多變,解法靈活的特點,充分體現(xiàn)了高考中以能力立意的命題方向近年來圓錐曲線在高考中比較穩(wěn)定，解答題往往以中檔題或以押軸題的形式出現(xiàn)，主要考察學生邏輯推理能力、運算能力，考察學生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。但圓錐曲線在新課標中化歸到選學內(nèi)容，要求有所降低，估計2010年高考對本講的考察，仍將以以下兩類題型為主1求曲線（或軌跡）的方程。對于這類問題，高考常常不給

2、出圖形或不給出坐標系，以考察學生理解解析幾何問題的基本思想方法和能力；2與圓錐曲線有關的最值（或極值）和取值范圍問題，圓錐曲線中的定值、定點問題，探究型的存在性問題。這類問題的綜合型較大，解題中需要根據(jù)具體問題、靈活運用解析幾何、平面幾何、平面向量、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)知識，正確的構造不等式或方程，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學知識的聯(lián)系。存在性問題是一種具有開放性和發(fā)散性的問題，此類題目的條件和結論不完備，要求學生結合已有的條件進行觀察、分析、比較和概括，它對數(shù)學思想、數(shù)學意識及綜合運用數(shù)學方法的能力有較高的要求，特別是在解析幾何第二問中經(jīng)?？嫉健笆欠翊嬖谶@樣的點”的問題，也就是是否存在定值定點

3、定直線的問題。今天，我就圓錐曲線中的存在性問題從五個方面給大家做一個分享，也希望能給大家?guī)硪稽c點的啟示。一、是否存在這樣的常數(shù)例1（2007寧夏理19題）在平面直角坐標系中，經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和（I）求的取值范圍；（II）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由解：（）由已知條件，直線的方程為，代入橢圓方程得整理得 直線與橢圓有兩個不同的交點和等價于，解得或即的取值范圍為（）設，則，由方程，又而所以與共線等價于，將代入上式，解得由（）知或，故沒有符合題意的常數(shù)xAy112MNBO練習1：（08陜西卷2

4、0）（本小題滿分12分）已知拋物線：，直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點（）證明：拋物線在點處的切線與平行；（）是否存在實數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由解法一：（）如圖，設，把代入得，由韋達定理得，點的坐標為設拋物線在點處的切線的方程為，將代入上式得，直線與拋物線相切，即（）假設存在實數(shù)，使，則，又是的中點，由（）知軸，又 ，解得即存在，使解法二：（）如圖，設，把代入得由韋達定理得，點的坐標為，拋物線在點處的切線的斜率為，（）假設存在實數(shù)，使由（）知，則，解得即存在，使練習2.直線 與曲線相交于P、Q 兩點。（1） 當 a為何值時，；（2） 是否存在實數(shù)a，使得以PQ為直

5、徑的圓經(jīng)過原點O？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。解：（1）聯(lián)立方程，即，設P、Q兩點的坐標為，所以，化簡得即為所求。（3） 假設存在實數(shù)a，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O，二、是否存在這樣的點例2.（2009全國卷）（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線與相交于、兩點，當?shù)男甭蕿?時，坐標原點到的距離為 （I）求，的值；（II）上是否存在點P，使得當繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標與的方程；若不存在，說明理由。解析：本題考查解析幾何與平面向量知識綜合運用能力，第一問直接運用點到直線的距離公式以及橢圓有關關系式計算，第二問利用向量坐標關系及方程的

6、思想，借助根與系數(shù)關系解決問題，注意特殊情況的處理。解：（）設 當?shù)男甭蕿?時，其方程為到的距離為 ，故 ， ， 由 ，得 ，=（）C上存在點，使得當繞轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立。由 （）知橢圓C的方程為+=6. 設 () 假設上存在點P，且有成立，則，整理得 故 將 于是 , =, ， 代入解得，此時于是=， 即因此， 當時， ； 當時， 。（）當垂直于軸時，由知，C上不存在點P使成立。綜上，C上存在點使成立，此時的方程為.例3.（2009福建卷）（本小題滿分14分）已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線與直線分別交于兩點。 （I）求橢圓的方程；

7、（）求線段MN的長度的最小值； （）當線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數(shù)，若不存在，說明理由（I）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為 故橢圓的方程為（）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設直線的方程為，從而由得0設則得，從而即又，由得 故又，當且僅當，即時等號成立時，線段的長度取最小值（）由（）可知，當取最小值時， 此時的方程為 要使橢圓上存在點，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設直線，則由解得或練習：1.（2008湖北卷20題）（本小題滿分12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點（

8、I）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點，使·為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由解：由條件知，設，解法一：（I）設，則，由得即于是的中點坐標為當不與軸垂直時，即又因為兩點在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當與軸垂直時，求得，也滿足上述方程所以點的軌跡方程是（II）假設在軸上存在定點，使為常數(shù)當不與軸垂直時，設直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以，于是因為是與無關的常數(shù)，所以，即，此時=當與軸垂直時，點的坐標可分別設為，此時故在軸上存在定點，使為常數(shù)練習2.（08山東卷22) (本小題滿分14分)如圖，設拋物

9、線方程為x2=2py(p0),M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.（）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列；（）已知當M點的坐標為（2，-2p）時，求此時拋物線的方程；（）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線上，其中，點C滿足（O為坐標原點）.若存在,求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在,請說明理由.（）證明：由題意設由得，則 所以因此直線MA的方程為直線MB的方程為所以 由、得因此，即所以A、M、B三點的橫坐標成等差數(shù)列.（）解：由（）知，當x0=2時， 將其代入、并整理得：所以x1、x2是方程的兩根，因此又所以由弦長公式得又，所以p=1或

10、p=2，因此所求拋物線方程為或（）解：設D(x3,y3)，由題意得C(x1+ x2, y1+ y2), 則CD的中點坐標為設直線AB的方程為由點Q在直線AB上，并注意到點也在直線AB上，代入得若D（x3,y3）在拋物線上，則因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或（1）當x0=0時，則，此時，點M(0,-2p)適合題意.（2）當，對于D(0，0)，此時又ABCD，所以即矛盾.對于因為此時直線CD平行于y軸，又所以，直線AB與直線CD不垂直，與題設矛盾，所以時，不存在符合題意的M點.綜上所述，僅存在一點M(0，-2p)適合題意.練習3.（2007廣東理18） (本小題滿分14分)在平面直角

11、坐標系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標原點橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為 (1)求圓的方程； (2)試探究圓上是否存在異于原點的點，使到橢圓右焦點的距離等于線段的長若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由解： (1)設圓心坐標為(m，n)（m<0，n>0）,則該圓的方程為(x-m)2+(y-n)2=8已知該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則=2 即=4 又圓與直線切于原點，將點(0，0)代入得 ，m2+n2=8 聯(lián)立方程和組成方程組解得， 故圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=8 (2)=5，a2=25，則橢圓的方程為其焦

12、距c=4，右焦點為(4，0)，那么=4。要探求是否存在異于原點的點Q，使得該點到右焦點F的距離等于的長度4，我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點F為頂點，半徑為4的圓(x4)2+y2=8與(1)所求的圓的交點數(shù)。通過聯(lián)立兩圓的方程解得x=，y=即存在異于原點的點Q(，)，使得該點到右焦點F的距離等于的長。三、是否存在這樣的直線例4.（2007湖北理19）（本小題滿分12分）NOACByx在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線（）相交于兩點（I）若點是點關于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由（此題

13、不要求在答題卡上畫圖）解析：本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力解法1：（）依題意，點的坐標為，可設，直線的方程為，與聯(lián)立得消去得由韋達定理得，于是，當時，（）假設滿足條件的直線存在，其方程為，的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，則，點的坐標為，NOACByxl，令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線解法2：（）前同解法1，再由弦長公式得，又由點到直線的距離公式得從而，當時，（）假設滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則設直線與以為直徑的圓的

14、交點為，則有令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線練習1.已知雙曲線方程為，問：是否存在過點M(1，1)的直線，使得直線與雙曲線交于P、Q兩點，且M是線段PQ的中點？如果存在，求出直線的方程，如果不存在，請說明理由。解：顯然x=1不滿足條件，設.聯(lián)立和，消去y得，由>0，得k<，由M(1，1)為PQ的中點，得，解得，這與<矛盾，所以不存在滿足條件的直線l.四、是否存在這樣的圓例5(2009年廣東卷文)已知橢圓G的中心在坐標原點,長軸在軸上,離心率為,兩個焦點分別為和,橢圓G上一點到和的距離之和為12，圓:的圓心為點.(1)求橢圓G的方程；

15、(2)求的面積；(3)問是否存在圓包圍橢圓G?請說明理由.【解析】（1）設橢圓G的方程為： （）半焦距為c; 則 , 解得 , 所求橢圓G的方程為：.(2 )點的坐標為（3）若，由可知點（6，0）在圓外， 若，由可知點（-6，0）在圓外； 不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.例6(2009山東卷理)（本小題滿分14分）設橢圓E: （a，b>0）過M（2，） ，N(，1)兩點，O為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓E: （a，

16、b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為，所求的圓為，此時圓的切線都滿足或，而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足，綜上，存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數(shù)法求方程的

17、方法,能夠運用解方程組法研究有關參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關系五、是否存在這樣的最值例7 (2009年浙江卷)已知橢圓：的右頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為 （I）求橢圓的方程； （II）設點在拋物線：上，在點處的切線與交于點當線段的中點與的中點的橫坐標相等時，求的最小值解析：（I）由題意得所求的橢圓方程為， （II）不妨設則拋物線在點P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因為直線MN與橢圓有兩個不同的交點，所以有，設線段MN的中點的橫坐標是，則， 設線段PA的中點的橫坐標是，則，由題意得，即有，其中的或；當時有，因此不等式不成立；因此，當時代入方程得，將代入不

18、等式成立，因此的最小值為1掌握研究解析幾何問題的基本方法近幾年解析幾何的考題在難度、計算的復雜程度等方面都有所下降，突出對解析幾何基本思想和基本方法的考查，重點要掌握解析幾何的一些基本方法來解決問題，解析幾何中解題的基本方法有解析法、待定系數(shù)法、變換法、參數(shù)法等方法課堂教學中選擇例題要突出題目的普遍性，解題方法要具有代表性，即通性通法所以在復習時應做到:1牢固掌握圓錐曲線定義 圓錐曲線定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)屬性，是構建有關知識網(wǎng)絡的基礎。同時，定義直接用于解題常常使一些看似很難解決的問題變得簡單。 2重視基礎知識，基本題型的復習 （1）注意課本典型例題、習題的延伸 教材中的例題、習題雖然大多比較容易，但其解法往往具有示范性，可延伸性，適當?shù)鼐帞M題組進行復習訓練，有利于系統(tǒng)地掌握知識，融會貫通。