普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試四川卷數(shù)學試題理科解析版

1、一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1.集合，Z為整數(shù)集，則中元素的個數(shù)是（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】C【解析】試題分析：由題意，故其中的元素個數(shù)為5，選C.考點：集合中交集的運算.【名師點睛】集合的概念及運算一直是高考的熱點，幾乎是每年必考內(nèi)容，屬于容易題.一般是結(jié)合不等式，函數(shù)的定義域值域考查，解題的關(guān)鍵是結(jié)合韋恩圖或數(shù)軸解答.2. 設(shè)i為虛數(shù)單位，則的展開式中含x4的項為（ ）（A）15x4 （B）15x4 （C）20i x4 （D）20i x4【答案】A考點：二項展開式，復(fù)數(shù)的運算.【名師點睛】

2、本題考查二項式定理及復(fù)數(shù)的運算，復(fù)數(shù)的概念及運算也是高考的熱點，幾乎是每年必考內(nèi)容，屬于容易題.一般來說，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運算即可二項式的展開式可以改為，則其通項為，即含的項為3. 為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點（ ）（A）向左平行移動個單位長度 （B）向右平行移動個單位長度（C）向左平行移動個單位長度 （D）向右平行移動個單位長度【答案】D【解析】試題分析：由題意，為了得到函數(shù)，只需把函數(shù)的圖像上所有點向右移個單位，故選D.考點：三角函數(shù)圖像的平移.【名師點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象平移，在函數(shù)的圖象平移變換中要注意人“”的影響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個單

3、位得，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得的圖象，向左平移個單位得的圖象4. 用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（ ）（A）24 （B）48 （C）60 （D）72【答案】D考點：排列、組合【名師點睛】利用排列組合計數(shù)時，關(guān)鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏，分步時要注意整個事件的完成步驟在本題中，個位是特殊位置，第一步應(yīng)先安排這個位置，第二步再安排其他四個位置.5. 某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一

4、年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（ ）（參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg20.30）（ A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年【答案】B【解析】試題分析：設(shè)第年的研發(fā)投資資金為，則，由題意，需，解得，故從2019年該公司全年的投入的研發(fā)資金超過200萬，選B.考點：等比數(shù)列的應(yīng)用.【名師點睛】本題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用在實際問題中平均增長率問題可以看作是等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時要注意把哪個作為數(shù)列的首項，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式寫出通項，列出不等式或方程就可解得結(jié)論6. 秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，普

5、州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為（A）9 （B）18 （C）20 （D）35【答案】B考點：1.程序與框圖；2.秦九韶算法；3.中國古代數(shù)學史.【名師點睛】程序框圖是高考的熱點之一，幾乎是每年必考內(nèi)容，多半是考循環(huán)結(jié)構(gòu)，基本方法是將每次循環(huán)的結(jié)果一一列舉出來，與判斷條件比較即可7. 設(shè)p：實數(shù)x，y滿足，q：實數(shù)x，y滿足 則p是q的（A）必要不充分條件 （B）充分不必要條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案

6、】A考點：1.充分條件、必要條件的判斷；2.線性規(guī)劃.【名師點睛】本題考查充分性與必要性的判斷問題，首先是分清條件和結(jié)論，然后考察條件推結(jié)論，結(jié)論推條件是否成立.這類問題往往與函數(shù)、三角、不等式等數(shù)學知識結(jié)合起來考，本題條件與結(jié)論可以轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的關(guān)系，利用充分性、必要性和集合的包含關(guān)系得結(jié)論 8. 設(shè)O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線 上任意一點，M是線段PF上的點，且=2,則直線OM的斜率的最大值為（A） （B） （C） （D）1【答案】C【解析】試題分析：設(shè)（不妨設(shè)），則由已知得， ，故選C.考點：拋物線的簡單的幾何性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用【名師點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，結(jié)合題意要求

7、，利用拋物線的參數(shù)方程表示出拋物線上點的坐標，利用向量法求出點的坐標，是我們求點坐標的常用方法，由于要求最大值，因此我們把斜率用參數(shù)表示出后，可根據(jù)表達式形式選用函數(shù)，或不等式的知識求出最值，本題采用基本不等式求出最值9. 設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)= 圖象上點P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點P，且l1，l2分別與y軸相交于點A，B，則PAB的面積的取值范圍是（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+) （D）(1,+)【答案】A考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.兩直線垂直關(guān)系；3.直線方程的應(yīng)用；4.三角形面積取值范圍.【名師點睛】本題首先考查導數(shù)的幾何意義，其次考查最

8、值問題，解題時可設(shè)出切點坐標，利用切線垂直求出這兩點的關(guān)系，同時得出切線方程，從而得點坐標，由兩直線相交得出點坐標，從而求得面積，題中把面積用表示后，可得它的取值范圍解決本題可以是根據(jù)題意按部就班一步一步解得結(jié)論這也是我們解決問題的一種基本方法，樸實而基礎(chǔ)，簡單而實用10. 在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足 =,=-2，動點P，M滿足 =1，=，則的最大值是（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】考點：1.向量的數(shù)量積運算；2.向量的夾角；3.解析幾何中與圓有關(guān)的最值問題.【名師點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積與向量的模，由于結(jié)論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個參數(shù)表示出

9、來，解題時首先對條件進行化簡變形，本題中得出，且，因此我們采用解析法，即建立直角坐標系，寫出坐標，同時動點的軌跡是圓，因此可用圓的性質(zhì)得出最值二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11. = .【答案】【解析】試題分析：由二倍角公式得考點：三角函數(shù)二倍角公式【名師點睛】這是一個來自于課本的題，直接利用課本公式解題，這告訴我們一定要立足于課本有許多三角函數(shù)的求值問題一般都是通過三角函數(shù)的公式把函數(shù)化為特殊角的三角函數(shù)值而求解12. 同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是 .【答案】考點：離散型隨機變量的均值【名師點睛

10、】本題考查隨機變量的均值（期望），根據(jù)期望公式，首先求出隨機變量的所有可能取值，再求得對應(yīng)的概率，則均值為13. 已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 .【答案】【解析】試題分析：由三棱錐的正視圖知，三棱錐的高為，底面邊長為，2,2，則底面等腰三角形的頂角為，所以三棱錐的體積為.考點：三視圖，幾何體的體積.【名師點睛】本題考查三視圖，考查幾何體體積，考查學生的識圖能力解題時要求我們根據(jù)三視圖想象出幾何體的形狀，由三視圖得出幾何體的尺寸，為此我們必須掌握基本幾何體（柱、錐、臺、球）的三視圖以及各種組合體的三視圖14. 已知函數(shù)是定義在R上的周期

11、為2的奇函數(shù)，當0x1時，則= .【答案】-2考點：函數(shù)的奇偶性和周期性.【名師點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，周期性，屬于基本題，在求值時，只要把和，利用奇偶性與周期性化為上的函數(shù)值即可15 在平面直角坐標系中，當P(x，y)不是原點時，定義P的“伴隨點”為；當P是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身，平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的曲線定義為曲線C的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題：若點A的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點A單位圓的“伴隨曲線”是它自身；若曲線C關(guān)于x軸對稱，則其“伴隨曲線”關(guān)于y軸對稱；一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.其中的真命題是_（寫出所有真命題的序列）.【答案】考點

12、：對新定義的理解、函數(shù)的對稱性.【名師點睛】本題考查新定義問題，屬于創(chuàng)新題，符合新高考的走向它考查學生的閱讀理解能力，接受新思維的能力，考查學生分析問題與解決問題的能力，新定義的概念實質(zhì)上只是一個載體，解決新問題時，只要通過這個載體把問題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的知識即可本題新概念“伴隨”實質(zhì)是一個變換，一個坐標變換，只要根據(jù)這個變換得出新的點的坐標，然后判斷，問題就得以解決三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16. （本小題滿分12分）我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準（噸）

13、、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（I）求直方圖中a的值；（II）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；（III）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準（噸），估計的值，并說明理由.【答案】（）；（）36000；（）2.9試題解析：（）由頻率分布直方圖知，月均用水量在0,0.5)中的頻率為0.08×0.5=0.04，同理，在0.5,

14、1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5)中的頻率分別為0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30（）由（），100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12由以上樣本的頻率分布，可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 000×0.12=36 000（）因為前6組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>

15、0.85，而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5x<3由0.3×(x2.5)=0.850.73，解得x=2.9所以，估計月用水量標準為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標準考點：頻率分布直方圖.【名師點睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計算公式等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題解決問題的能力.在頻率分布直方圖中，第個小矩形面積就是相應(yīng)的頻率或概率，所有小矩形面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，也是識圖的基礎(chǔ)17. （本小題滿分12分）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且.（I）證明：；（

16、II）若，求.【答案】（）證明詳見解析；（）4.試題解析：（）根據(jù)正弦定理，可設(shè)=k(k>0)則a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C代入+=中，有+=，變形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)在ABC中，由A+B+C=，有sin(A+B)=sin(C)=sin C，所以sin Asin B=sin C（）由已知，b2+c2a2=bc，根據(jù)余弦定理，有cos A=所以sin A=由（），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，所以sin B=cos B+sin B，故考點：正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)

17、系、平方關(guān)系.【名師點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題的能力和計算能力.在解三角形的應(yīng)用中，凡是遇到等式中有邊又有角時，可用正弦定理進行邊角互化，一種是化為三角函數(shù)問題，一般是化為代數(shù)式變形問題在角的變化過程中注意三角形的內(nèi)角和為這個結(jié)論，否則難以得出結(jié)論18. （本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD，E為邊AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°. （）在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM平面PBE，并說明理由；（）若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線

18、PA與平面PCE所成角的正弦值.【答案】（）詳見解析；（）.試題解析：（）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB，DC，相交于點M（M平面PAB），點M即為所求的一個點.理由如下：由已知，BCED，且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.，所以CDEB從而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.（說明：延長AP至點N，使得AP=PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點）（）方法一：設(shè)BC=1，則在RtPAD中，PA=AD=2.過點A作AHCE，交CE的延長線于點H，連接PH.易知PA平面ABCD，從而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.過

19、A作AQPH于Q，則AQ平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=.在RtPAH中，PH= ，所以sinAPH= =.所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，由 得 設(shè)x=2，解得n=(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為，則sin= = .所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為 .考點：線線平行、線面平行、向量法.【名師點睛】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、分析問題的能力、計算能力.證明線面平行時，可根據(jù)判定定理的條件在

20、平面內(nèi)找一條平行線，而這條平行線一般是由過面外的直線的一個平面與此平面相交而得，證明時注意定理的另外兩個條件（線在面內(nèi)，線在面外）要寫全，否則會被扣分，求線面角（以及其他角），一種方法可根據(jù)定義作出這個角（注意還要證明），然后通過解三角形求出這個角另一種方法建立空間直角坐標系，用向量法求角，這種方法主要是計算，不需要“作角、證明”，關(guān)鍵是記住相應(yīng)公式即可19. （本小題滿分12分）已知數(shù)列 的首項為1， 為數(shù)列的前n項和， ，其中q>0， .（）若 成等差數(shù)列，求的通項公式；（）設(shè)雙曲線 的離心率為 ，且 ，證明：.【答案】（）；（）詳見解析.（）先利用雙曲線的離心率定義得到的表達式，再

21、由解出的值，要證明題設(shè)不等式，一般想法是求出和，但數(shù)列的和不可求，因此我們利用放縮法得，從而有，右邊的和是等比數(shù)列的和，可求，此和即為要證不等式的右邊最后利用等比數(shù)列的求和公式計算證明.試題解析：（）由已知， 兩式相減得到.又由得到，故對所有都成立.所以，數(shù)列是首項為1，公比為q的等比數(shù)列.從而.由成等比數(shù)列，可得，即，則，由已知,，故 .所以.考點：數(shù)列的通項公式、雙曲線的離心率、等比數(shù)列的求和公式.【名師點睛】本題考查數(shù)列的通項公式、雙曲線的離心率、等比數(shù)列的求和公式等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力.在第（）問中，已知的是的遞推式，在與的關(guān)系式中，經(jīng)常用代換（），然后

22、兩式相減，可得的遞推式，利用這種方法解題時要注意；在第（）問中，不等式的證明用到了放縮法，這是證明不等式常用的方法，本題放縮的目的是為了求數(shù)列的和另外放縮時要注意放縮的“度”不能太大，否則得不到結(jié)果20. （本小題滿分13分）已知橢圓E：的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線與橢圓E有且只有一個公共點T.（）求橢圓E的方程及點T的坐標；（）設(shè)O是坐標原點，直線l平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P證明：存在常數(shù)，使得，并求的值.【答案】（），點T坐標為（2,1）；（）.試題解析：（I）由已知，即，所以，則橢圓E的方程為.由方程組 得.方程的判別式為，由，得，此方程的解為，所以橢圓E的方程為.點T坐標