成人高考專升本高等數(shù)學二復習教程

1、.高等數(shù)學二復習教程第一講 函數(shù)、連續(xù)與極限一、理論要求1.函數(shù)概念與性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)、有界、奇偶、周期）幾類常見函數(shù)（復合、分段、反、隱、初等函數(shù)）2.極限極限存在性與左右極限之間的關(guān)系夾逼定理和單調(diào)有界定理會用等價無窮小和羅必達法則求極限3.連續(xù)函數(shù)連續(xù)（左、右連續(xù)）與間斷理解并會應用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值、有界、介值）二、題型與解法A.極限的求法（ 1）用定義求（ 2）代入法（對連續(xù)函數(shù)，可用因式分解或有理化消除零因子）（ 3）變量替換法（ 4）兩個重要極限法（ 5）用夾逼定理和單調(diào)有界定理求（ 6）等價無窮小量替換法（ 7）洛必達法則與Taylor 級數(shù)法（ 8）其他（微

2、積分性質(zhì)，數(shù)列與級數(shù)的性質(zhì)）精選范本.1. limarctan xxlim arctan xx1 （等價小量與洛必達 ）x 0ln(1 2x3 )x 02 x362.已知sin 6xxf ( x)0，求 lim6 f (x)lim32x 0xx0xsin 6xxf (x)6 cos 6xf ( x) xy'lim3lim2解： x0xx03xlim36 sin 6x2 y'xy' '216 cos6x3 y' ' xy' ' '6xlim6x0x0216 3y' '( 0)0y' '(0)7

3、26lim6f ( x)limy'limy' '7236 （洛必達）x 0x2x 0 2xx 0 222x2 x3. lim () x 1（重要極限 ）x1x14.已知 a、 b 為正常數(shù)， 求 lim ( a xbx3) xx02( axb x33 ln( a xb x )解：令 t) x ,ln tln 22xlim ln tlimx3x (a x ln ab xln b)3ln( ab)（變量替換 ）x0x 0ab2t(ab)3 / 25. lim (cos x)x01ln(1 x2 )11解：令 t(cos x) ln(1x2 ) , ln t2ln(cos x

4、)ln(1x)lim ln t limtan x1te 1/ 2 （ 變量替換 ）x 0x 02 x2x 26.設 f ' ( x) 連續(xù)， f ( 0) 0, f ' (0)0，求 lim0f (t) dt1xx 02xf (t )dt0（洛必達與微積分性質(zhì) ）ln(cos x) x 2 , x07.已知 f (x)0在 x=0 連續(xù)，求 aa, x解：令 alim ln(cos x) / x21 / 2（連續(xù)性的概念 ）x 0精選范本.三、補充習題（作業(yè)）1. limex1x3 （洛必達 ）1xcos xx02.lim ctgx (11)（ 洛必達或 Taylor）x0si

5、n xxxx e t 2dt3.lim01（洛必達與微積分性質(zhì) ）1ex2x0第二講 導數(shù)、微分及其應用一、理論要求1.導數(shù)與微分導數(shù)與微分的概念、幾何意義、物理意義會求導（基本公式、四則、復合、高階、隱、反、參數(shù)方程求導）會求平面曲線的切線與法線方程2.微分中值定理理解 Roll、 Lagrange、 Cauchy、Taylor 定理會用定理證明相關(guān)問題3.應用會用導數(shù)求單調(diào)性與極最值、凹凸性、漸進線問題，能畫簡圖會計算曲率（半徑）二、題型與解法A.導數(shù)微分的計算基本公式、四則、復合、高階、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導1.yy( x)由xarctan tdy2yty 2et5決定，求 dx2.yy(

6、 x)ln( x2y)x 3 ysin x 決定，求 dy由dx |x 0 1解：兩邊微分得 x=0 時 y'y cos xy ，將 x=0 代入等式得 y=13.yy( x)由2 xyxy 決定，則 dy |x 0 (ln 21) dxB.曲線切法線問題e 在（ ， ）（ e/ 2 , / 2) 處切線的直角坐標方程。4.求對數(shù)螺線解：xecos,( x, y) |/ 2( 0, e/ 2 ), y'|/ 21yesiny e / 2x5.f(x) 為周期為5 的連續(xù)函數(shù)，它在x=1 可導，在 x=0 的某鄰域內(nèi)滿足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x) 。

7、求 f(x) 在（ 6， f(6)）處的切線方程。解：需求 f (6), f ' (6)或 f (1), f ' (1)，等式取 x->0 的極限有： f(1)=0精選范本.limf (1sin x)3 f (1sin x)sin xx0sin xtf (1t)f (1)f (1t )f (1)lim t3tt04 f '(1)8f '(1)2 y2(x6)C.導數(shù)應用問題f (x)對一切 x滿足 xf ' ' (x)2x f '( x) 21ex ，6.已知 y若 f ' (x0 )0(x00)，求 ( x0 , y0 )

8、 點的性質(zhì)。解：令 xx0 代入， f ''( x0 )ex0 10, x00ex0 x0，故為極小值點。0, x007.yx3，求單調(diào)區(qū)間與極值、凹凸區(qū)間與拐點、漸進線。(x1)2解：定義域 x(,1)(1,)y'0駐點x及30xy''0拐點x；：鉛垂；yx：斜0x128.求函數(shù)y( x 1)e / 2 arctan x 的單調(diào)性與極值、漸進線。解：y'x22x e / 2arctan x駐點 x0與 x1，1x漸： ye( x2)與 yx2D. 冪級數(shù)展開問題dxt) 2 dtsin x29.sin( xdx0sin(xt )2( x t )

9、 21 ( xt) 6(1) n(xt ) 2( 2n 1)3!(2n 1)!sin(xt) 2 dt1 (x t )31(xt) 7(1)n1( xt) 4n133!7(4n1)(2n1)!xt) 21 x31x71) nx4n1sin(x(033!7(4n1)(2n1)!dxt ) 2 dt216( 1) n x2( 2n1)sin x 2sin(xxx1)!dx 03!(2n或： x tud02 (du )dxsin u 2 du sin x2sin udx xdx 010.求 f ( x)x2ln(1x)在 x0處的 n階導數(shù) f ( n) (0)精選范本.解： x 2 ln(1x)x

10、 2 ( x=f (n ) (0)( 1)n 1n!E.不等式的證明n2設11.求證（ 1x) ln 2 (1x)x2x 3( 1) n 1 xn 2o( xn 2 )23n2x3x 4x51)n 1xn(xn )2(no32x(0,1)，x 2， 111x)11ln 2ln(1x2證： 1）令g( )(1x) ln 2(1x)2,g(0)0xxg' ( x), g' ' ( x), g ' ' ' (x)2 ln(1x)0, g' (0)g '' (0)0(1 x)2x(0,1)時 g '' ( x)單調(diào)

11、下降， g ' '( x)0, g '( x)單調(diào)下降g' ( x)0, g( x)單調(diào)下降， g ( x)0；得證。2）令 h(x)1x)1 , x(0,1), h' ( x)0,單調(diào)下降，得證。ln(1xF.中值定理問題具有三階連續(xù)導數(shù)，且f ( 1)0, f (1)1，12.設函數(shù) f ( x)在 1，1f '(0) 0 ，求證：在（ -1， 1）上存在一點，使 f ' ' ' ()3證： f ( x)f (0)f ' (0) x1f ' ' (0) x 21 f '' 

12、9; ( )x32!3!其中(0, x), x1,10f (1)f (0)1f ' ' (0)11 )2f '' ' (將 x=1 ， x=-1代入有61 f ' ' (0)11f (1)f (0)f ' ' ' ( 2 )26兩式相減： f'''( 1)f '' ' (2 )6 1， 2 ， f ' ' ' ( )1 f '' ' ( 1)f ' ' '( 2 )3213. e a be2 ，求

13、證： ln 2 bln 2 a42(ba)證： Lagrange : f (b)f (a)ef ' ()ba精選范本.令 f ( x)ln2ln 2 bln 2a2 lnx,ba令 (t )ln t , ' (t)1 ln t0( )(e2 )ln2tt 2e2224（關(guān)鍵：構(gòu)造函數(shù)）lnblnae2 (ba)三、補充習題（作業(yè)）1.f ( x)ln1x,求 y' ' (0)31 x22xetsin 2t在 (0,1)處切線為 y2x102.曲線etcos2ty3. y x ln( e10)的漸進線方程為 yx1)( xex4.證明 x>0 時 (x 21

14、) ln x( x1) 2證：令 g( x)( x21) ln x( x1) 2 , g' ( x), g' ' ( x), g' ' ' ( x)2( x21)x 3g (1) g' (1)0， g '' (1)20x(0,1), g '''0, g''2g ''0x(0,1), g '00x(1,), g''' 0, g '' 2x(1,), g'g0第三講 不定積分與定積分一、理論要求1.不定積分掌握不定積

15、分的概念、性質(zhì)（線性、與微分的關(guān)系）會求不定積分（基本公式、線性、湊微分、換元技巧、分部）2.定積分理解定積分的概念與性質(zhì)理解變上限定積分是其上限的函數(shù)及其導數(shù)求法會求定積分、廣義積分會用定積分求幾何問題（長、面、體）會用定積分求物理問題（功、引力、壓力）及函數(shù)平均值二、題型與解法A.積分計算1.dxdxarcsin x2Cx(4 x)4(x2)22精選范本.2.e2x (tan x1)2 dxe2 x sec2 xdx2e2x tan xdxe2x tan x Cln(1x)f (x)dx3.設 f (ln x)x，求解：f (x)dxln(1ex ) dxexe xln(1ex )(1ex

16、)dxx(1e x ) ln(1 ex )C1ex4.arctan x1limb1x)dx112dxarctan x |11(2ln 2xxbx1 x42B.積分性質(zhì)f ( x) 連續(xù)， ( x)1f ( xt )dt ,且 limf ( x)A ，求( x) 并討論' ( x)5.0x 0x在 x0的連續(xù)性。xf ( y) dy解： f (0)(0) 0, yxt(x)0xxxf ( x)0f ( y)dy' ( x)'(0)2xAlim ' (0) A / 2'( 0)2x 0dx6.tfdx0d2dxC.積分的應用7.設 f (x)( x 2t 2

17、 ) dtdx2f (x2dx0x2()( )(2 )fydxfxy0在 0，1連續(xù)，在（0，1）上 f (x)t 2 )d (t 2x2 )0 ，且 xf '( x)f ( x)3ax2 ，2又 f (x) 與 x=1,y=0 所圍面積S=2。求 f ( x) ，且 a=?時 S 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)體積最小。解： d( f ( x) )3af (x)3a x2cx1f (x)dx 2 c 4 adxx220(41) xy 2dx)'0a5f ( x)3a x 2V ' (1208.曲線 yx1 ，過原點作曲線的切線，求曲線、切線與x 軸所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的表面積。解：

18、切線 yx / 2繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的表面積為2yds520曲線 yx22yds(55 1)1 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的表面積為16總表面積為6(1151)三、補充習題（作業(yè)）精選范本.1.ln sin x dxcot x ln sin 2x cot x x Csin 2x2.x5dxx26x 133. arcsin x dx x第四講 向量代數(shù)、多元函數(shù)微分與空間解析幾何一、理論要求1.向量代數(shù)理解向量的概念（單位向量、方向余弦、模）了解兩個向量平行、垂直的條件向量計算的幾何意義與坐標表示2.多元函數(shù)微分理解二元函數(shù)的幾何意義、連續(xù)、極限概念，閉域性質(zhì)理解偏導數(shù)、全微分概念能熟練求偏導數(shù)、全微分熟練掌握

19、復合函數(shù)與隱函數(shù)求導法3.多元微分應用理解多元函數(shù)極值的求法，會用Lagrange乘數(shù)法求極值4.空間解析幾何掌握曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法會求平面、直線方程與點線距離、點面距離二、題型與解法A.求偏導、全微分1. f ( x) 有二階連續(xù)偏導，zf (exsin y) 滿足 zxx''zyy''e2 x z ，求f ( x)解： f ' ' f0f (u)c1euc2 e u2.z1f (xy)y ( x，求2 zxy)x y3. yy( x), zz( x)由 zxf ( xy), F ( x, y, z)0決定 ，求 dz

20、/ dxB.空間幾何問題4.求xyza 上任意點的切平面與三個坐標軸的截距之和。解： x / x0y / y0z / z0ad a5.曲面 x 22y 23z221在點 (1,2,2) 處的法線方程。C.極值問題6.設 zz( x, y) 是由 x26xy 10 y22yz z2180 確定的函數(shù)，求 zz( x, y) 的極值點與極值。精選范本.三、補充習題（作業(yè)）1.zf ( xy, x )g( y ), 求2 zyxx y2.zf ( xy, xg( y ), 求 zyxx3.zu ,u lnx2y 2 ,arctan y , 求 dzx第五講 多元函數(shù)的積分一、理論要求1.重積分熟悉二

21、、三重積分的計算方法（直角、極、柱、球）by2 ( x)adxf (x, y)dxdyy1( x)2r 2()D1d)r 1(f (x, y)dy f ( r , ) rdrby 2( x)z 2( x, y)dxy1( x )af ( x, y, z)dxdydzz 22(z )dz1( z)Vz12()dd1()dyf ( x, y, z)dzz1( x, y)dr 2( z,), z) rdrr 1( z,f (r ,)r 2 (,)r 2 sin drr 1(,f ( r , ,)會用重積分解決簡單幾何物理問題（體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量）zf (x, y)A1z'2xz&

22、#39;2y dxdyD2.曲線積分理解兩類曲線積分的概念、性質(zhì)、關(guān)系，掌握兩類曲線積分的計算方法L : yy( x)b1y'2x dxf ( x, y( x)xx(t )af (x, y) dlf ( x(t), y(t )x't2y't2 dtL :y(t )LyL : r r ()f (r cos , r sin)r 2r '2 d熟悉 Green 公式，會用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件3.曲面積分理解兩類曲面積分的概念（質(zhì)量、通量） 、關(guān)系熟悉 Gauss 與 Stokes公式，會計算兩類曲面積分f ( x, y, z)dSf ( x, y, z(x,

23、y) 1 z' x2 z'2y dxdyS:z z( x, y)DxyGauss :E dSEdV (通量，散度）SVStokes:F dr(F ) dS(旋度）LS二、題型與解法精選范本A.重積分計算B.曲線、曲面積分.1.I( x 2y 2 ) dV,為平面曲線y22z繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周與 z=8x0的圍域。dz(x 2y 2 ) dxdydzdr 2 rdr1024解： I222882 z0xy2 z00032.IDx 2y2dxdy, D為 yaa 2x2 (a0) 與4a 2x2y 221)yx 圍域。（ Ia 2 (1623.f ( x, y)x 2 y,1x2,0

24、yx0, 其他，求f (x, y)dxdy, D : x 2y 22x(49/20)D4.I(ex sin yb( xy)dx( ex cos yax) dyLL從A( 2a,0)沿 y2ax x2 至O(0,0)解：令L1從 O沿y0至AI(ba)dxdy2 abx )dx (2)a2 ba30(LL1L 1D225.Ixdyydx , L為以 (1,0)為中心， R(1)為半徑的圓周正向 。L 4x2y 2解：取包含(0,0)的正向 L1:2xr cos，yr sinLL10LL 1LL16.對空間 x>0 內(nèi)任意光滑有向閉曲面S，xf( )xyf()2 xzdxdy0，且 f (x

25、) 在 x>0 有連續(xù)一x dydzx dzdxeS階導數(shù)， limf ( x)1,求 f ( x) 。x 0解：0FdSFdV( f ( x)xf '( x)xf ( x)e2 x ) dVsy' ( 11) y1 e2xyex(ex1)xxx精選范本.第六講 常微分方程一、理論要求1.一階方程2.高階方程熟練掌握可分離變量、齊次、一階線性、伯努利方程求法會求 y (n )f ( x), y' 'f (x, y' )( y'p(x), y' 'f ( y, y' )( y'p( y)3.二階線性常系數(shù)y&#

26、39; ' py ' q 02pq012y1c1 e 1xc2 e 2 x12y1( c1c2 x)e xiy1e x (c1 cosy 2f (x)Pn (x)e x1 or21 and 2(齊次)x c 2 sin x)Qn (x)e xy 2Qn (x)xe x(非齊次 )y2Qn (x)x2 e x二、題型與解法A.微分方程求解f ( x) e x ( pi (x) cosx p j (x)sin x)iy2e x (qn ( x) cosxrn (x) sinx(非齊iy2xe x (qn (x) cosxrn (x)sinx(nmax(i, j )次 )1.求(3x

27、 22xy y 2 )dx( x22xy)dy0通解。（ xy2x2 yx 3c)2.利用代換 yu化簡 y' 'cos x2 y'sin x 3y cos xex 并求通解。cos x（xcos 2xex4u e , yc1 cos x2c2 sin x5cos x ）u' '3.設 yy( x) 是上凸連續(xù)曲線，( x, y) 處曲率為1，且過 (0,1) 處y'21切線方程為y=x+1 ，求 yy(x) 及其極值。解： y' 'y'21 0yln | cos(4x) | 11 ln 2, ymax11 ln 222三

28、、補充習題（作業(yè)）1.已知函數(shù)yy(x)在任意點處的增量yx(),(0),(1)。e 4 ）yxy求 y(x2o12.求 y' ' 4 ye2 x 的通解。（ yc1e 2 xc2e2x1 xe2 x ）4精選范本.3.求 ( yx2y 2 )dx xdy0(x0), y(1) 0 的通解。（ y1 ( x2 1) ）24.求 y' ' 2y' e2 x0, y(0)y' (0)1 的特解。（ y11 (32x) e2 x44第七講 無窮級數(shù)一、理論要求1.收斂性判別級數(shù)斂散性質(zhì)與必要條件常數(shù)項級數(shù)、幾何級數(shù)、p 級數(shù)斂散條件正項級數(shù)的比較、比值

29、、根式判別法交錯級數(shù)判別法2.冪級數(shù)冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域的求法冪級數(shù)在收斂區(qū)間的基本性質(zhì)（和函數(shù)連續(xù)、逐項微積分）Taylor 與 Maclaulin 展開3.Fourier 級數(shù)了解 Fourier 級數(shù)概念與Dirichlet 收斂定理會求 l ,l 的 Fourier 級數(shù)與 0,l 正余弦級數(shù)第八講 線性代數(shù)一、理論要求1.行列式會用按行（列）展開計算行列式2.矩陣幾種矩陣（單位、數(shù)量、對角、三角、對稱、反對稱、逆、伴隨）矩陣加減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置，方陣的冪、方陣乘積的行列式矩陣可逆的充要條件，會用伴隨矩陣求逆矩陣初等變換、初等矩陣、矩陣等價用初等變換求矩陣的秩與逆理解并會計算矩陣的特征值與特征向量理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣對角化的沖要條件掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法掌握實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)3.向量理解 n 維向量、向量的線性組合與線性表示掌握線性相關(guān)、線性無關(guān)的判別理解并向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩了解基變換與坐標變換公式、過渡矩陣、施密特方法了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念與性質(zhì)4.線性方程組理解齊次線性方程組有非零解與非齊次線性方程組有解條件理解齊次、非齊次