初中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 淺談幾何入門過好六關(guān)

1、淺談幾何入門 過好六關(guān)常言道:“代數(shù)繁,幾何難。”實(shí)際上幾何難,主要難在幾何的入門.。其實(shí)學(xué)好幾何并不難, 只要同學(xué)們過好下面的六關(guān), 一定會為幾何絢麗多彩的風(fēng)姿所傾倒, 自覺不自覺地走進(jìn)幾何的大門：一.過好概念關(guān)幾何名稱幾何定義圖形性質(zhì)實(shí)際描述平面幾何一開始介紹的概念比較抽象些, 正確、牢固地理解這些概念是學(xué)好幾何的基礎(chǔ)。 在學(xué)習(xí)過程中,同學(xué)們應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：聯(lián)系實(shí)際，學(xué)好幾何概念。幾何開頭課本中概念多而集中，在學(xué)習(xí)中要注意聯(lián)系實(shí)際，通過觀察、描述、動手、思考，逐步加強(qiáng)對概念的本質(zhì)屬性的理解。學(xué)習(xí)過程大致是： 。 例如：對直線這一概念的學(xué)習(xí)：第一步，對實(shí)際模型的感性認(rèn)識，一根拉緊的線、紙

2、的折痕、直尺的邊緣、筆直的鐵軌，這些都給我們以直線的形象；第二步，給出幾何名稱，對于以上現(xiàn)象的線叫直線，這個(gè)名稱跟實(shí)際模型中的名稱一般是一致的；第三步，幾何定義 。直線是描述性定義，只要認(rèn)識理解“直”與“無限延伸”即可；第四步，圖形性質(zhì)。對圖形性質(zhì)的理解仍離不開實(shí)際模型的輔助作用。一個(gè)幾何概念，經(jīng)過以上四步的學(xué)習(xí)，便會在腦海中形象具體地建立起來。 正確理解某些關(guān)鍵字、詞、句.例如“經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線, 并且只有一條直線.” 其中前面的“有”是表明存在性, 后面的“只有”表明唯一性。 能看懂和畫出與這個(gè)概念相關(guān)的幾何圖形，結(jié)合圖形學(xué)習(xí)概念，把概念和圖形結(jié)合在一起加深對概念的理解和掌握。學(xué)會幾何語

3、言的擴(kuò)與縮. 幾何中概念、定理、公理、性質(zhì)等的敘述, 有的較長, 有的又較簡短. 在學(xué)習(xí)中不妨借助于對命題的改寫來幫助理解。 例如：“對頂角相等”可擴(kuò)寫成“如果兩個(gè)角是對頂角, 那么這兩個(gè)角相等.” 又如上述直線公理則可縮寫成“兩點(diǎn)確定一條直線”。真正理解概念的要點(diǎn)以及區(qū)別于其它事物的本質(zhì)特征, 對易混概念加以對比、分析。例如：“三線八角”中的各角之間的關(guān)系, 必須結(jié)合圖形和它們的位置加以區(qū)別。會舉反例, 通過反例幫助理解和鞏固概念。二. 過好圖形關(guān)研究幾何問題都離不開圖形, 識圖、畫圖是幾何入門的重要一環(huán).。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：能正確全面觀察圖形, 會分解圖形, 并會從復(fù)雜圖形中抽出一些基

4、本圖形, 從而正確地進(jìn)行判斷和識別。如圖1是個(gè)比較復(fù)雜的圖形，若要識別其中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角等時(shí)，要注意“兩條直線”是哪兩條直線、“第三條直線” 又是哪一條直線，從而排除其它直線的干擾。如要說出兩直線DE、BC被第三條直線AB所截得的同位角時(shí)，可以把圖形分解成圖2，而不看AC、EC和FG。會從不同的角度觀察圖形，并用多種不同語言來表述。 例如：如圖 的定義可以理解為：A、M、B三點(diǎn)在一條直線上; 點(diǎn)M在直線AB上; 直線AB經(jīng)過點(diǎn)M; AMB為一個(gè)平角;點(diǎn)B(或點(diǎn)A)在AM(或BM)的延長線上; AB = AM + MB等。要善于總結(jié)規(guī)律.。例如:在數(shù)線段條數(shù)、角的個(gè)數(shù)、三角形個(gè)數(shù)事, 往往會出

5、現(xiàn)記數(shù)時(shí)重復(fù)或遺漏的錯(cuò)誤, 若善于總結(jié)規(guī)律, 則可避免這類錯(cuò)誤的出現(xiàn).。要善于抓住圖形的本質(zhì)特征學(xué)會認(rèn)識不同位置的圖形, 特別要注意把圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變化后對圖形的正確識別。要多練習(xí)畫圖, 堅(jiān)持用基本工具較正確地畫好每一個(gè)圖形, 但應(yīng)注意：作圖中的每一步都要嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范，初學(xué)時(shí)就要嚴(yán)格要求自己，不可得過且過，要用鉛筆、圓規(guī)、直尺來畫，絕不可徒手亂畫；作圖過程要按照書上的要求依次進(jìn)行，構(gòu)思要嚴(yán)謹(jǐn)，養(yǎng)成先作草圖的習(xí)慣，先根據(jù)條件繪制構(gòu)思圖形，確信完全符合條件后再作正規(guī)圖形，同時(shí)還要特別注意可能出現(xiàn)的各種情況，做到不漏解。三.過好語言關(guān)幾何語言是幾何知識的載體，它包括文字語言、符號語言和圖形

6、語言三種語言，要把這三種語言很好地聯(lián)系起來。文字語言主要包括術(shù)語和關(guān)鍵詞，如“角”、“線段”等是術(shù)語；“是”、“都”是關(guān)鍵詞；符號語言是用符號來表示文字意義的，如“”、“”、“”、“”等。學(xué)習(xí)中應(yīng)注意：用正確的語言表述概念、定理。 練好識圖、畫圖和口頭表達(dá)，要會從其中的一種形式“譯”出其它兩種形式。 如圖3 可敘述為AOB是直角; 1與2互余; AO垂直于OB, 垂足為O; AOB =1+2 = 90°等。注意同義的敘述。 例如：如圖 點(diǎn)O是AB的中點(diǎn), 可敘述為：AO = OB；OA= OB = 1/2 AB； AB = 2AO = 2BO； 延長AO到B使OB = OA等。四.過

7、好論證書寫關(guān) 幾何有兩個(gè)特點(diǎn)，其一是以圖形為主直觀性強(qiáng)，其二是以推理為主邏輯性強(qiáng)。學(xué)幾何就是要學(xué)會推理論證過程即證明。證明是若干步推理組成的，要學(xué)會證明就要弄清推理的“基本單位”及“層次關(guān)系”。“因?yàn)?，所以”即“，”這就是一個(gè)推理的“基本單位”。推理的基本類型有：類型舉例一因一果 ab(已知),1=2(兩直線平行同位角相等).一因多果ab(已知), 1 = 90°,2 = 90°(垂直的定義).多因一果ab,cb(已知),ac(平行定理推論).推理的層次有兩種：遞進(jìn)型：例1如圖4已知：1=B，求證：2+C =180°。證明：1=B（已知），DEBC（同位角相等兩直

8、線平行），- A1 DEBC（已證）2+C =180°（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）-B1。例1推理中有A1 、B1兩個(gè)“基本單位”，其中前一個(gè)“基本單位”的“果”是后一個(gè)“基本單位”的“因”。即A1（因） A1（果）即B1（因） B1（果），中括號內(nèi)的內(nèi)容可省略不寫。因此可表示為A1（因）A1（果） B1（果），簡稱“因、果、果”或（因?yàn)椤⑺?、所以）?并列遞進(jìn)型： 例2如圖5已知：ABCD，BCED，求證：B+D =180°。證明：ABCD（已知），B=C（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），- A2 BCED（已知） C+D =180°（兩直線平行同旁內(nèi)角相等）- A3，

9、B=C，C+D =180°（已證）B+D =180°- B2。例2推理中有三個(gè)“基本單位”，其中A2、A3是獨(dú)立的，但B2的“因”是A2、A3的“果”，在此基礎(chǔ)上遞進(jìn)推出B2的“果”，它們的層次關(guān)系圖示為：B2 ，簡記“因、果，因、果，果”。 習(xí)題一般分為三類:證明題、計(jì)算題(與論證相結(jié)合)和作圖題, 而證明題最為重要, 它是計(jì)算、作圖的依據(jù).。過好這一關(guān)需認(rèn)真閱讀課本上的例題、定理的證明, 學(xué)會它的思維、推理及整個(gè)敘述過程.。掌握命題證明的一般步驟：分清命題的題設(shè)和結(jié)論;；找出命題的題設(shè)(條件);；按題意畫出圖形；結(jié)合圖形將題設(shè)中的條件譯成幾何“符號語言”, 并逐一寫在“

10、已知”的后面,將結(jié)論也譯成幾何“符號語言”寫在“求證”的后面；證明結(jié)論。學(xué)會用精練的幾何語言來表述論證過程, 用規(guī)范的語言來表述充分的理由和正確的論證。證明要步步有據(jù)，書寫要規(guī)范。強(qiáng)化“點(diǎn)”化意識，體由面構(gòu)成，面由線圍成，線由點(diǎn)決定。換言之，點(diǎn)決定了平面圖形。在復(fù)雜的圖形中，分辨出決定這個(gè)圖形、左右這個(gè)圖形、掌控這個(gè)圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，即成功了一半。線段的中點(diǎn)是幾何中的一個(gè)重要概念，涉及中點(diǎn)的問題往往同時(shí)涉及到中位線等重要概念，解決此類問題就要充分利用中點(diǎn)這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)作輔助線是非常重要的。例如：如圖6四邊形ABCD中，AD = BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線分別與EF的延長線交

11、于H、G，求證：AHE=BGE。分析：本題條件中出現(xiàn)兩個(gè)中點(diǎn)，但其連線本身并不是中位線，所以應(yīng)考慮增加中點(diǎn)后再求證，由于AHE和BGE不能建立直接的聯(lián)系，因而可將AHE移動位置。例如，移到以F為頂點(diǎn)FE為一邊，使另一邊FM與AD平行，而F是CD的中點(diǎn)，所以FM對角線AC的交點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，應(yīng)用中位線的性質(zhì)可得：FMAD，且AD=2FM，同理：EMBC，且BC=2EM，而AD=BC，故AHE=MFE = FEM=BGE。證明：連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)MF、ME，則MF、ME分別為ADC和ABC的中位線。FMAD，AD=2FM，EMBC，BC=2EM，AHE=MFE， FEM=BGE，AD

12、=BC，MF=ME，MFE = FEM，AHE=BGE。五.過好運(yùn)用新學(xué)知識的能力關(guān)初學(xué)幾何者在證明線段相等、兩角相等時(shí)，往往習(xí)慣于通過三角形全等來證明，然而隨著知識的不斷深入，又逐步學(xué)習(xí)了許多定理，如“角平分線的性質(zhì)定理、垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理、等腰三角形的性質(zhì)及其判定定理等”這些定理都是通過全等證明的，學(xué)過后可直接應(yīng)用，但有些同學(xué)，在證明問題時(shí)，不是直接運(yùn)用這些定理，而是仍然用三角形全等，等于又把這些定理證明了一遍，這不符合教學(xué)的要求。下面這個(gè)例子通過全等都可獲證，但直接運(yùn)用上述有關(guān)定理會更簡單。如：已知：如圖7，ABC中，AB = AC，D為BC邊中點(diǎn)，DFAB于F，DEAC于E，求證：DE=DF.證明：連結(jié)AD，AB = AC，BD = CD，1 = 2（等腰三角形底邊的中線與頂角平分線重合）. 又DFAB，DEAC,DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）。像這樣的例子還很多，在證明問題時(shí)不要過分依賴證明全等，應(yīng)該首先考慮能否直接運(yùn)用有關(guān)定理證明。這樣不僅會使證明顯得簡單，而且能夠開闊你