第二章 介觀環(huán)中加入磁場的輸運特性

1、第二章 介觀環(huán)中加入磁場的輸運特性2.1 模型與基本公式對圓環(huán)的研究要追溯到Aharonov和Bohm發(fā)現(xiàn)了矢勢在量子力學中的重要性40。在介觀尺度下，考慮一個兩端由引線連接的圓環(huán)，在圓環(huán)中心施加一磁通，在引線和圓環(huán)中磁場為零，但矢勢不為零，造成出射端有相位差，從而引起了量子干涉效應，1959年由Aharonov和Bohm首先提出的，所以就稱之為AB效應，該磁通就稱為AB磁通，該圓環(huán)就稱為AB環(huán)。AB效應于1985年由Akira. Tonomura 等人利用超導體禁閉磁通，從實驗中成功地證實了Aharonov-Bohm效應。另一類叫AC效應，類似AB效應，但不同的是AC效應是由自旋軌道耦合引起

2、的，該圓環(huán)就稱為AC環(huán)41。近年來，對AB環(huán)的研究引起了廣泛的關注，在理論42和試驗上43都取得了進展。針對AB環(huán)兩端引線處于對稱位置的輸運問題有不少的文章對此作了報道44-47，本文主要是對右端引線處于不對稱出射的AB環(huán)進行研究，通過分析計算結果，討論了磁通和右端引線的出射位置對輸運系統(tǒng)的影響。對于一個輸運系統(tǒng)，電導決定其輸運性能的優(yōu)劣，通過研究發(fā)現(xiàn)不但施加的磁通可以影響該系統(tǒng)的電導，而且出射端引線的位置對電導也有影響；進一步把結果和不加磁通時的結果對比，并得出相應的結論。我們研究的模型如圖2-1所示，由半徑為的量子線組成的圓環(huán)，環(huán)上相對兩個節(jié)點通過引線與左右外界相連。將其中的量子線分成四段

3、，分別標記0，1，2和3;屬于圓環(huán)系統(tǒng)的量子散射問題，電子由左端引線入射，經(jīng)圓環(huán)系統(tǒng)后由右端引線出射。引線和圓環(huán)都置于xy平面內，在圓環(huán)的中心以長直螺線管沿軸正向施加磁通，即Aharonov-Bohm型磁通。在引線和圓環(huán)中磁場處處為零，但磁通可以通過矢勢影響電子的散射行為。Fig.2-1.AB環(huán)量子輸運模型的示意圖（不對稱出射）。描述電子在圓環(huán)上運動的薛定諤方程為47其中和分別表示電子的質量和電荷，和分別為普朗克常數(shù)和真空中的光速，為矢勢，為入射電子的能量。如圖2-1所示，各個區(qū)段的波函數(shù)可分別設為：中電子波矢，圓環(huán)周長，并且，根據(jù)波函數(shù)連續(xù)性條件將（2-2）-（2-5）代入（2-7），（2-

4、8） 得到：其中環(huán)路積分相位2.2 AB環(huán)中幾率流守恒公式的推導由粒子數(shù)守恒可得為概率密度，代表幾率流。在圓環(huán)上系統(tǒng)的哈密頓量為，由含時薛定諤方程可得，則且有代入方程(2-13)有：進一步寫成對比(2-12)可知，幾率流為類似地，在兩端引線上的哈密頓量與圓環(huán)上不同，其幾率流可以寫成由于幾率流守恒要求利用波函數(shù)的連續(xù)條件，上式可以化簡為若則有以及代入(2-22)式有所以時，且由(2-23)式可知，所以可以取。有所以是左端引線連接點的幾率流守恒的充分條件，方程(2-27)即為Griffith邊界條件48,49。類似地，我們可以求得右端引線連接點的Griffith邊界條件為2.3 問題求解由上述Gr

5、iffith邊界條件得由（2-9）（2-10）（2-29）（2-30）可得：由（2-33）式和（2-34）式可得代入（2-35）式和（2-36）式可得所以可以進一步化簡：透射率為：反射率為：可以驗證。令，可得如果，則，（2-47）和（2-48）式可以簡化為：如果左右引線處于對稱位置，即，并且沒有磁場，即，上述結果還可以進一步簡化為根據(jù)Landauer-Buttiker公式50,51，利用（2-47）還可以計算零偏壓下圓環(huán)系統(tǒng)的電導為，令，所以有在絕對零度零偏壓時,由Bttiker公式39可知，散粒噪聲功率為，利用（2-47）（2-48）圓環(huán)系統(tǒng)的散粒噪聲可以寫成，F(xiàn)ano因子為，當不存在磁通量

6、，即時，圓環(huán)的電導為，散粒噪聲為，2.4 分析與討論首先我們討論圓環(huán)加入磁通時的電導和散粒噪聲隨磁通量和的變化。在Fig.2-2(a)(b)分別為和時的情形。圖中可以看出電導隨增大時，在改變磁通量時所表現(xiàn)出的不同的行為。Fig.2-2. 電導在圓環(huán)周長一定時，隨出射引線位置和磁通的變化圖。當時Fig.2-2(b), 時，電導總為零；而當時Fig.2-2(a), 時，電導不為零。且隨著增大時，對稱出射時(即為)的電導特性也不一樣，當時，電導總為零；而當時，電導隨著磁通量的變化在最大值與最小值之間振蕩。Fig.2-3. 散粒噪聲（單位為）在圓環(huán)周長一定時，隨出射引線位置和磁通的變化圖。接下來我們研

7、究散粒噪聲，在Fig.2-3(a)(b)分別為和時的散粒噪聲頻譜。當時Fig.2-3(b), 時，散粒噪聲總為零；而當時Fig.2-3(a), 時，散粒噪聲不為零；這個特點與電導相似。對比Fig.2-2(a)與Fig.2-3(a)，我們可以清晰的看到散粒噪聲所顯示的新的特點，當時，不管怎樣改變出射引線在圓環(huán)上的位置，電導值基本不受影響，總能取得最大值，更重要的是此時在相同的區(qū)間散粒噪聲值達到最小值；從Fig.2-2(b)與Fig.2-3(b)也可發(fā)現(xiàn)相同的特點，調節(jié)磁通量的大小和圓環(huán)出射引線的位置可以使得電導達到最大值時散粒噪聲達到最小值。Fig.2-4. Fano因子在圓環(huán)周長一定時，隨出射

8、引線位置和磁通的變化圖。如Fig.2-4所示，是Fano因子分別為(a)和(b)時的三維等高圖。Fano因子可以反映系統(tǒng)的相互作用；時，對應于閉合通道，相當于電子全被反射，電子之間的關聯(lián)較大；時，對應于開放通道，相當于電子全透射，電子之間的關聯(lián)最小。由圖中可以看出，的區(qū)域即為電導達到最大值時的區(qū)域，且時電子之間的關聯(lián)最小，電流的漲落為零，所以散粒噪聲為零。Fig.2-5. 電導在圓環(huán)周長一定且出射引線固定時，隨磁通的變化圖。為了研究AB環(huán)的電導隨的變化，在Fig.2-5中畫出了三種情況下的電導圖。的改變可以通過改變入射電子的波矢或者改變圓環(huán)的大小。電導是的以為周期的函數(shù)。我們可以看到，隨著減小

9、，時的電導卻越來越大；且不同，電導達到最大值時所加的磁通量也不同，不與成比例。Fig.2-6. 散粒噪聲（單位為）在圓環(huán)周長一定且出射引線固定時，隨磁通的變化圖。如上圖所示，與Fig.2-5相同的條件下，當時，隨減小，散粒噪聲值也越來越??；越大，散粒噪聲達到最小值時所需的磁通量越來越大。從圖中可以看出，與電導不同，散粒噪聲的周期變大。與Fig.2-5相比較可以看出，在電導的一個周期內，當時，處電導達到極大值，散粒噪聲同時達到極小值；當時，處電導達到極大值，散粒噪聲達到極小值；當時，電導達到極大值，散粒噪聲達到極小值；所以在電導的一個的周期內，總能同時使得電導達到極大值，散粒噪聲達到極小值。Fi

10、g.2-7. Fano因子在和固定時，隨磁通的變化圖。如上圖所示，當時，是電子的相互關聯(lián)最小的情形，所以此處的電導也是達到最大值，與Fig.2-5相對比也可以發(fā)現(xiàn)是相符合的。以上是研究了圓環(huán)加入磁通量時的圓環(huán)輸運特性。下面我們主要討論當不存在磁通量時，AB環(huán)的電導和散粒噪聲。Fig.2-8. 電導和散粒噪聲在一定且不存在磁通時，出射引線位置的變化圖。由Fig.2-8(a)(b)可以看出不存在磁通時，圓環(huán)的電導和散粒噪聲的變化，當一定時，改變出射引線的位置可以使電導和散粒噪聲出現(xiàn)振蕩，而且振蕩成周期性的變化，但并不能使電導到達最大值;更重要的是，如果不存在磁通量的條件下，散粒噪聲和電導同時達到極小值零，并不會出現(xiàn)電導達到最大值時散粒噪聲達到極小值零的情況。2.5 本章小結本章主要研究介觀條件下的圓環(huán)加入磁通量后的電子的輸運特性。首先我們建立了AB環(huán)的模型，利用邊界條件建立方程組，求得電子的透射系數(shù)和反射系數(shù)，利用公式求得電導和散粒噪聲。接下來我們分析了圓環(huán)存在磁通量時的電導和散粒噪聲，以及Fano因子，得到了散粒噪聲達到極小值時電導可以達到極大值的結論，我們可以通過調節(jié)圓環(huán)的大小，入射電子的費米波矢，出射引線的位置以及改變磁通量達到目的。最后我們討論了當圓環(huán)不存在磁通量時的輸運特性，在固定其中的一個參數(shù)(由入射電子的費米波矢和圓環(huán)半徑?jīng)Q定)