人教版高中數(shù)學課件：三垂線定理

1、【教學目標教學目標】正確理解和熟練掌握三垂線定理及其逆定理，并能正確理解和熟練掌握三垂線定理及其逆定理，并能運用它解決有關垂直問題運用它解決有關垂直問題 【知識梳理知識梳理】1斜線長定理斜線長定理從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；較長；相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；較長；垂線段比任何一條斜線段都短垂線段比任何一條斜線段都短2重要公式重要公式如圖，已知如圖，已知OB 平面平面 于于B

2、，OA是平面是平面 的斜線，的斜線，A為斜為斜足，直線足，直線AC 平面平面 ，設，設 OAB= 1，又，又 CAB= 2， OAC= 那么那么cos =cos 1 cos 2CDABO【知識梳理知識梳理】3直線和平面所成的角直線和平面所成的角平面斜線與它在平面內的射影所成的角，是這條斜線平面斜線與它在平面內的射影所成的角，是這條斜線和這個平面內任一條直線所成的角中最小的角和這個平面內任一條直線所成的角中最小的角一個平面的斜線和它在這個平面內的射影的夾角，叫一個平面的斜線和它在這個平面內的射影的夾角，叫做斜線和平面所成的角做斜線和平面所成的角(或斜線和平面的夾角或斜線和平面的夾角)如果直如果直

3、線和平面垂直，那么就說直線和平面所成的角是直角；線和平面垂直，那么就說直線和平面所成的角是直角；如果直線和平面平行或在平面內，那么就說直線和平面如果直線和平面平行或在平面內，那么就說直線和平面所成的角是所成的角是0 的角的角【知識梳理知識梳理】 4三垂線定理和三垂線定理的逆定理三垂線定理和三垂線定理的逆定理 名稱名稱語言表述語言表述字母表示字母表示應應 用用三垂三垂線定線定 理理在平面內的一條在平面內的一條直線直線,如果和這如果和這個平面的一條斜個平面的一條斜線的射影垂直線的射影垂直,那么它也和這條那么它也和這條斜線垂直斜線垂直.證兩直線垂證兩直線垂直直作點線距作點線距作二面角作二面角 的平面

4、角的平面角三垂三垂線定線定理的理的逆定逆定理理在平面內的一條在平面內的一條直線直線,如果和這如果和這個平面的一條斜個平面的一條斜線垂直線垂直,那么它那么它也和這條斜線的也和這條斜線的射影垂直射影垂直.同同 上上POaAOaaPAAOaPOaaPA【知識梳理知識梳理】 重要提示重要提示三垂線定理和三垂線定理的逆定理的主要應用是證三垂線定理和三垂線定理的逆定理的主要應用是證明兩條直線垂直，尤其是證明兩條異面直線垂直，明兩條直線垂直，尤其是證明兩條異面直線垂直，此外，還可以作出點到直線的距離和二面角的平面此外，還可以作出點到直線的距離和二面角的平面角在應用這兩個定理時，要抓住平面和平面的垂角在應用這

5、兩個定理時，要抓住平面和平面的垂線，簡稱線，簡稱“一個平面四條線，線面垂直是關鍵一個平面四條線，線面垂直是關鍵”【點擊雙基】【點擊雙基】 1下列命題中，正確的是下列命題中，正確的是( )(A)垂直于同一條直線的兩條直線平行垂直于同一條直線的兩條直線平行(B)平行于同一平面的兩條直線平行平行于同一平面的兩條直線平行(C)平面的一條斜線可以垂直于這個平面內的無數(shù)條直線平面的一條斜線可以垂直于這個平面內的無數(shù)條直線(D)a、b在平面外，若在平面外，若a、b在平面內的射影是兩條相交直在平面內的射影是兩條相交直線，則線，則a、b也是相交直線也是相交直線2直線直線a、b在平面在平面 內的射影分別為直線內的

6、射影分別為直線a1、b1，下列，下列命題正確的是命題正確的是( )(A)若若a1 b1，則，則a b(B)若若a b，則，則a1 b1(C)若若a1 b1，則，則a與與b不垂直不垂直(D)若若a b，則，則a1與與b1不垂不垂直直【點擊雙基】【點擊雙基】 3直線直線a、b在平面外，若在平面外，若a、b在平面內的射影是一個在平面內的射影是一個點和不過此點的一條直線，則點和不過此點的一條直線，則a與與b是是( )(A)異面直線異面直線 (B)相交直線相交直線(C)異面直線或相交直線異面直線或相交直線 (D)異面直線或平行直線異面直線或平行直線4P是是ABC所在平面外一點，若所在平面外一點，若P點到

7、點到ABC各頂點各頂點的距離都相等，則的距離都相等，則P點在平面點在平面ABC內的射影是內的射影是ABC的的( )(A)外心外心 (B)內心內心 (C)重心重心 (D)垂心垂心5P是是ABC所在平面外一點，若所在平面外一點，若P點到點到ABC各邊的各邊的距離都相等，且距離都相等，且P點在平面點在平面ABC內的射影在內的射影在ABC的內的內部，則射影是部，則射影是ABC的的 ( )(A)外心外心 (B)內心內心 (C)重心重心 (D)垂心垂心【點擊雙基】【點擊雙基】 6P是是ABC所在平面外一點，連結所在平面外一點，連結PA、PB、PC，若，若PA BC，PB AC，則，則P點在平面點在平面AB

8、C內的射影是內的射影是ABC的的( )(A)外心外心 (B)內心內心 (C)重心重心 (D)垂心垂心7從平面外一點向這個平面引兩條斜線段，它們所成從平面外一點向這個平面引兩條斜線段，它們所成的角為的角為 這兩條斜線段在平面內的射影成的角為這兩條斜線段在平面內的射影成的角為 (90 180 )，那么，那么 與與 的關系是的關系是( )(A) (C) (D) 8已知直線已知直線l1與平面與平面 成成30 角，直線角，直線l2與與l1成成60 角，則角，則l2與平面與平面 所成角的取值范圍是所成角的取值范圍是( )(A)0 ,60 (B)60 ,90 (C)30 ,90 (D)0 ,90 【典例剖析

9、【典例剖析】 例例1如果四面體的兩組對棱互相垂直，求證第三組對如果四面體的兩組對棱互相垂直，求證第三組對棱也互相垂直棱也互相垂直已知：四面體已知：四面體ABCD中，中，AB CD，AD BC；求證：求證：AC BD；DCOBAabC【典例剖析【典例剖析】 例例2如圖，在三棱錐如圖，在三棱錐P ABC中，中， ACB=90 ， ABC=60 ，PC 平面平面ABC，AB=8，PC=6，M、N分分別是別是PA、PB的中點，設的中點，設MNC所在平面與所在平面與ABC所所在平面交于直線在平面交于直線l (1)判斷判斷l(xiāng)與與MN的位置關系，并進的位置關系，并進行證明；行證明； (2)求點求點M到直線到

10、直線l的距離的距離28APBDMNQl【典例剖析【典例剖析】 例例3.如圖，如圖，P 是是ABC所在平面外一點，且所在平面外一點，且PA平面平面ABC。若。若O和和Q分別是分別是ABC和和PBC的垂心，的垂心，試證：試證：OQ平面平面PBC。 【典例剖析【典例剖析】 例例4.如圖，在直三棱柱如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面中，底面ABC是直是直角三角形，角三角形，ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且，且A1CAC1=D，BC1B1C=E，截面，截面ABC1與截面與截面A1B1C交交于于DE。（1）A1B1平面平面BB1C1C；（；（2）求證：）求證：A1CBC1；（3）求證：）求證：DE平面平面BB1C1C?！镜淅饰觥镜淅饰觥?例例5如圖如圖P是是 ABC所在平面外一點，所在平面外一點，PAPB，CB 平面平面PAB，M是是PC的中點，的中點，N是是AB上的點，上的點，AN3NB（1）求證：）求證：MN AB；（；（2）當）當 APB90 ，AB2BC4時，求時，求MN的長。的長。（1）證明：取的中點，連結，）證明：取的中點，連結，是的中點，是的中點， N M P C B A【知識方