7-8-幾何計數(shù)

1、幾何計數(shù)知識框架圖7 計數(shù)綜合7-8 幾何計數(shù)教學(xué)目標(biāo)1.掌握計數(shù)常用方法；2.熟記一些計數(shù)公式及其推導(dǎo)方法；3.根據(jù)不同題目靈活運(yùn)用計數(shù)方法進(jìn)行計數(shù)本講主要介紹了計數(shù)的常用方法枚舉法、標(biāo)數(shù)法、樹形圖法、插板法、對應(yīng)法等，并滲透分類計數(shù)和用容斥原理的計數(shù)思想知識要點(diǎn)一、幾何計數(shù)在幾何圖形中，有許多有趣的計數(shù)問題，如計算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個數(shù)，若干個圖分平面所成的區(qū)域數(shù)等等這類問題看起來似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認(rèn)真分析，還是可以找到一些處理方法的常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等n條直線最多將平面分成 個部分；n個圓最多分平面的部分?jǐn)?shù)為n(n-1)+2；n

2、個三角形將平面最多分成3n(n-1)+2部分；n個四邊形將平面最多分成4n(n-1)+2部分在其它計數(shù)問題中，也經(jīng)常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等解題時需要仔細(xì)審題、綜合所學(xué)知識點(diǎn)逐步求解排列問題不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)；組合問題與各事物所在的先后順序無關(guān)，只與這兩個組合中的元素有關(guān)二、幾何計數(shù)分類數(shù)線段：如果一條線段上有n+1個點(diǎn)(包括兩個端點(diǎn))（或含有n個“基本線段”），那么這n+1個點(diǎn)把這條線段一共分成的線段總數(shù)為n+(n-1)+2+1條數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點(diǎn)類似于角圖形中的邊數(shù)三角形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形（對

3、應(yīng)法），因?yàn)镈E上有15條線段，每條線段的兩端點(diǎn)與點(diǎn)A相連，可構(gòu)成一個三角形，共有15個三角形，同樣一邊在BC上的三角形也有15個，所以圖中共有30個三角形數(shù)長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對于任意長方形（平行四邊形），若其橫邊上共有n條線段，縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn個例題精講【例 1】 （難度等級 ）下圖的兩個圖形(實(shí)線)是分別用10根和16根單位長的小棍圍成的如果按此規(guī)律(每一層比上面一層多擺出兩個小正方形)圍成的圖形共用了60多根小棍，那么圍成的圖形有幾層，共用了多少根小棍？【解析】 通過觀察每增加一層，恰好增加6根小棍，這6根恰好是增加那一層比上一層多

4、擺出的兩個正方形多用的，即前1層用4根，前2層用4+6根，前3層用4+62根，前n層用4+6(n-1)根，現(xiàn)在共用了60多根，應(yīng)減去4是6的倍數(shù)，所以共用小棍64根，圍成的圖形有11層【例 2】 （難度等級 ）用3根等長的火柴可以擺成一個等邊三角形如圖用這樣的等邊三角形拼合成一個更大的等邊三角形.如果這個大等邊三角形的每邊由20根火柴組成，那么一共要用多少根火柴?【解析】 把大的等邊三角形分為“20”層分別計算火柴的根數(shù)：最上一層只用了3根火柴；從上向下數(shù)第二層用了32=6根；從上向下數(shù)第二層用了33=9根；從上向下數(shù)第二層用了320=60根；所以總共要用火柴3（1+2+3+20）=630【鞏

5、固】用三根火柴可拼成一個小“”，若用108根火柴拼成如圖所示形狀的大三角形，請你數(shù)一數(shù)共有多少個三角形？【解析】 首先，需弄清形狀如圖的大三角形共有多少層從上往下，第一層用根火柴；第二層用根火柴；第三層用根火柴；第四層用根火柴；第五層用根火柴；第層用根火柴根據(jù)題意，有：，故，所以，即形狀如圖的大三角形共有8層，是邊長為8根火柴的大正三角形然后，數(shù)出共有多少個三角形尖朝上的三角形共：(個)；尖朝下的三角形共：(個)；所以，共有三角形：(個)本題小結(jié)：尖朝上的三角形：每一種尖朝上的三角形個數(shù)都是由1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的基本線段的條數(shù)，依次各

6、個連續(xù)自然數(shù)的和都比上一次少一個最大的加數(shù)，直到1為止 尖朝下的三角形的個數(shù)也是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，它的第一個和恰是尖朝上的第二個和，依次各個和都比上一個和少最大的兩個加數(shù)，以此類推直到零為止【例 3】 （難度等級 ）如圖所示，用長短相同的火柴棍擺成31996的方格網(wǎng)，其中每個小方格的邊都由一根火柴棍組成，那么一共需用多少根火柴棍?【解析】 橫放需19964根，豎放需19973根共需19964+19973=13975根【例 4】 （難度等級 ）圖中共有多少個長方形？【解析】 利用長方形的計數(shù)公式：橫邊上共有n條線段，縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn個所以有(4+3+

7、2+1)（4+3+2+1）=100【例 5】 （難度等級 ）下面的和圖中共有_個正方形【解析】 在的圖中，邊長為1的正方形個；邊長為2的正方形個； 邊長為3的正方形個；邊長為4的正方形個；邊長為5的正方形有，總共有 (個)正方形在的圖中邊長為1的正方形個；邊長為2的正方形個； 邊長為3的正方形個；邊長為4的正方形個；總共有 (個)【例 6】 （難度等級 ）在圖中(單位：厘米)： 一共有幾個長方形? 所有這些長方形面積的和是多少?【解析】 一共有(個)長方形；所求的和是 (平方厘米)【鞏固】（難度等級 ）如圖，其中的每條線段都是水平的或豎直的，邊界上各條線段的長度依次為5厘米、7厘米、9厘米、2

8、厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米求圖中長方形的個數(shù)，以及所有長方形面積的和【解析】 利用長方形的計數(shù)公式：橫邊上共有n條線段，縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn個，所以有(4+3+2+1)（4+3+2+1）=100，這些長方形的面積和為：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=12486=10664【例 7】 （難度等級 ）下圖中共有_個正方形【解析】 每個正方形中有：邊長為1的正方形有個；邊長為2的正方形有個； 邊長為3的正方形有個；邊長為4的正方形有個；總共有(個)正方形現(xiàn)有5個的正方形，它們重疊

9、部分是4個的正方形因此，圖中正方形的個數(shù)是【鞏固】 （難度等級 ）圖中有_個正方形【解析】 的正方形1個；的正方形4個；的正方形5個；22的正方形4個；11的正方形13個共27個【例 8】 （難度等級 ）如圖，其中同時包括兩個的長方形有 個【解析】 先找出同時包括兩個的最小長方形，然后其余所有滿足題目要求的長方形都必須包括該最小長方形根據(jù)乘法原理2223=24（種）不同的長方形【鞏固】 （難度等級 ）在下圖中，不包含的長方形有_個【解析】 根據(jù)乘法原理，所有長方形總數(shù)為(1+2+3+4+5+6)(1+2+3+4+5+6)=441(個)，包含的長方形有3344=144(個)，所以不包含的長方形有

10、441-144=297(個)【例 9】 圖中含有“”的長方形總共有_個【解析】 根據(jù)本題特點(diǎn)，可采用分類的方法計數(shù)按長方形的寬分類，數(shù)出含號的長方形的個數(shù)含有左上號的長方形有：個，其中，寬為1(即高度為一層)的含號的長方形為：6個；寬為2(即高度為兩層)的含號的長方形為：6個；寬為3(即高度為三層)的含號的長方形為：6個；含有右上號的長方形有：個，其中，寬為1(即高度為一層)的含號的長方形為：6個；寬為2(即高度為兩層)的含號的長方形為：個；寬為3(即高度為三層)的含號的長方形為：6個；同時含有兩個號的重復(fù)計算了，應(yīng)減去，同時含有兩個號的長方形有：個，其中，寬為2(即高度為兩層)的含號的長方形

11、為：4個；寬為3(即高度為三層)的含號的長方形為：4個； 所以，含有號的長方形總共有：個【鞏固】（難度等級 ）由20個邊長為1的小正方形拼成一個長方形中有一格有“”圖中含有“”的所有長方形(含正方形)共有 個，它們的面積總和是 (第六屆走美決賽試題)【解析】 含的一行內(nèi)所有可能的長方形有：(八種) 含的一列內(nèi)所有可能的長方形有：(六種)所以總共長方形有個，面積總和為【例 10】 （難度等級 ）如圖是由18個大小相同的小正三角形拼成的四邊形其中某些相鄰的小正三角形可以拼成較大的正三角形若干個那么，圖中包含“*”號的大、小正三角形一共有_個【解析】 分三類進(jìn)行計數(shù)(設(shè)小正三角形邊長為1)包含*的三

12、角形中，邊長為1的正三角形有1個；邊長為2的正三角形有4個；邊長為3的正三角形有1個；因此，圖中包含“*”的所有大、小正三角形一共有(個)【例 11】 （難度等級 ）如圖AB，CD，EF，MN互相平行，則圖中梯形個數(shù)與三角形個數(shù)的差是多少?【解析】 圖中共有三角形（1+2+3+4）4=40個梯形（1+2+3+4）（2+4）=60；所以梯形比三角形多60-40=20個【例 12】 （難度等級 ）圖中共有多少個三角形？【解析】 顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類，兩類中三角形的個數(shù)相等尖向上的三角形又可分為6類L（1）最大的三角形1個(即ABC)，（2）第二大的三角形有3個（3）第三大的三角形有

13、6個（4）第四大的三角形有10個（5）第五大的三角形有15個（6）最小的三角形有24個所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（個）圖中共有三角形259=118（個）【例 13】 （難度等級 ）下圖中的正方形被分成9個相同的小正方形，它們一共有16個頂點(diǎn)（共同的頂點(diǎn)算一個），以其中不在一條直線上的3個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以構(gòu)成三角形在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個？【解析】 1顯然應(yīng)先求出陰影三角形的面積設(shè)原正方形的邊長是3，則小正方形的邊長是1，陰影三角形的面積是23=32思考圖中怎樣的三角形的面積等于3（1）一邊長2，這邊上的高是3的三角形的面積等于3（即形如圖

14、中陰影三角形）這時，長為2的邊只能在原正方形的邊上，這樣的三角形有244=32（個）；（2）一邊長3，這邊上的高是2的三角形的面積等于3 這時，長為3的邊是原正方形的一邊或平行于一邊的分割線這樣的三角形有82=16（個）注意：不能與（1）中的三角形重復(fù)，所以這樣的三角形共有32+16=48（個）【例 14】 (第十二屆全國“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽)如圖，連接一個正六邊形的各頂點(diǎn)問圖中共有多少個等腰三角形(包括等邊三角形)？ 【解析】 本題需要分類進(jìn)行討論先考慮其中的等邊三角形圖中，六邊形的每1個頂點(diǎn)是某個小號等邊三角形的頂點(diǎn)，而且，每個小號等邊三角形，有且僅有一個頂點(diǎn)是六邊形的一個頂點(diǎn)，既

15、然六邊形有6個頂點(diǎn)，所以圖中有6個小號三角形；圖中，六邊形的每一條邊是某個中號等邊三角形的一條邊，而且，每個中號等邊三角形有且僅有一條邊是六邊形的一條邊，既然六邊形有6條邊，所以圖中有6個中號等邊三角形；圖中，大號等邊三角形有2個；再考慮其中非等邊的等腰三角形圖中非等邊的等腰三角形，按照面積大小分類有3種類型，見圖 其中小號的等腰三角形有6個，因?yàn)檫@類三角形均以六邊形的一條邊為其邊長，并且，六邊形的每一條邊只唯一對應(yīng)一個小號等腰三角形，而正六邊形有6條邊，所以有6個小號等腰三角形；中號的等腰三角形有12個，因?yàn)槊總€中號等腰三角形的長邊都是六邊形的一條非直徑的弦，并且，以非直徑的弦為長邊的三角形

16、有2個，如圖，這樣的弦共有6條，所以有12個中號等腰三角形；大號的等腰三角形有6個，因?yàn)槊總€大號等腰三角形的長邊都是六邊形的一條直徑，每條直徑上都對應(yīng)有2個大號三角形，如圖，共有3條直徑，所以有6個大號等腰三角形那么圖中共有個等腰三角形【例 15】 (第十一屆“華羅庚金杯賽”)圖中有 個正方形【解析】 邊線是水平或垂直方向的正方形共有(個)，形如的正方形有4個，所以共有正方形(個) (如何保證沒有其它的斜正方形了？如右圖，擦去橫線和豎線，只留下斜線，就一目了然了)此題也可以計算不同面積的正方形各有多少個，以面積大小數(shù)正方形，記最小的正方形面積為1；則面積為1的正方形的個數(shù)為36；面積為2的正方

17、形的個數(shù)為4；面積為4的正方形的個數(shù)為25；面積為9的正方形的個數(shù)為16；面積為16的正方形的個數(shù)為9；面積為25的正方形的個數(shù)為4；面積為36的正方形的個數(shù)為1所以，共有(個)正方形【鞏固】這幅圖中有 個三角形【解析】 (法1)以圖中的最小的直角三角形為計數(shù)基本單位數(shù)三角形：只有1個基本圖形單位的三角形共個；由2個基本圖形單位組成的三角形共37個；由4個基本圖形單位組成的三角形共30個；由8個基本圖形單位組成的三角形共4個；由9個基本圖形單位組成的三角形共10個；由16個基本圖形單位組成的三角形共2個；所以圖中共有三角形(個)(法2)依三角形的斜邊的長度數(shù)三角形：斜邊和水平線成45度角的三角

18、形，記這類三角形最小的斜邊的長度為1：長度為1的斜邊共有：36條；長度為2的斜邊共有：15條；長度為3的斜邊共有：5條；長度為4的斜邊共有：1條因?yàn)閳D中這類斜邊每條帶有2個三角形，所以共有(個)斜邊水平的三角形，從上向下：斜邊在第一條線的有2個；斜邊在第二條線的有4個；斜邊在第三條線的有4個；斜邊在第四條線的有5個；斜邊在第五條線的有2個；斜邊在第六條線的有2個；斜邊在第七條線的有2個；所以這種類型的三角形共有21個斜邊為垂直線的三角形，從左向右：斜邊在第一條線的有2個；斜邊在第二條線的有2個；斜邊在第三條線的有5個；斜邊在第四條線的有3個；斜邊在第五條線的有3個；斜邊在第六條線的有4個；斜邊

19、在第七條線的有1個，所以這種類型的三角形共有20個共有(個)三角形【例 16】 一張長方形紙片，長是寬的2倍，先對折成正方形，再對折成長方形，再對折成正方形，共對折7次，將紙打開展平，數(shù)一數(shù)用折痕分割成的正方形共有多少個？【解析】 從簡單情況入手，從第一次對折開始分析，第一次對折，展平，折痕分割成的正方形共個；第二次對折，展平，折痕分割成的長方形共個；第三次對折，展平，折痕分割成的正方形共個；第四次對折，展平，折痕分割成的長方形共個；第五次對折，展平，折痕分割成的正方形共個；第六次對折，展平，折痕分割成的長方形共個；第七次對折，展平，折痕分割成的正方形共個觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，奇數(shù)次對折時，展平后的折

20、痕分割成的圖形是正方形，所以，對折七次，將紙展平后，用折痕分割成的正方形是個【鞏固】將正方形紙片由下往上對折，再由左向右對折，稱為完成一次操作按上述規(guī)則完成五次操作后，剪去所得的小正方形的左下角問：當(dāng)展開這張正方形紙后，一共有多少個小洞孔？【解析】 將最后得到的小正方形紙展開兩次，中間形成一個菱形的小洞孔，之后每展開一次，孔的數(shù)量為原來的倍，題中一次操作需要對折2次，五次操作對折了10次，所以孔的數(shù)量為個【例 17】 在一個圓周上有8個點(diǎn)，正好把圓周八等分，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，可以作出 個等腰三角形【解析】 由于8個點(diǎn)正好把圓周八等分，所以以其中的任何3個點(diǎn)作為頂點(diǎn)都不能組成等邊三角形那么

21、任意選取其中的一個點(diǎn)作為頂點(diǎn)，一個頂點(diǎn)上有三個不同的等腰三角形，圓周上有個頂點(diǎn)，所以一共有個等腰三角形，而且這些等腰三角形互不相同(否則，假設(shè)其中有兩個等腰三角形相同，這兩個等腰三角形不可能是同一個頂點(diǎn)，只能是不同的頂點(diǎn)，這樣這個等腰三角形必定是正三角形，與前面的分析不合)，所以可以作出24個等腰三角形【例 18】 圓周上十個點(diǎn)，任意兩點(diǎn)之間連接一條弦，這些弦在圓內(nèi)有多少個交點(diǎn)？【解析】 圓周上4點(diǎn)構(gòu)成一個四邊形，四邊形兩條對角線相交可以產(chǎn)生一個交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為“圓周上10個點(diǎn)可以組成多少個以他們?yōu)槎c(diǎn)的四邊形？”利用上一講的知識，去掉重復(fù)的部分，可知有：個所以交點(diǎn)有210個【例 19】 圓周上有個點(diǎn)，兩點(diǎn)所連的線段叫“弦”，每兩點(diǎn)連一條弦，各弦無公共端點(diǎn)，共可連四條弦，各弦互不相交的連法共有_種【解析】 本題可以利用歸納的方法解決若圓周上只有個點(diǎn)，只有種連法；若圓周上只有個點(diǎn)，先選中1個點(diǎn)，它可以與相鄰的兩個點(diǎn)相連，它連好后其它兩點(diǎn)只有1種連法，所以此時有種連法；若圓周上只有個點(diǎn)，先選中1個點(diǎn)，此時它可以與相